Geotecnica - Spinta delle Terre

Cap 13: Spinta delle Terre

Premessa:

La spinta delle terre è la spinta esercitata da un terreno sopra un’opera di sostegno.

Per determinare la spinta delle terre si usano 2 teorie storiche:

1. Rankine
2. Coulomb

Queste due teorie fanno uso di superf di scorrim piane, ma in realtà le superf di scorrim sono in parte curvilinee per l’attrito tra il terreno e la parete. Dunque, almeno nel calcolo della spinta passiva, è meglio usare teorie che usano superf di scorrim curvilinee, come quella di Caquot e Kérisel.

Par 1: Teoria di Rankine

Ho un punto A alla profondita’ z di un deposito di terreno.

γ z 1.a

Il terreno è delimitato superioram. da una sup. piana.

Cap 13: Spinta delle Terre

Premessa:

La spinta delle terre e' la spinta esercitata da un terreno sopra un'opera di sostegno.

Per determinare la spinta delle terre si usano 2 teorie storiche:

• Rankine
• Coulomb

Queste due teorie fanno uso di superf di scorrim piane, ma in realta' le superf di scorrim sono in parte curvilinee per l'attrito tra il terreno e la parete. Dunque, almeno nel calcolo della spinta passiva, e' meglio usare teorie che usano superf di scorrim curvilinee, come quella di Caquot e Kerisel.

Par 1: Teoria di Rankine

Ho un punto A alla profondita' Z di un deposito di terreno.

z > l.a

Il terreno e' delimitato superiom. da una sup. piana.

IPOTESI SEMPLIFICATRICI:

• 1) TERRENO INCOERENTE c'=0
• 2) TERRENO OMOGENEO
• 3) TERRENO ASCIUTTO
• 4) SUPERF ORIZZONTALE

• IN TALI CIRCOSTANZE LO STATO DI TENSIONE È ASSIAL-SIMMETRICO, E POICHÉ u_w=0 ⇒ σ=σ'

• NEL PUNTO A AGISCONO: σ’_vo = γZ

σ’_ho = K_oσ’_vo

• DI NORMA K_o<1, DUNQUE:

σ’_vo = σ’₁

σ’_ho = σ’₃

• SE IL TERRENO HA RESIST AL TAGLIO DEFINITO DAL CRITERIO DI MOHR-COULOMB (τ = σ’tg φ’), LA SITUAZIONE TENSIONALE NEL PUNTO A È LA SEGUENTE:

LA ROTTURA NON È RAGGIUNTA IN ALCUN PUNTO.

A QUESTO INSERIAMO A DESTRA E A SINISTRA DI A, 2

PARETI VERT IDEALI, CIOÈ CHE NON MODIF LO STATO TENSIONALE DEL TERRENO.

SUI DUE LATI DI CIASCUNA PARETE, SI ESERCITA UNA PRES. SIONE. ESSA VALE: σ'ᵥ₀·K₀γZ

LA SPINTA PRESENTE SUI DUE LATI DI CIASCUNA PARETE VALE:

S₀ = ∫₀^H σ'ᵥ₀dz = ¹/₂ K₀γH²

E LA RETTA D'AZIONE DI S₀ È APPLICATA IN:

Z₀ = ∫₀^H σ'ᵥ₀·Z·dz / S₀ = ²/₃ H

ALLONTANIAMO GRADUALM LE DUE PARETI L'ULA DALL'AL TRA. LE TENS VERT E ORIZZ SONO ANCORA PRINCIPALI, PERÒ ----

• σ'ᵥ₀ = γZ NON VARIA
• σ'ₕ₀ = SI RIDUCE PROGRESSIVAM

IL CERCHIO DI MOHR CAMBIA COME IN FIGURA. σ'ₕ₀ SI RIDUCE FINO AL VALORE MINIMO COMPATIBILE

CON L'EQUILIBRIO:

TENS LIMITE ATTIVA

Ora, FC = OC·σ_nφ’

½ (σ’_v0 - σ’_hA) = -½ (σ’_v0 + σ’_hA)·σ_nφ’

σ’_hA (1 + σ_nφ’) = σ’_v0 (1 - σ_nφ’)

σ’_hA = 1-σ_nφ’/1+σ_nφ’ · σ’_v0 => σ’_hA = tg²(π/4 - φ’₂) · σ’_v0

Dunque: K_a = 1-σ_nφ’/1+σ_nφ’ = tg²(π/4 - φ’₂)

COEFF DI SPINTA ATTIVA

E σ’_hA = K_a σ’_v0

ORA, LA O’_crit E I_crit SONO LE COORDIN DEI PUNTO F.

I_crit AGISCE SU UN PIANO CHE INCLINATO DI π/4 + φ’₂

RISPETTO ALL'ORIZZONTALE.

IN CASO DI ROTTURA IL TERRENO SCORRE LUNGO QUESTO

Piano.

E _a, la spinta presente su ciascuna parete ideale lato interno, vale:

_a = ∫₀^H o'h_adz = ½ KaH²

Essa è applicata in Z_a = ⅔H

Avviciniamo le due pareti l'una all'altra.

o'_v0 = costante

o'_h0 = cresce progressiv fino al valore massimo compatibile con l'equilibrio.

In tali condizioni:

• o'_v0 = o'₃
• o'_hp = o'₁ tens limite passiva

Ovvero:

E con le stesse considera di prima:

K_p = ^{1 + senϕ'}/_{1 - senϕ'} = tg²(^π/₄ + ϕ'₂) = ¹/_Ka

Coeff di spinta passiva

Le T_ca agiscono su piani che formano un angolo di (^π/₄ - ϕ'₂) con l'orizz.

In condiz di rottura in spinta passiva, il terreno scorre lungo questo piano:

E dunque S_p sui lati interni delle 2 pareti vale:

S_p = ∫₀^H σ'h_p dz = ¹/₂ K_p γH²

Z_p = ²/₃ H

Complicazioni:

1. Movim. della parete:

   La distribuz delle press orizzontali dipende dal movimento della parete. Disegno

   Inoltre le deforma necessarie per far cambiare o'h_o dal valore o'h_a sono molto più piccole di quelle necessarie per far cambiare o'h_o al valore o'h_p.

   Dunque per il calcolo di S_p é bene riferirsi non a ψ, ma a ψ a volume costante (quello per grandi deformazioni).

2. Inclinaz della superf:

   Le ipotesi semplificatrici sono le stesse di prima, ma non la quarta.

   Il terreno è infatti delimitato da una superf piana inclinata di un angolo β rispet. to all'orizzontale. Ora β < φ.

   Le tens vert e orizz non sono più tensioni principali.

   Consideriamo un concio di terreno. La larghezza è b e l'altezza è z.

CHE AZIONI AGISCONO SU DI ESSO?

1) SULLE SUPERFICI LATERALI CI TROVO S_v, UGUALI ED OPPOSTE. LA LORO RETTA D'AZIONE È INCLINATA DI β RISPETTO ALL'ORIZZONTALE. LE DUE S_v SI ELIDONO L'UNA CON L'ALTRA.

2) IL PESO W.

W = γzb

3) LA RISULTANTE DELLE TENSIONI NORMALI ALLA BASE DEL CONCIO → N = Wcosβ

LA TENSIONE NORMALE ALLA BASE DEL CONCIO È:

σ_n = Nr/_bcos²β = Wcos²β/b = γzcos²β/b

4) LA RISULTANTE DELLE TENSIONI TANGENZIALI ALLA BASE DEL CONCIO → T = Wsinβ

LA TENS TANG DELLA BASE DEL CONCIO È:

τ = Tr/_bcosβ = Wcosβsinβ/b = γZsinβcosβ/ b

NEL PIANO DI MOHR, IL PUNTO Q (σ′_n, τ) RAPPRESENTA LA TENSIONE AGENTE SULLA BASE DEL CUNICOLO, ALLA PROFONDITÀ Z E INCLINATA DI β. Q APPARTIENE ALLA RETTA DI EQUAZIONE σ′tanβ=τ

σ′_n = γZcos²β

OQ = γZcosβ = σ′_vo

EBBENE, TUTTI I CERCHI DI MOHR PASSANTI PER Q E SOTTOSTANTI LA RETTA D’INVILUPPO A ROTTURA SONO STATI DI TENS COMPATIBILI CON L’EQUILIBRIO.

SI DISTINGUONO: STATO LIMITE INFER. STATO LIMITE SUPER.

OA = σ′_hA

OP = σ′_hP

PERCHÉ A E P SONO I POLI DEI RISPETTIVI CERCHI.

Vediamo di calcolare O'ₕA e O'ₕp

(Basiamoci sul grafico dell'altra pagina)

LETTURA:

• O'ₕA = OA = OB - AB
• OA = δZcosβ - OB + BQ = OB + AB

Dunque δZcosβ / (OB + AB) = 1

O'A = (OB - AB) / (OB + AB) γZcosβ

• Trasformiamo OB e AB
• OB = OCcosβ; AC = EC
• AB = √(AC² - BC²) = √((OCsinφ)² + (OCsinβ)²)

O'ₕA = KAσ'O

Dove KA = ƒ(φ, β)

σ'O = δZcosβ

SA = 1/2 KAγcosβZ²

ANALOGAMENTE PER SP

3) Presenza della coesione:

Tutte le ipotesi semplificatrici sono valide tranne la prima C ≠0

In tali circostanze:

Z = c' + o'₃ tg

IN TALI CIRCOSTANZE:

1. o'₁ = o'₃ tg²(π/4 + /2) + 2c' tg(π/4 + /2)
2. o'₃ = o'₁ tg(π/4 - /2) - 2c' tg(π/4 - /2)

Dunque: o'h_a = Z_KA - 2c'^1/2√K_A

Dove Z_c = Z T.C. o'h_a=0Z_c = 2c'/√K_APer Z < Z_c => o'h = 0

o'h_up = Z_Kp + 2c'^1/2√K_p

Sp = Sp₁ + Sp₂ = 2c’√Kₚ z + 1/2 δ z² Kₚ

Zₚ = Sp₁ z/2 + Sp₂ 2/3 z / Sp

4) Terreno a strati:

In questo caso:Spinta totale = somma dei contributi di ogni strato

Ovvero: Il generico strato di spessore H_i, posto tra Z_i e Z_i-1, esercita contro la parete ideale una spinta S_i, applicata nel baricentro dell’area del diagramma delle pressioni orizz.

La somma delle varie S_i, da' S_tot.

Quanto vale S_i?S_i = area trapezio → (Base max + Base min) x H/2

Quanto valgono base maggiore e minore?