Geotecnica - Principio delle tensioni efficaci

Principio delle tens efficaci

Il terreno è un materiale multifase. Pertanto, se gli si applicano delle sollecitazioni esterne, il suo comportamento meccanico dipende dall’interazione tra le fasi.

Metodi di studio dell'interazione

Come studio questa interazione? Esistono 2 metodi. Tuttavia, il primo è talmente complesso da risultare inutilizzabile, perciò useremo il secondo.

Descrizione del metodo

Cosa dice? Il terreno è saturo. Il terreno è assimilato a 2 mezzi continui sovrapposti, (solido + fluido) ⇒ Posso estendere ai terreni dei concetti: deformazione e tensione.

Legge di interazione tra le fasi

Ma qual è la legge di interazione tra le fasi? Il principio delle tensioni efficaci è di Karl Terzaghi. Dice: Per ogni punto di terreno posso calcolare le tensioni principali totali σ₁, σ₂, σ₃ che agiscono. Esse sono formate da:

1. Pressione neutra (u): Agisce nell'acqua in tutte le direzioni con uguale intensità.
2. Tensioni principali efficaci (σ’): Hanno sede solo nel terreno.

Conclusione: [σ_t = σ’_t + u]

Interpretazione del principio

Diamone un'interpretazione: Ho una superficie immaginaria di area trasversale (At); essa divide un elemento di terreno saturo.

A_c = Area dei contatti intergranulari
u = Pressione acqua dei pori
F_t,v = Forza totale verticale agente sulla superficie.
F_t,v = ΣF_i (forze trasmesse dai grani nelle aree di contatto) e u = ΣF_i + u · Area = ΣF_i + u(At - A_c)
L’acqua agisce nei vuoti
F_t,v = ΣF_i,v + u(At - A_c)
Divido per At: σ = ΣF_i,v / At + u (1 - A_c / At)
Se A_c / At ≈ 0 σ = σ' + u

Esperimento di comprensione

Vediamo da capire meglio: Ho un recipiente che contiene sabbia e acqua. Il livello dell'acqua coincide con quello della sabbia. Metto sopra la sabbia delle palline di piombo. ↓ σ → ↓ Δh Il piombo trasmette la sollecitazione allo scheletro solido → u = cost Quindi Δσ, Δσ'. Innalzo il livello dell'acqua. ↑ u → Δσ = Δu e σ' = cost Il terreno non ha cedimenti.

Osservazioni sulle ipotesi

* L’ipotesi A_c/At = 0 non è sempre vera. Es: Sabbia Pallini di Piombo Tensioni geostatiche Spesso si vuole conoscere l’effetto che una perturbazione produce su un terreno. Ma poiché il terreno non è perfettamente elastico, il suo comportamento dopo una perturbazione dipende dallo stato tensionale iniziale del terreno.

Stato tensionale iniziale

Quindi è importante conoscere lo stato tensionale dovuto allo stato iniziale (ovvero il peso proprio del terreno) noto come tensioni geostatiche. Questo è il punto di partenza per la determinazione di qualunque problema di geostatica e geotecnica.

Fattori delle tensioni geostatiche

Da cosa dipendono le tensioni geostatiche?

• Geometria del deposito
• Pressione acqua sui pori
• Natura del terreno
• Storia tensionale (Le varie tensioni che hanno interessato il deposito dalla sua formazione a oggi).

Determinazione dello stato tensionale

Prendo un punto P all'interno di un deposito di terreno. Riferiamoci ad un elemento cubico e infinitesimo di terreno. I suoi lati sono orientati secondo il seguente Sda: Note le componenti normali (O) e tangenziali (T) delle tensioni agenti sulle facce del cubo, posso determinare lo stato tensionale.

Equazioni indefinite di equilibrio (alla rotazione e traslazione). Ma esse risultano troppo complicate!

Ipotesi semplificatrici

1. Piano di campagna e infinitamente esteso
2. Terreno omogeneo e, se a strati, con strati orizzontali
3. Falda orizzontale e in equilibrio idrostatico

Otteniamo così uno stato tenso assiale e simmetrico rispetto a z. In esso:

• Le tensioni orizzontali sono uguali, in tutte le direzioni
• Esiste una tensione totale verticale σ_z=σ_v
• Esiste una tensione totale orizzontale σ_x=σ_y=σ_h
• Le forze di volume sono solo la Forza Peso

Si hanno le nuove Equazioni Indef. Equilibrio:

∂σ_h/∂y + ∂σ_h/∂x = 0

∂σ_v/∂z = γ

Valori delle tensioni

Quanto valgono?

Tensioni verticali

Da ∂σ_v/∂z = γ ⇒ σ_v = ∫₀^z γ(z) dz Suppongo il terreno omogeneo: γ = cost Suppongo che σ_v = 0 per z = 0 Ottengo: σ_v = γ · z Profondità terra sopra st. Peso di volume del terreno(γ = P_tot/V_tot γ∈[γ_sat ; γ_d]) Per noi γ = γ_sat sempre P.S. Se il terreno ha più strati orizzontali e ciascuno ha il proprio γ:

σV_tot: ∑ γ_i · Δz_i

Determinazione della pressione neutra

Per poterla determinare, devo conoscere la superficie piezometrica. Essa è il luogo dei punti dove u = u_ATM Per convenzione u_ATM = 0. Sotto la superficie piezometrica u > 0 Sopra la superficie piezometrica u < 0, ma per convenzione u = 0 al di sopra. Ma quanto vale u sotto la superficie piezometrica?

u = γ_w · z Peso specifico acqua = 9.81 KN/m³ Profondità del punto rispetto alla superficie piezometrica

Se:

quota p.c
z_w quota superficie
z quota del punto P rispetto a p.c.
u_w = γ_w · z̅ = γ_w (z - z_w)
Dove u = 0 se z < z_w

Le tensioni efficaci in P varranno:

σ'v_o = σv - u = Σ_i γ_i · Δz_i - γ_w (z - z_w)
Ricordando che γ' = γ_sat - γ_w

Tensioni orizzontali

Le equazioni di equilibrio non ci danno alcun aiuto: Forniscono solo oh: cost Occorre eseguire esperimenti. Essi ci dicono che o'h dipende da:

1. Geometria deposito
2. Natura terreno
3. Condizioni di falda
4. Storia tensionale del deposito

Esperimento su terreno sedimentato

Facciamo un piccolo esperimento: In un lago, del terreno sedimenta. L'area è, in orizzontale, molto molto estesa.

Disegno: Quale sarà la tensione totale su P? All'inizio: σ_v = γ_w · z = γ_w H_w u = γ_w · z = γ_w H_w σ' = 0 Dopo un po': u = γ_w · z = γ_w H_w cost σ_v = γ' · z è aumentata! σ' ≠ 0 Metto tutto in un grafico:

Linea di compressione vergine

e A B C Il terreno ha subito una compressione (ε_z ≠ 0) senza deformazioni laterali (ε_x = ε_y = 0) perché lo avevamo considerato infinitamente esteso in orizzontale ε_z = ΔH / H_o = -ΔV / V_o deformazione volumetrica ε_z = ΔV / V_o = V_t - V_o = (V_v1 + V_s) - (V_vo - V_s) / V_vo + V_s Abbiamo supposto che la deformazione sia avvenuta solo per una deformazione dei vuoti, mentre la parte solida è indeformabile. ε_v = ^V_s⁄_Vs (^V_o-V_v⁄_Vo+Vs) = ^e_o-e₁⁄_eo+1 = ^Δe⁄_eo+1 In tali condizioni:

σ' _h = K_oσ' _v Coefficiente di spinta a riposo (cioè senza deformazioni laterali) Dipende solo dalla natura del terreno ∈ (0.4 ÷ 0.8) Il terreno è detto Normalconsolidato (NC)

Esperimento di erosione

Facciamo un altro esperimento: Dopo la sedimentazione vi è una fase di erosione

&subsin; ↓ E G => D

Il terreno, raggiunto G, è eroso. Come si vede il terreno non è elastico, ma PLA = ε | |________ D | G E\_|_________ | σ' _v (Log) STACCO E LO SCARICO NON AVVIENE SULLA STESSA RETTA DI PRIMA, MA SU UNA DETTA LINEA DI SCARICO σ'c = TENSIONE EFFICACE MASSIMA RAGGIUNTA TENSIONE DI PREGONSOLIDAZIONE. QUANDO σ'd TERRENO SOVRACONSOLIDATO (OC) GRADO DI SOVRACONSOLIDAZIONE : OCR = σ'c / σ'd PS. SE IL TERRENO DEPOSITA NUOVAMENTE, SI MUOVE LUNGO UNA LINEA (DA RICARICO) PRESSOCHE' // A QUELLA DI SCARICO. RAGGIUNTO G IL TERRENO SI RICOMPORTA COME UN NC. ORA, A VOLTE E' POSSIBILE TROVARE K₀ CON RELAZIONI EMPIRICHE. K₀ = f(I_p) => ↑ I_p ↑ K₀ LINEARMENTE RELAZ DI JAKY:: K₀ ≈ 1 - sen φ' ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO QUANTO VALE K₀ PER GLI OC? K₀ (OC) = K₀ (NC) x OCR^α α=f(nat. terreno) α = 0.5 Esistono però relazioni che lo legano a I_p. ↑ I_p ↓ α

Conclusione sulle tensioni orizzontali

In conclusione: σ_h = K σ_v σ_h = σ_h+u_u

Piccolo esercizio: influenza oscillazioni del livello di falda sulle tensioni efficaci

Dati:

• Terreno omogeneo
• γ sopra falda
• γ_sot sotto falda

1) La falda si abbassa
σ_v1 = γ¯z = ΣγⁱΔz_i − γ_wZ_w1 &plus; γ_sat(z−Z_w1)
Se z¯ < Z_w σ_v1 = γz
u = γ_w(z−Z_w1)
Se z < Z_w u = 0
σ′_v1 = γz se z¯ < Z_w
σ′_v1 = γ_wZ_w1 &plus; γ′(z−Z_w1)
σ_v2 = u₂ = σ'_v2 = I CALCOLI SONO PIU' O MENO GLI STESSI!
CONC:Δσ_v = σ_v2 - σ_v1 . ?
COST ← Δσ_v = 0 PER z̄ < Z_w1
NEG ← Δσ_v = [γ_SAT (z-Z_w1) + γZ_w1 ] + γz = = (γ_SAT-γ)(Z_w1-z)  PER z̄ ∈ (Z₁,Z₂)
Δσ_v = γ_SAT(z-Z_w2) + γZ_w2 - γ_SAT(z-Z_w1)      + γZ_w2 = (γ_SAT-γ)(Z_w1-Z_w2)
NEG ← COST ← Δu = 0  PER z < Z_w1
NEG ← Δu = γ_w(Z_w1-z)  PER z ∈ (Z₁,Z₂)
NEG ← Δu = γ_w(Z_w1-Z_w2)  PER z > Z_w2
COST ← Δσ'_v = 0  PER z < Z_w1
POS ← Δσ'_v = - (γ-γ')(Z_w1-z)  PER z ∈ (Z₁,Z₂)
POS ← Δσ'_v = (γ-γ')(Z_w2-Z_w1)  PER z ∈ › Z_w2