Geotecnica - lezione 6

APPUNTI TEORIA CORSO DI GEOTECNICA

Anno Accademico 2011/2012

Eleonora Magnotta

Professore R. Lancellotta

APPUNTI TEORIACORSO DI GEOTECNICA

Anno Accademico 2011/2012

Eleonora MagnottaProfessore R. Lancellotta

Quindi o è sbagliato Ni_v o N_v^P. Ad es. Ni_v è sbagliata a causa delle condizioni di falda. N_v^P può essere sbagliata xché re il prouno non è stato effettuato bene, dal punto di vista sperimentale succede che:

succede che il ginocchio e sempre meno marcato ottenendo il laboratório.

O nel tieneo dei pnouio otteniamo una N_v^Laboratorio - N_v^P che diminuisse. Eol è sbagliato anche la pendenza che è minore, quindi io sottra Cmioi cedimenti.

GEOTECNIA

21/10/14

"Calcolo dei Cedimenti delle Fondazioni Superficiali"

(Capitolo 9 del nostro libro). Di questo quadro dobbiamo fare le seguenti parti:

• Individuate ai calcolo dei cedimenti;
• Distribuate dei cedimenti nel sopzio e nel tempo;
• Il calcolo delle tensioni indote dei carichi applicati in superficie : il problema di Boussinesq.

Nell'ultima parte dobbiamo fare solo il concetto e non tute le formule.

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Supponiamo di avere un terreno a grana fine, supponiamo di realizzare una qualunque struttura che scarica sul terreno un certo carico q di dimensione t_o, a = impronta di carico:

Δu = aumento che cerco;all'istante pari: è il terrenoin quella zona noi scarichia h₂o con l'esternt_o = tempo necessarioper realizzare la miastruttura - dopo averlacostruito il carico rimanecostante

(-1)t_o t₁₀₀y_w wc v^vrs Diagramma del cedimen

w_c = Cedimento immediato, mentre applico il carico, anche se il carico rimane costante si modifica nel tempo/il cedimen ti di consolidazione che si modifica lentamente nel tempo.

Comportamento elasto-plastico: noi vogliamo solo quel compito.In realtà a capo abenti agli attinti, dei cedimenti secondari ws

Geometria dei terreni a grana fine (bassa permeabilità)

1) cedimento immediato: imputabile al fatto che lo stato tensionante è supportato dallo stato fluido.

e' un cedimento che avviene in condizioni non drenate, ovvero il terreno non scambia acqua con l'esterno. condizioni non drenate porta all'aumento dell'U_tot, per cui non vi hanno delle variazioni di volume, il che vuol dire che la variazione di volume Εv=0; si possono avere dei ced.

mentre il volume = costante

w_c - e il cedimento che avviene durante la spermentazione di un carico, in condizioni non drenate, e questo

può avvenire solo se il cedimento di volume può sparire

_{ExxΕxx, Εxy}

Coefficiente di Poisson: si chiama anche coefficiente di contrazione laterale, indica il rapporto tra la deformazione laterale e quella assiale:

v = - _Exx (Εzz) = 0,5

[Nota: sommario, di avere un carico momenti eterno

9 ^{l piano di simmetria}

εθ9

wi, può avversersi? No, perché prendendo quei carichi o simmetria non ci può essere lo spancamento, xchè

la deformazione non si puo spostare a destra e/o sinistra

W_c: 0

Prova edometrica: W_c: 0

"Cedimento di consolidamento".

W_c: è dovuto ad una variazione delle tensioni eff.

Sotto “movimento del reticolo cristallino":

Quando c'è il “vol. minerali”: arriva “Fabrica cristallina”

Note: l'effetto del cedimento la si chiama "compressio

re minerali".

L'evoluzione nel tempo del W_c prende il nome di "pro

cesso di consolidamento del cedimento".

Cosa si calcola W_c? metodo edometrico.

Δσ_Z, Cc, Cr, Ce

Cedimento Secondario.

Dovuto a deformazioni viscose, (creep) che avvengono

sotto tensioni eff.a carichi costanti: da quel punto in avanti

non abbiamo più minerali neutroali.

Estendiamo al reale lo stesso ragionamento per terreni

a grana grossa: (es: argilica) dovuto ad

Elevata Permeabilità.

In ogni istante il carico viene trasferito alle tensioni e quindi ci troviamo in condizioni di carico, ovvero:

Δu = 0 ⇒ ΔT_ij = ΔF'_ij

Il cedimento avviene istantaneamente, ma mano che smetto

chiamiamo carico.

Verifichiamo nel terreno e vediamo:

cedimento immediato

+

cedimento secondario

Approfondiamo il discorso: senon so gli incrementi delle tensioni

nei cerchi finiti non posso calcolare in profondità cosa che non

esiste nei cedimenti. Di questo si occupa.

- Problema di Boussinesq -

ΔF_ij?

Mezzo elastico, lineare, isoterrop omogeneo

Test: determinare alla generica profondità è l'incremento

di stress ΔF_ij?

Vedremo 2 modi: la trattazione matematica

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Impostazione del problema elastostatico

In ogni punto devono essere rispettate l'equazione di equilibrio:

(a) ∂_i + b_i = 0 ∀ x ∈ D dominio → 3 eq

(b) Equazioni di congruenza:

ε_ij = 1/2 (∂_ui/∂_xj + ∂_uj/∂_xi) ∀ x ∈ D → 6 eq

In (a) ci sono 3 equazioni di equilibrio della traslazione.

In (b) ci sono 9 equazioni che esprimono le 9 componenti del tensore di deformazione, e solo 6 sono quelle reali nei punti interni del solido. Le incognite che appaiono in queste differenziali sono: 15 incognite, ma formando da loro 9 equazioni, sistema sostanzialmente impossibile, che non può essere risolto, quindi devo aggiungere che legami tra il modulo delle deformazioni e il modulo delle tensioni. Aggiungiamo quindi l'equazioni costitutive:

(c) T_ij^σ - X _ε δ_jk + 2 μ ε_ij ∀ x ∈ D → 6 eq

- 15 eq. in 15 incognite, ho cioè.

Incognite: M_i che sono ( ) equazioni (a) 3

t_uJ " " 6 " (b) 6

ε_ij " " (6) " (c) 6

tot = 15 tot = 15

Le equazioni (a) (b) (c) si chiamano:

EQUAZIONI di CAMPO

Perchè valgono in ogni punto.

"CONDIZIONI AL CONTORNO"

2D                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

• (a) Stato di sforzo.

^-2/₂ < n < ²/₂

a = dimensione della mia fondazione

F_y, η_j = f

• (b) spostamento: u_i (z=0) = f(x)

Le condizioni al contorno possono riguardare le condizioni

al contorno per il campo degli spostamenti.

Un problema si definisce ben posto se: la soluzione esiste, unica e stabile. (Definizione matematica):

Vuol dire che se vario leggermente i dati, io ottengo

la stessa soluzione unica, non deve divergere.

Se vogliamo il problema di Boussinesi, dobbiamo risolvere

un sistema in 4-5 equazioni. Noi non dobbiamo risolvere

queste equazioni differenziali, e per volendo a noi basta

intuire come risolvere quel problema.

Immaginiamo di avere:

Noi vogliamo trovare l'incremento di M_f^zquello che dobbiamo aggiungere alle tensioni geostatiche.

La mia perturbazione si propaga in un cono di diffusione, è il motivo che ha caratterizzato di una pendenza di 2^30°

(*) vale: (2a+2z) -

M_f^z (2a² + a²) = 9(2a)²

∫ M_f^z che ci sono su:

M_f^z = 9 ^(2a)2⁄_(2a+z)²

Così facendo ho imposto l'equazione di equilibrio. Rispetto le mie condizioni al contorno? Supponiamo che &t;^x=0

⇒ M_f^z =0

Se f_z =0 ⇒ M_f^z =9

Quindi oltre calcolare verifico le mie condizioni al contorno.

Soluzione Esatta di Boussinesq

F_z = q 1 - [ -1 [ (a/z)² + 1 ] ^3/2

Tale equazione verifica le condizioni al contorno. La soluzione non dipende dal modulo di deformazione ma dipende dalla geometria e dal carico esterno. Ma. Non dipende quindi dai materiali.

Se avessi un carico aomogeneo esteso quanto vale la generica F_z?

Se a -> oo → carico uniforme esteso. Si divide nella formula di mino fra a, refrate da sopra ma q e ne facciamoil lim che mi da il a #rarr; oo,risultato F_z = q

Supponiamo di avere.

Al centro si ha la sovrapposizione degli effetti, sommando a destra e a sinistra ottengo una distribuzione di quel tipo. Osservando alla fine quell'andamento a petalo: man mano che ci avviciniamo dal centro la distribuzione diminuisce, vicino al centro aumenta.

Soluzione di Boussinesq

"a" = raggio della fondazione

\[ N_z = 9 \left[1 - \frac{1}{\left(\frac{a}{z}^2 + 1 \right)^{3/2}}\right] \]

Consideriamo il rapporto \[ \frac{N_z}{9} = f(a, z, x, y) = costante \]

Simboliamo noi funzionale

Voglio il luogo dei punti per cui \[ \frac{N}{9} = c \] un valore

imposto è costante.Cosa rappresenta per noi: \( f(a, z, x, y) = costante \), el'equazione di una superficie, o meglio una famiglia dis'll che otteniamo al variare della costante.Immaginiamo di voler trattare qst famiglia

In tuti punti di isola si ha mia \[ N_z = 09 \]

[Disegno]

(a) \[ \frac{N_z}{9} - 0.9 \]

si chiamano:isoli delle tensioni

l0: arriva già ad dire chela tensione è il 10% delcarico - \[ N_z \]

Il bulbo delle tensioni ci da; oggi la soluzione. I solai oggi devono essere spinti ad almeno 2 volte la larghe[zz]a della fondazione. Essendo 2 volte la larghezza l'area max dove troviamo σγ - Consideriamo che:

Γ_A: 0Γ_B: Γ_EF - 10% qΓ_C: Γ_EF - 50% qΓ_D: 70% q

Grafico che mi indica la distribuzione del carico Consideriamo la perpendicolare arancione, li non ho lo stesso cedimento che nella perpendicolare blu-aru, non ho la distur[bazione] perché non ho il carico.

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