Gestione dei rischi finanziari

RISCHIO DI MERCATO

Il rischio di mercato è il rischio di variazioni del valore di mercato di uno strumento o di

un portafoglio di strumenti finanziari connesse a variazioni inattese dei fattori di

mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e volatilità di tali variabili).

Il rischio di mercato è diventato sempre più importante perché c’è stato un tema di

cartolarizzazione, di diffusione delle metodologie contabili basate sul principio di Mark

to market, episodi di crisi e infine perché la vigilanza si è sempre più interessata del

rischio di mercato. L’importanza deriva anche dal fatto che è più facile da studiare dal

punto di vista del relatore in quanto si ha a che fare con molti dati disponibili e di

disponibilità dei modelli.

Il metodo di trattazione del rischio di mercato nasce verso la fine degli anni 80 ovvero

periodo in cui si erano molto affermati i derivati finanziari e le grandi banche erano

avvolte da una forma di insoddisfazione circa le forme di investimento tradizionali. Per

misurare le rischiosità delle varie forme di investimento venivano utilizzate le seguenti

misure di sensibilità: duration per le obbligazioni, beta per i titoli azionari, basis point

value, delta e gamma. Tuttavia, ciò che le banche richiedevano ai loro manager era

un’unica misura di sensibilità che racchiudesse le misure dette in precedenza. Per

questo si introdusse, per migliorare la comunicazione orizzontale (responsabili del

portafoglio), verticale (top management) e dunque una misura consente di aggregare

e quindi additiva e per la correlazione, si introdusse il concetto di value at risk o VAR o

capital at risk CAR.

Il vantaggio ricercato nelle misure di VAR era:

È basato sul conetto di valore di mercato e non nominali: dobbiamo immaginare

 che quelle posizioni sono negoziabili e quindi di liquidarla immediatamente.

Rifletta il diverso grado di sensibilità delle posizioni alle variazioni dei fattori di

 mercato

Rifletta il diverso grado di volatilità dei fattori di mercato

 Consenta di aggregare i rischi di posizioni diverse



Questi erano i vantaggi che si ricercavano in tale misura definita VAR. Essenzialmente

i concetti rilevanti sono:

1. la massima perdita potenziale che una posizione può subire,

2. con un certo di livello di confidenza,

3. in un determinato orizzonte temporale Pr( L > VAR) = 1 – c

riassumibili nella seguente funzione matematica:

dunque, ciò che a noi interessa è qual è la perdita che noi potremmo avere domani

con una probabilità molto bassa, non vogliamo sapere la perdita esatta ma la perdita

massima con una probabilità bassa. Possiamo spiegare questo attraverso uno schema

e ipotizzare qual è la distribuzione che il fenomeno segue. Si inizia da una

distribuzione normale in quanto dipende dai parametri medie e deviazione standard.

Dal momento in cui

sappiamo la media

e la deviazione

standard, possiamo

sapere anche

l’integrale ovvero la

somma che sta

sotto la

distribuzione

normale, che va da

meno infinito a più

infinito, che è pari a

1. Sappiamo che ci

sono degli intervalli

tipico: tra

l’intervallo meno sigma e più sigma ci sta il 66% dei casi; nell’intervallo -2sigam e

+2sigma abbiamo il 95% dei casi; nell’intervallo -3sigama e +3sigma abbiamo il 99%

dei casi. Una volta che sappiamo questo, possiamo adattare queste cose al risk

management. Come? Attraverso questo grafico. Volgiamo sapere qual è quel livello, x

che è il nostro VAR, che lascia da una parte il 95% dei casi e il 5% dei casi. Noi

chiameremo vari al 95%, possiamo fare il VAR al 99% che lascia l’1%.

L’approccio che stiamo vedendo è definito come approccio varianza-covarianza

parametrico. È detto parametrico perché c’è una funzione che descrive il nostro

fenomeno in modo preciso che è la nostra funzione normale identificata dai parametri

media e varianza. Il valore a rischio sarà dato dal valore di mercato VM (tutti i titoli

valorizzati sulla base dei prezzi correnti Mark to market), da un fattore di sensibilità del

valore di mercato della posizione a variazioni del fattore di mercato, la volatilità

stimata del fattore di mercato moltiplicato per alfa (alfa mi individua il numero di volte

che la volatilità deve essere moltiplicata per ottenere il 90, 95, 99% dei casi).

Il valore alfa sarà uguale 1.65 per il 95% e 2.3 per il 99%. Sono quelli che ricorrono più

frequentemente. Alfa è un parametro che decide il risk manager.

1.050.000, ovvero il valore

di mercato è dato da 1

milione per 105 / 100.

Questo è il Mark to market.

Essendo una obbligazione,

avrà come delta la sua

duration. Moltiplichiamo

per la sua volatilità e poi

moltiplicato per l’alfa pari

a 2.326 che corrisponde

all’intervallo di confidenza

del 99%. Questo è il modo

di applicare la formula del

VAR.

Dei parametri presenti nella formula, il più complicato da trattare è la volatilità perché

ciò che a noi serve è la volatilità futura basandoci su quella passata. Dobbiamo

dunque stimare la volatilità e per fare questo abbiamo 3 modi di stimarla: volatilità

storica, volatilità implicita e i modelli Garch.

Vediamo la volatilità storica

nel calcolo della volatilità storica, più grande è il campione e maggiore è il contenuto

ma c’è un problema ovvero che per avere un campione grande dobbiamo andare

indietro nel tempo ma così facendo rischio di guardare dati vecchie quindi non

aggiornati. A questo c’è tuttavia una soluzione, possiamo usare la media mobile

semplice ovvero tutti i dati hanno lo stesso effetto ma la media mobile ha un problema

definito come “echo effect”. L’echo effect è possibile spiegarlo in questo modo:

quando si verifica uno shock di mercato, la volatilità subisce un rialzo e

successivamente scende quando lo shock esce dal campione storico di stima, ossia

dopo che lo shock è terminato. Questo problema è definito come volatility clustering e

vediamo come trattarlo. Per trattare questo problema viene usato lo strumento delle

medie mobili esponenziali

EWMA.

si tratta di prendere ogni

numero e moltiplicarlo per

lamba, che è compreso tra 0 e

1 in particolare molto vicino ad

1. Quando lamba è uno, abbiamo la media mobile semplice, se lamba fosse uguale a

0.5 i numeri perderebbero molto rapidamente di peso. L’effetto che otteniamo con

questo tipo di livellamento esponenziale è una proprietà che prevede di far perdere

progressivamente id importanza alle osservazioni man mano che invecchiano. Cosi

facendo abbiamo il livello esponenziale e otteniamo la formula per calcolare la

deviazione standard. (all’esame non si calcola ma è

necessario sapere cos’è il livellamento

esponenziale)

Dunque, maggiore è lamba e minore è la

rapidità con la quale le osservazioni perdono

peso con il passare del tempo mentre

minore è lamba e maggiore è la rapidità con

la quale le osservazioni perdono peso con il

passar del tempo.

Un ulteriore modello per la stima della volatilità è il GARCH. L’approccio garch può

funzionare per stimare l’evoluzione della varianza in quanto il garch misura una

metodologia di adattamento dell’errore di stima. Il modello garch che ci interessa

maggiormente è il GArch(1,1) in cui la varianza al tempo t dipende da tre fattori:

Alfa 0 è una costante che dovrebbe essere 0 se il modello è stimato bene, un

parametro alfa1 che rappresenta una stima di quanto incide l’errore di previsione fatto

nel periodo precedente, mentre il parametro beta 1 usa la varianza stimata nel

periodo precedente. Il modello garch è un modello auto regressivo. In questo modo

abbiamo una stima della varianza.

Meno usato è il modello della volatilità implicita. È il modello che deriva dalle teorie

delle opzioni la quale dice che un valore di una opzione call americana è funzione delle

5 variabili: prezzo di mercato, prezzo di esercizio, tempo alla scadenza, tasso di

interesse e volatilità. Di queste 5 variabili, l’unico parametro soggetto a stima è la

volatilità. La stima della volatilità implicita presenta alcuni problemi:

1. per molte variabili non esistono opzioni quotate

2. il mercato delle opzioni non è liquido per tutti gli strumenti anzi per la normalità

degli strumenti è poco liquido

3. si ipotizza che il modello di black è giusto e la formula che vado a risolvere è

basato sul modello che è molto accurato ma non perfetto.

Queste ipotesi fanno sì che tale modello non è molto usato per questi limiti.

Il modello più utilizzato per la stima della volatilità è il modello a media mobile con

livellamento esponenziale EWMA, dopo abbiamo il GARCH.

Passiamo adesso ad un altro importante aspetto che è rappresentato dall’orizzonte

temporale. L’orizzonte temporale da scegliere dipende da un fattore soggettivo

(ovvero decido io il periodo) o da un fattore oggettivo (le mie considerazioni devono

essere basate sulla liquidità della posizione). Tuttavia, quando vogliamo convertire una

volatilità giornaliera in una volatilità mensile, dobbiamo moltiplicare per la radice di

22, perché quelli che contano sono i giorni lavorativi di borsa, si utilizzano i business

day. √

=σ

σ T

T G

Altro problema che ci poniamo è: quale livello di confidenza scegliere. Se prendiamo la

distribuzione normale e di questa sappiamo tutto (pigreco, media e deviazione

standard del fenomeno) allora possiamo calcolare gli integrali indefiniti che ci

permettono di determinare gli intervalli di confidenza.

Dunque, possiamo determinare il VAR come la differenza tra il valore atteso e la

perdita corrispondete all’intervallo di confidenza considerato.

VAR = E(P) – L

Tuttavia, possiamo rendere questo ancor più semplice perché quando parliamo di

rischio di mercato, noi abbiamo in mente posizioni con durata molto breve e quindi

quando questo è vero, la migliore stima del rendimento atteso su intervallo atteso è

pari a 0, rendimento 0. Allora le deviazioni le posso fare rispetto a 0 anziché sulla

media ottenendo quindi distribuzione normale con media nulla.

Aspetto interessante è che le banche non sono completamente libere di scegliere

l’intervallo di confidenza.

In base a su cosa faccio il calcolo, distinguo l’approccio asset normal dall’approccio

delta normal. In quello asset normal, le ipotesi di distribuzione normale sono applicate

ai valori di mercato delle posizioni dei prezzi. L’approccio più corretto è quello delta

normal che si basa su ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di

mercato e non sui valori.

VAR DI PORTAFOLGIO

Fino ad ora abbiamo ragionato su una singola posizione, il problema è che non è

realistico. Nessuna banca ha una singola posizione ma ha un portafoglio con

dimensioni grandi. Dobbiamo dunque calcolare il VAR di portafoglio. Sappiamo bene

che il rischio di portafoglio non è la somma dei rischi delle posizioni che ci sono

all’interno del portafoglio. Per determinar il rischio di portafoglio venie calcolato

attraverso le correlazioni fra i rendimenti dei fattori di mercato. Quindi il VAR è dato

dal valore di mercato delle singole attività moltiplicato per i fattori di mercato e

moltiplicato per rho:

Quando introduciamo il concetto di correlazione, abbiamo dei problemi: sono da

calcolare, sono instabili e c’è un tema organizzativo ovvero un meccanismo di

attribuzione delle responsabilità. C’è tuttavia, una possibile soluzione semplificatrice

dove consideriamo l’inesistenza delle correlazioni e quindi fare la somma dei rischi. Ho

una stima del VAR ma non mi porto i benefici delle correlazioni.

In questo caso abbiamo due aspetti importanti:

1. il VAR del portafoglio può essere inferiore rispetto a quello della posizione più

rischiosa, il così detto effetto di copertura naturale (natural hedge)

2. le correlazioni tendono ad aumentare in corrispondenza di shock di mercato

MAPPING

Dato che abbiamo necessità, per economia di calcolo e qualità del calcolo, di tenere

sotto controllo un numero di fattori di mercato relativamente basso e tantissimi

strumenti finanziari sui quali calcolare il VAR, usiamo il mapping. Usiamo il mapping

quando dobbiamo ricondurre tante posizioni ad un numero più basso di fattori di

mercato.

Per le posizioni in titoli azionari, in portafoglio, queste devono essere ricondotte e

quindi mappate sui fattori di mercato rilevanti mediante il beta. Il beta in questo caso

rappresenta un indicatore di sensibilità del rendimento del titolo alle variazioni

dell’indice di mercato. Il beta collega il rendimento atteso di un titolo con il rendimento

atteso del mercato.

A questo punto avremo:

Dove sigma J è la volatilità dell’indice di mercato J. Alfa rappresenta sempre il valore a

scalare dell’intervallo di confidenza. Quindi poi possiamo calcolare il VAR di portafoglio

in quel modo.

È un valore approssimato perché il beta non misura tutto rischio. Per calcolare il rischio

totale dobbiamo calcolare nel modo seguente:

Quindi con il mapping noi stiamo facendo:

1. ipotesi di assenza di rischio specifico

2. ipotesi che il rischio sistematico è colto adeguatamente da un modello uni-

fattoriale quale CAPM

3. ipotechi che è adeguato a portafogli ben diversificati

LIMITI APPROCCIO VARIANZE-COVARIANZE

Con i concetti detti fin qui, abbiam potuto estrarre il massimo da questo modello.

Tuttavia, tale modello varianze-covarianze che abbiamo visto fin ora presenta dei

limiti:

1. ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato: noi

abbiamo usato una distribuzione normale, ma nessuno ci garantisce che

abbiamo fatto bene

2. la matrice varianza covarianza è costante: ma non è così anzi è l’esatto

contrario, infatti, quando ci sono fasi tese di mercato tende a non diventare

vera e quindi smentita dalla realtà

3. indipendenza seriale dei rendimenti dei fattori di mercato: i fenomeni di

volatilità dei prezzi tendono a cadere in modo casuale. C’è dipendenza seriale

quando c’è una concertazione degli shock. La volatilità tende a generare altra

volatilità

4. ipotesi di sensibilità lineare delle posizioni alle variazioni dei fattori di mercato:

vuol dire che se il fattore di mercato cambia dell’1% la posizione perde il 2%, se

il fattore di mercato cambia del 2% la pozione perde 4%. Abbiamo una distanza

di 2 punti percentuali ovvero pay off lineari.

Per quanto riguarda la distribuzione normale dei rendimenti di mercato presentano

code più spesse e quindi una curtosi maggiore di quella della normale, e sono sovente

asimmetriche verso sinistra. Se la coda è grassa vuol dire che in quella parte della

distribuzione c’è più probabilità di quella che mi direbbe la distribuzione normale. Lo

spostamento verso sinistra ci dice invece che la probabilità che nella distruzione

normale è simmetrica avere guadagni o perdite, nella realtà è più probabile avere

perdite anziché avere guadagni. Soluzione a questo è cambiare la distribuzione e ad

esempio possiamo usare una t-student che ha le proprietà dette prima. È importante

che la distribuzione t-student risolva i problemi perché altrimenti non varrebbe la pena

ma le analisi dicono che anche la t-student presenta dei problemi e non viene molto

adottata. Una seconda soluzione che viene invece adottata, prevista da Risk Metrics,

vede i rendimenti estratti da due distribuzioni normali con media uguale ma con

diversa varianza. Una di queste presenta una probabilità maggiore ma con varianza

minore. Risk Metrics ci dice in particolare che la volatilità è figlia di due fattori:

strutturali e ciclici o congiunturali.

Per quanto riguarda la sensibilità lineare sappiamo che non sempre bisogna usarla. Per

i bond si può usare la duration + convessità, per le azioni possiamo usare delta +

gamma. La correzione per la non linearità si usa a volte perché costa poco ma non

risolve del tutto il problema.

L’ipotesi di sensibilità presenta i seguenti problemi:

1. la distribuzione delle variazioni del valore del portafoglio deriva dalla

combinazione di un’approssimazione lineare (delta) e di una quadratica

(gamma) e dunque la forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei

valori di mercato non è determinata. Questo accade perché alcuni portafogli di

opzioni presentano un payoff non monotono e anche l’utilizzo dell’espansione al

secondo termine conduce a errori significativi

una possibile soluzione alternativa a delta-gamma sono i modelli di simulazione.

MODELLI VAR DI SIMULAZIONE

I modelli di Var simulazione rappresentano la soluzione unica quando la relazione tra

valore della posizione e fattore di mercato diventa troppo complicata e non lineare.

Abbiamo due tipi di modelli di simulazione:

1. simulazione storica

2. simulazioni Monte Carlo

Tutti i modelli di simulazione hanno in comune una caratteristica fondamentale: non

faccio nessuna ipotesi sulla forma funzionale che lega il valore del portafoglio con i

rendimenti dei fattori di mercato. Con la simulazione storica vedo come le cose sono

andate in passato mentre con le simulazioni monte carlo faccio delle proiezioni future.

I modelli di simulazione presentano dei caratteri