Grafici e spiegazioni, Economia applicata all'ingegneria

13.10.09 - Lezione 2

Teoria delle preferenze

Vogliamo modellare il gusto del consumatore, cioè supponendo che tutti i panieri dell'insieme di bilancio siano acquistabili, quale compra? La scelta ora non dipende più dal vincolo di bilancio(stiamo lavorando con i soli panieri acquistabili), ma dalle preferenze del consumatore, che si modellano secondo una teoria: le curve di indifferenza.

Il gusto del consumatore si può rappresentare attraverso una funzione che indico come variore di soddisfazione del consumatore dato il variare dei beni acquistati. Come si sarà posta la funzione U(x). Se abbiamo a che fare conun solo bene l'insieme di bilancio sarà un segmento.

• Se il consumatore non è soddisfatto, e quindi sicuramente U(x)=0 per x=0, dove x è la quantità acquistata.
• Nell'ipotesi che il consumatore non sia mai sazio, la funzione sarà montona crescente; può avereun andamento lineare, logaritmico, esponenziale o altro ancora, dipende dalla classe di consumo.
• In cui stiamo lavorando. Se l'esempio l'incremento dell'utility è sempre uguale allora U(x) ha un andamento lineare, se l'incremento va diminuendo si avrà un andamento logaritmico etc.

L'obiettivo del consumatore è massimizzare la sua soddisfazione quindi, nel caso monodimensionale sarà quindi una cosa del tipo:

max U(x)_x {x: x ≤ _mRx ≥ 0 } _{| vincoli}

Quando abbiamo a che fare con due beni (ad es.,un bene particolaree un bene composito, ad esempio) la funzione si utilità sarà una funzionedi due variabili, cioè, graficamente, un piano inclinato

13.10.09 - Lezione 2

Teoria delle preferenze

Vogliamo modellare il gusto del consumatore, cioè supponendo che tutti i panieri dell'insieme di bilancio siano acquistabili, quale compra? La scelta ora non dipende più dal vincolo di bilancio (stiamo lavorando con i soli panieri acquistabili), ma dalle preferenze del consumatore, che si modellano secondo una teoria: le curve di indifferenza.

Il gusto del consumatore si può rappresentare attraverso una funzione che indica come varia la soddisfazione del consumatore al variare dei beni acquistati. Come sarà fatta la funzione U(x).

Se abbiamo a che fare con un solo bene l'insieme di bilancio sarà un segmento:

• se il consumatore non acquista non è soddisfatto, quindi sicuramente U(x)=0 per x=0, dove x è la quantità acquistata.
• nell'ipotesi che il consumatore non sia mai sazio, la funzione sarà montona crescente; può avere un andamento lineare, logaritmico, esponenziale o altro ancora, dipende dalla classe di consumo

Tardi con cui stiamo lavorando. Se per esempio l'incremento dell'utilità è sempre uguale allora U(x) ha un andamento lineare, se l'incremento x va diminuendo si avrà un andamento logaritmico, etc.

L'obiettivo del consumatore è massimizzare la sua soddisfazione quindi, nel caso monodimensionale sarà quindi una cosa del tipo:

max U(x)

x

• x=0
• | vincoli

Quando abbiamo a che fare con due beni (ad es. un bene particolare e un bene composto, ad esempio) la funzione di utilità è di due variabili, cioè graficamente, un piano inclinato.

La curva di indifferenza è un insieme di panieri per i quali l'acquirente si

assume che

• A ⪰ B oppure B ⪰ A oppure entrambi
• se il consumatore è indifferente tra i due panieri

A ∼ B

Riflessività:

ogni paniere è desiderabile almeno tanto quanto se stesso:

A ⪰ A

Transitività:

(non è detto che le preferenze debbano necessariamente

avere la transitività):

Si: C=(c₁,c₂)

se A ⪰ B e B ⪰ C

allora A ⪰ C

• panieri indifferenti al paniere (x₁,x₂)

le curve di indifferenza sono la rappresentazione

nel piano bidimensionale delle superfici di livello della

funzione di utilità

Se la funzione di utilità è regolare, per ogni paniere è possibile costruire

una curva di indifferenza che crea una partizione nell'insieme dei panieri

(panieri preferiti e panieri non preferiti)

Scelte ottime

La scelta ottima del consumatore sarà quel paniere (o quei panieri) che massimizzano l'utilità.

Tracciamo nello stesso grafico il vincolo di bilancio e una famiglia di curve di indifferenza:

Poiché l’utilità acquisibile da parte del consumatore cresce man mano che le curve di indifferenza vanno in alto a destra, il paniere ottimo giace sulla curva di indifferenza più elevata che è tangente alla retta di bilancio (il paniere ottimo deve essere parte dell’insieme ammissibile), se il punto di tangenza esiste. La condizione di tangenza infatti è necessaria ma non sufficiente, affinché sia necessaria e sufficiente occorre che la curva di indifferenza sia convessa. Questo accade quando abbiamo a che fare col consumatore tipico, che preferisce il paniere medio agli estremi.

Le curve convesse rappresentano anche un altro comportamento importante:

1. Un consumatore preferisce una combinazione di due panieri indifferenti l’uno all’altro rispetto ai singoli panieri;
2. Tanto meno _X2 è desiderato da un consumatore, tanto meno sarà disposto a scambiarlo con il bene x₁.

Questo significa che il tasso marginale di sostituzione (MRS) tende a zero. Il MRS (Marginal Rate of Substitution) è l’inclinazione di una curva di indifferenza in relazione di un punto particolare ed è il rapporto

_Δx1/_Δx2

che, essendo appunto marginale,^{Δx₂ e Δx₁} sono quantità infinite, sicché l’ende ² zero

_Δx2/_Δx1 →0

La scelta ottima del consumatore, se le curve di preferenza non sono convesse, si può avere non in corrispondenza del punto di tangenza tra curva di indifferenza e retta di bilancio, ma sulla “frontiera” dell’insieme ammissibile dei panieri:

Domanda del consumatore

Siamo adesso in grado di calcolare la domanda di un bene. Abbiamo:

I (1, 2, ……., m)

X =(X₁, X₂, ……., X_m)

P =(p₁, p₁, ……., p_m)

Come si calcola la scelta ottima del consumatore? La funzione di domanda rappresenta la variazione della combinazione ottima (x₁, x₂) al variare di m, p₁ e p₂

x₁ = x^*₁(m, p₁, p₁)

x₂ = x^*₂(m, p₁, p₁)

scelta ottima

Per costruire la curva di domanda di un bene abbiamo bisogno della curva prezzo-consumo, che indica come e quanto varia il consumo di un bene in funzione del suo prezzo. Ad esempio, supponendo di far variare solo il prezzo del bene 1:

scelte ottime curva prezzo-consumo

Per un bene ordinario (cioè un bene per cui un aumento del prezzo causa una diminuzione della domanda) la curva di domanda è una cosa di questo tipo:

Sappiamo già come varia la domanda di un bene se varia il suo prezzo. E se fa variare il prezzo degli altri beni? In prima approssimazione, se aumentato il prezzo di un bene se ne consumerà di meno se è un bene ordinario, e se se ne acquista di meno per massimizzare la propria soddisfazione se ne acquista una quantità maggiore dell'altro. Questo accade quando due beni sono sostituti. e se si ha

_dx2/_dp1 < 0  (se 2 è sostituto di 1)

oppure

_dx1/_dp2 < 0  (se 1 è sostituto di 2)

Ciò equivale a dire che un bene sostituisce l'altro, diventato più caro.

Se, invece, in corrispondenza dell'aumento del prezzo di un bene fa diminuire il consumo dell'altro si ha a che fare con un bene complemento, e in questo caso si ha:

_dx1/_dp2 < 0  (se 1 è complemento di 2)

oppure

_dx2/_dp1 < 0  (se 2 è complemento di 1)

I beni complemento sono tipicamente beni consumati congiuntamente.

A questo punto dalla domanda individuale possiamo passare alla domanda di mercato, che sarà la somma delle domande individuali di ciascun consumatore, ognuno con la sua preferenza.

Esempio

Si determini la curva di domanda aggregata di un mercato caratterizzato da due classi di consumatori, le cui curve di domanda individuali sono rispettivamente:

• X = 30 - 6p
• X = 10 - p

Il bene è normale.

1. Calcolare la funzione di domanda complessiva
2. Determinare quanto del bene X verrà richiesto in piú in corrispondenza di una diminuzione del prezzo del 20%

(20-7,5)

2,5