Geotecnica - Pressioni di contatto e diffusione delle tensioni in un semispazio elastico

PRESS. DI CONTATTO E DIFFUS. TENSIONI IN UN SEMISPAZIO ELASTICO

PRESS. DI CONTATTO

Una fondaz superficiale trasmette un carico al terreno: il peso della costruz. che c'è sopra. Le press. mutue (fondaz ⇀↽ terreno) sono dette pressioni di contatto.

Come queste si distribuiscono dipende da:

1. Entita' e distribuz del carico
2. Dalla rigidezza della struttura (tipo di terra)
3. Dalla rigidezza del terreno di fondaz.

Es. Se la fondaz non ha rigidezza (cioè' non e' resist. a flessione) le press. di contatto si distribuiscono come il carico applicato. La sua deformata si adatta ai cedim. del terreno. Inoltre se la rigid. del terreno e' uguale in ogni punto ⇒ Ced max in mezzeria ced min in bordo

Press. di Contatto e Diffus. Tensioni in un Semispazio Elascico

Press. di Contatto

1) Una fondaz superficiale trasmette un carico al terreno: il peso della costruz. che c'è sopra. Le press. Mutue (fondaz ↔ terreno) sono dette pressioni di contatto.

2) Come queste si distribuiscono dipende da:

1. Entità e distribuz del carico
2. Dalla rigidezza della struttura (tipo di terra)
3. Dalla rigidezza del terreno di fondaz.

Es. Se la fondaz non ha rigidezza (cioè non è resist. a flessione) le press. di contatto si distribuiscono come il carico applicato. La sua deformata si adatta ai cedim. del terreno.

Inoltre se la rigid. del terreno è uguale in ogni punto → Ced max in mezzeria ced min in bordo

Questo accade nell'argilla.

Nella sabbia invece la rigidità aumenta con la press. di confinam. ⇒ Ced max nel bordo Ced min in mezzeria

Queste sono le fondaz. flessabili e sono le fondaz. dei rilevati

Es.1: Se la fondaz. è rigada (cioè: indeform) il carico la fa traslare verticalmente. Le press. si distribuiscono simmetricamente.

Se la rigidità in ogni punto è la stessa (es. argilla) ⇒

• Press. max a bordo
• Press. min in mezzeria

Nella sabbia ⇒

• Press. max in mezzeria
• Press. min a bordo

Es. 2: Se la rigidità della fondaz è finita (fondaz semirigada) il comportam. è intermedio tra le altre due.

Che vuol dire?La deform. è curvilinea, ma meno pronunciata.

Questa fondaz si usa per platee di fondaz.

N.B. Se il carico non è uniforme, ma ha comunque risult. verticale centrata, che accade?

1. Flessibili → le press. si distribuiscono come il carico
2. Rigide → le press. si distribuiscono come il carico uniforme di uguale risultante
3. Semirigide → Intermedio tra i due casi

DIFFUS. TENSIONI NEL TERRENO

Un’opera di ingegneria produce nel terreno deformaz. e cedimenta. (come visto dunque)

• Per determinarli devo conoscere:
• Tens. geostatiche (note ormai)
• Increm. tensioni prodotto dall’opera
• La relaz tra increm. di tens. e di deformaz.

Per determinare il punto 2 uso il modello da semispazio (omog. e isotropo, elastico lineare, e senza peso).

Il terreno reale ha queste differenze con il terreno reale:

1) I terreni sono a strati e spesso non hanno tutti la stessa rigidezza. 2) Anche se il terreno non è a strati, la rigidezza varia con la profondità 3) I terreni non sono isotropi. 4) I terreni non sono elastici

Tuttavia i risultati, in termini di tens., sono atten.- dibili.

Per risolvere probl. diversi anche per uno stesso terreno, si usano modelli diversi.

Tens. Indotte da un Carico Conc. in Superf. (Problema di Boussinesq)

Vale:

σ_z = ^{3 P z} / _{2 π R⁵}

σ_z ↑ se τ→σ_z ↓ se ψ→

στ = P / 2 π R2 | 3 r z / R3 (1-2ν) R / (R+z)

σ_ψ = ^(1-2ν) / _{2 π R²} [ ^z / _R (R+z)]

τ_zτ = ^{3 P z2} / _{2 π R⁵}

•

DOVE R²=x²+z² O x²+y²+z²

CONCL. LA DISTRIBUZ DELLE TENS. ALLA PROFONDITA' Z DAL P.C. E' UNA SUPERF A FORMA DI CAMPANA. IL SUO VOLUME E' PARI AL CARICO APPLIC IN SUPERF. ↑ Z LA CAMPANA DIVENTA PIU' ESTESA E SCHIACCIATA.

● esempio:

IN Z=0 LA CURVA DEGENERA IN UNA TENS. INFINITA SU UN' AREA INFINIT: IL CARICO P.

INOLTRE PER T=0 (PUNTO DI APPLIC. DI P) E Z=0 LA TENS. E' INFINITA, POI DEGESCE CON Z.

PER T>0 E Z=0 LA TENS. E' 0. POI CRESCE CON Z FINO AD UN VALORE MASSIMO PER POI DEGRES FINO A TEND AL VALORE 0 DINUOVO.

NB. LA SOLUZ DI BOUSSINESQ E' STATA INTEGRATA PER OTTENERE SOLUZ ELASTICHE RELATIVE A DIFFERENTI CONDIZ. DI CARICO.

VEDIAMONE ALCUNI ESEMPI!

• Tens. indotte da carico verticale distribuito su una linea retta an superf.

  σ_z = ^2P'/_π * ^z³/_R⁴

  σ_x = ^2P'/_π * ^z⋅x²/_R⁴

  σ_y = ^2P'⋅y⋅z/_π⋅R⁴

  τ_xy = ^{2P'⋅x⋅z²}/_π⋅R⁴

• Tens. indotte da una press. vert. uniforme su una striscia indef.

  σ_z = ^q/_π [α + senα⋅cos(α + 2β)]

  σ_x = ^q/_π [α - senα⋅cos(α + 2β)]

  σ_y = ^2q⋅y⋅α/_π⋅R²

  τ_xy = ^q/_π senα⋅sen(α + 2β)

α e β in radianti

• Tens. indotte da una press. veric. triang. su una striscia indefinita

σ_z=q_(π)(x_B α₁ln2β)

σ_x= q_π (x_B ln γ (R₂²) ) + ( ½ ln 2β)

I_xz= q _2π (ln(1+cos2β.2α B))

• Tens. vertic. indotta da una press. vert. trapezia su una striscia indefinita

Ne e' un esempio il rilevato

σ_z(x=0)= 2q_(a-a')π

(a'.atg(a_z) - a'.atg(a'_z))

TENS. VERTIC. INDOTTA DA UNA PRESS. UNIF. SU UNA SUPERFICIE CIRCOLARE

σ_z(r=0)=q

σ_z/q

Le tens. nella altre verticali valgono: (Esiste anche la tab. 6.1)

• A. T/R = 2
• B. T/R = 1
• C. T/R = 0.5
• D. T/R = 0

Per z=0 con t/R, la press. è pari a q.

Per z=0 con t>R, la press. è ∅.

Per z=0 con t: R, la press. è q/2.

TENS. INDOTTE DA UNA PRESS. UNIFORME SU UNA SUPERF. RETTANGOLARE

Tens. Indotte da una press. uniforme su una superficie rettangolare

Lato Lungo

• R₁ = √(L² + z²)
• R₂ = √(B² + z²)
• R₃ = √(L² + B² + z²)

σ_z = ^q⁄_2π [ atg(LB⁄zR₃) + LBz⁄R₃] − ( ¹⁄_R1² − ¹⁄_R2²)

σ_x = ^q⁄_2π [ atg(LB⁄zR₃) − LBz⁄R₁²R₃]

σ_y = ^q⁄_2π [ atg(LB⁄zR₃) − LBz⁄R₂²R₃]

τ_xz = ^q⁄_2π [ B⁄R₂ − Bz²⁄R₁²R₃]

E se voglio conoscere lo stato di tensione in un punto del semispazio alla profondita' z non coin.

QID CON LA VERTICALE O-Z, MA SULLA VERTICALE DI M?

USO LA SOVRAPP. DI EFFETTI DI AREE RETTAN

GOLARI

Es. 1) M interno ad ABCD

O_ZM(ABCD) = O_ZM(AA'MC') + O_ZM(D'C'M) - O_ZM(A'BB'M) - O_ZM(B'DD'M)

2) M interno ad ABCD

O_ZM(ABCD) = O_ZM(AB'MC') - O_ZM(BB'MD") - O_ZM(CD'MC') + O_ZM(D'O'MD")

SI SOMMANO!