Glossario, teoremi e dimostrazioni di algebra lineare

TEOREMI

PROPRIETÀ

1. Proprietà commutativa

v + w = w + v

2. Moltiplicazione per uno scalare

l Î R

Î

v = 2

4 l

Proprietà delle lv = l2 4 = C D

l

operazioni in R

2 3. Distributiva

l(v+w) = lv + lw

(l+µ)v = lv + µv

4. Esiste il vettore nullo in R2

v + 0 = 0 + v = v

Proprietà degli 1. Se si aggiungono vettori a una famiglia di vettori

insiemi di vettori linearmente dipendenti, tale famiglia aumentata continuerà

linearmente ad essere linearmente dipendente

dipendenti 1. Se si tolgono vettori da una famiglia di vettori linearmente

Proprietà degli indipendenti, la famiglia resta linearmente indipendente

insiemi di vettori 2. Se si aggiungono vettori ad una famiglia di vettori

linearmente linearmente indipendenti, questa potrebbe diventare

indipendenti linearmente dipendente

1.

Proprietà le componenti a del vettore dato sono univocamente

i

fondamentali determinate i generatori v , …, v sono linearmente

ßà 1 r

delle basi indipendenti (cioè v , …, v sono base)

1 r

TEOREMI

Dati due vettori linearmente dipendenti, lo 0 si può scrivere in

Dipendenza lineare un’infinità di modi, cioè vi sono infinite soluzioni che portano ad

ottenere lo 0 da combinazioni di diversi valori dei combinatori

Vettori linearmente

dipendenti in un Se 3 vettori di uno spazio vettoriale reale sono linearmente

sottospazio dipendenti, almeno 1 è combinazione lineare dei rimanenti

vettoriale Stabilisce il numero di vettori che costituiscono una base

(dimensione dello spazio)

Se ho n vettori di R che sono linearmente

n

Corollario 1 indipendenti, essi sono sicuramente base di

Teorema della base R

n

Se ho n vettori di R che sono generatori,

n

Corollario 2 essi sono base, ovvero sono anche

linearmente indipendenti

v Î W rk < v , …, v > = rk < v, v , …, v >

ßà 1 r 1 r

Perché vuol dire che il vettore che è stato fornito è combinazione

Teorema di lineare degli altri, cioè linearmente dipendente dagli altri

Rouché-Capelli • Applicazione nei sistemi lineari:

Il sistema ammette soluzioni rkA = rk(A|b)

ßà

Rango di una Il rango della famiglia di vettori colonna è uguale al rango della

matrice famiglia di vettori riga e si dice generalmente “rango della matrice A”

Operazioni Mantengono invariato il rango della famiglia data e conducono

elementari sempre ad una forma a scala in un numero finito di passi

S = S’ h + U = h’ + U’

ßà

Siano date le varietà lineari:

Uguaglianza tra S = h + U

varietà lineari S’ = h’ + U’ '

F =

'

= ←→ Î

'

ℎ−ℎ

DIMOSTRAZIONI

v + v + … + v = con combinatori non tutti nulli

a a a ()

1 1 2 2 r r

Dipendenza

lineare Almeno 1 vettore è combinazione lineare degli altri:

a b

v + w = h

a b

che è anche v + w – h = 0

v + v + … + v = 0 con combinatori non tutti nulli

a a a

1 1 2 2 r r

Almeno 1 vettore (almeno uno deve essere ¹ 0)

combinazione

lineare degli altri

in una famiglia !" !$

a v = a v - … - a v v = - v - … - v

linearmente à

1 1 2 2 r r 1 2 r

!# !#

dipendente v è combinazione lineare dei rimanenti vettori

1

1. aggiunta di vettori resta dipendente

à

Proprietà della

dipendenza aggiungo il vettore nullo:

lineare a v + a v + … + a v + 0v = 0 + 0 = 0

1 1 2 2 r r

v + v + … + v = combinatori tutti = 0

a a a () ßà

1 1 2 2 r r

Indipendenza A. dimostrazione geometrica

lineare B. dimostrazione algebrica

C. dimostrazione con le matrici

(vedi esercizio sulla base)

1. rimozione di vettori resta indipendente

à

Proprietà a

1 = 0

dell’indipendenza a

2 = 0

lineare a v + a v + … + a v = 0 J

à Significa per forza che

1 1 2 2 n r (… )

a

= 0

2. aggiunta di vettori potrebbe essere dipendente

à

famiglia v , v linearmente indipendente:

1 2

a v + a v = 0 a e a = 0

ßà

1 1 2 2 1 2

+ v ?

3

Pongo che:

v + v + k v = 0

a a

1 1 2 2 3

in cui k è sicuramente ¹ 0, altrimenti avremmo a v + a v

1 1 2 2

= 0 e cioè che uno tra v e v è combinazione lineare dell’altro

1 2

MA per ipotesi sono linearmente indipendenti e quindi questo

non è possibile! a a

− −

a v + a v + k v = 0 v = v v

à

1 1 2 2 3 3 1 2

v si può scrivere come combinazione lineare degli altri 2

3

vettori famiglia linearmente dipendente

à

1. 0 W

Î (necessaria e sufficiente)

a + b

2

4 2 4 = 0

Essere 2. chiusura alle combinazioni lineari

sottospazio

a + b Î W

2

4 2 4

Scelgo arbitrariamente dei valori per a e b e controllo che il

vettore che ne risulta Î W dato a b Î

1. Uso la definizione di sottospazio h + k W?

à

h = a v + … + a v = S a v

1 1 r r i i

Essere spazio k = b v + … + b v = S b v

1 1 r r i i

generato

<v , …, v >

1 i (" g

a(S a v ) + b (S b v ) = Saa v + Sbb v = S (aa + bb ) v = v

∑

i i i i i i i i i i i i i

g

quando m = n

Base canonica di 1. dimostrare indipendenza lineare

uno spazio di

matrici 20 0

a b g d

E + E + E + E = 4

1 2 3 4 0 0

1. Indipendenza lineare

0

v = ae + be = 2 4

1 2 0

se almeno 1 è combinazione lineare degli altri

no indipendenza

à a =0

1 0 0

v = a2 b2 =

4 + 4 2 4 → 6 b =0

0 1 0

e , e linearmente indipendenti

à 1 2

Base canonica

(in qualsiasi R) 1. Dimostrazione di essere generatori:

SE e , e generatori di R ,

2

1 2

ALLORA R = < e , e > = {ae + be } con a, b Î R

2 1 2 1 2

prendo un v qualsiasi in R :

2

v = Î R

2

2 4

v = re + se " r, s Î R?

1 2 =

1 0

r s

= = perché

2 4 2 4 + 2 4 2 4 F

=

0 1 ¹

quando m n

1. Essere generatori

′

r s

= =

' * ' * + . 0 ' *

R = < e , e > = {ae + be }

2 à

1 2 1 2

′

2

= componenti del vettore h qualsiasi Î R

) ,

= componenti di e

) , 1

′ = componenti di e

/ 1 2

′

2. Essere linearmente indipendenti

A. Geometricamente:

vedo se i vettori, disegnandoli, sono complanari

vettori complanari dipendenza lineare non è base

vettori non indipendenza lineare è base

complanari

Vettori dati

costituiscono B. Algebricamente:

una base av + bw = h

se verificata dipendenza lineare non è base

se non verificata indipendenza lineare è base

(ho una contraddizione)

C. Con le matrici:

rkA < numero di dipendenza lineare non è base

righe

rkA = numero di indipendenza lineare è base

righe quando m = n

Dimostro una sola tra le condizioni 1 e 2 (più conveniente

indipendenza lineare!)

1. Componenti del vettore v univocamente determinate:

a

= 0

(&

Hp: siano v a v = 0 lin. indipendenti

∑ → F

à

i i i a

= 0

!"

SE ricavo v = r v

∑

à i i

ALLORA i r sono univocamente determinati

Siano:

v = år v

i i

v = ås v

i i

(" (" (" (" ("

r v = s v r v - s v = 0 (r - s ) v = 0

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

→ →

i i i i i i i i i i i

Quindi tutti i combinatori devono essere = 0 se i v sono

i

linearmente indipendenti

r s

( 1 − 1) = 0 1 = 1

r s 2 = 2

( 2)

2 − = 0

→ J → J …

…

r s =

( − ) = 0

Le componenti

del vettore dato

sono

univocamente 2. Generatori v , …, v linearmente indipendenti:

1 r

determinate r r

2"

SE v = v con i combinatori univocamente determinati,

∑ i i

ALLORA v sono linearmente indipendenti

i v v

(" ("

r v = s v

∑ ∑ " vettore v scritto

i i i i come combinazione

lineare dei v in 2

i

modi diversi

(" ("

r v - s v = 0

∑ ∑

i i i i

(" (r - s ) v = 0

∑ i i i

Questo vuol dire che i combinatori sono univocamente

determinati:

r s

( 1 − 1) = 0 1 = 1

r s 2 = 2

( 2)

2 − = 0

→ J → J …

…

r s =

( − ) = 0

Insieme scritto nella forma:

Varietà lineare

+ a# + á ñ

= R S ) = R S # )

1. 0 S?

Î

Varietà lineare è

sottospazio Se sì è sottospazio

à

Se no è solo varietà lineare

à Ax = 0

Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo.

Posto che: x (Ax = 0) è soluzione

I I

x (Ax = 0) è soluzione

II II

chiamo h il vettore risultante dalla combinazione lineare

Soluzioni di un di x e x :

I II

sistema lineare

omogeneo Ah = A (ax + bx ) = A ax + A bx = a Ax + b Ax = 0

I II I II I II

so che è = 0

so che è = 0

vedo che una loro qualsiasi combinazione lineare è soluzione

à (cioè ottengo Ah = 0)

h è anch’esso soluzione h Î S S è un sottospazio

à à à

Ax = b

chiamo h il vettore risultante dalla combinazione lineare

di x e x :

I II

Soluzioni di un

sistema lineare A (ax + bx ) = A ax + A bx = a Ax + b Ax = b

I II I II I II

non omogeneo ma stavolta non posso dire nulla di Ax e Ax !

I II

à (mentre nel caso omogeneo sapevo che erano = 0)

S è una varietà lineare

à ESERCIZI TIPICI

a b

v + w = 0

Dire se n vettori

sono linearmente a, b = 0 indipendenza lineare

dipendenti o

indipendenti dipendenza lineare

a, b ¹ 0 o un