Geotecnica - lezione 2

Appunti teoria corso di geotecnica

Informazioni generali

Anno Accademico 2011/2012

Eleonora Magnotta

Professore R. Lancellotta

Formule e definizioni fondamentali

w_n = contenuto di acqua naturale

IC = indice di consistenza

IC = (w_L - w_n) / (w_L - w_P)

Se w_n = w_P ⇒ IC = -1

Se w_L = w_n ⇒ IC = 0

Orario delle lezioni

Geotecnica 7/10/11

Nuovo orario: Lunedì aula 1 ore 13-16

Richiami di meccanica dei continui

(Cap. 2 + Cap. 3) Oggi ci basiamo sul linguaggio della meccanica dei continui: notazione tensiorale. È il linguaggio del simbolismo.

Premessa di studio:

1. Questioni generali

(1) Gli oggetti li consideriamo nello spazio euclideo (E³)

Le coordinate che identificano questo mio oggetto sono definite da 3n coordinate, dove n è il numero o rango. Ad esempio: se abbiamo una quantità di ordine o altrimenti o = n - 1 coordinate per elemento; tale quantità può rappresentare la grandezza scalare; non importa le direttrici su cui si osserva xchè tutto è sempre vogliato il valore. Viene rappresentato con le lettere minuscole corsive: "a" quantità scalare n° coordinate esempio scalare

Simbolo: aa_i, indice libero, può rappresentare la componente a₁, a₂ e a₃ del vettore. Altri simboli sono: a_i², che a noi non interessa T_ij (tensore degli sforzi), i = 1,2,3 e J = 1,2,3; ε_ij (tensore delle deformazioni) D_i,j,k (tensore costitutivo, quello che esprime il legame costitutivo) Abbiamo isolato una gerarchia matematica; le altre scienze utilizzano operazioni che vengono uniformati mediante tensori. Oltre 1^o, 2^o, …; dovute Da oggi in poi quando vediamo un termine dobbiamo vedere il pedice che ha per vedere una tensore cha.

Spazio euclideo

Consideriamo ora lo spazio euclideo:

Il generic vettori η₁ = η₁e₁ + η₂e₂ + η₃e₃, ammette la seguente rappresentazione. Tale scrittura rende il numero di espansione del vettore nelle tre componenti. Questa scrittura viene però considerata come scrittura troppo lunga perciò viene introdotta la convenzione sommatoria di Einstein: η_ie_i = scriviamo sinteticamente.

Esempio: F_inc = F₁₁ + N₂₂ + F₃₃

Quando l'indice è ripetuto l'indice si chiama: saturo o saturato l'indice. E il secondo passo anche cambiato, per convenzione matematica - Scrivere: N_i E_i - T_j E_J - N_K E_K è la stessa cosa.

Esempio: T_i ⋅ Q_i = T₁₁ Q₁ + T₂₂ Q₂ + T₃₃ Q₃ Tale scrittura in termini di linguaggio vuol dire: "Simbolo di Kronecker" Particolare simbolo che funziona invale 1 se i = j, vale zero in tutti gli altri casi δ_i,j = { 1 se i = j = 0 in tutti gli altri casi.

Matrice identità e simbolo di Kronecker

A_ol es. la matrice identità, che può essere scritta dunque con δ_i,j la matrice. Simbolo di Kronecker: è la rappresentazione indiciale sulla matrice identità. In realtà ha la funzione di operatore soptrattore. Vediamo un esempio di questa funzione: Q_i ⋅ δ_ik = Q_k

[N.B.: il simbolo di Kronecker permette all'indice ripetuto, l'indice libero.] 1 - indice ripetuto i K - indice libero È come se possiedo 3 equazioni o 5 termini. Però l'unico termine che ha significato è quando i=k, xché se i!=k ho i termini nulli.

Prodotto scalare

• Esempio: (prodotto scalare) aⁱ • b = ∑_i eⁱ_k • b_k eⁱ_k = aⁱ • b_k e^k
• Se l=k → i ≠ i → ai pk ø i_k = 0

Lo stesso indice non deve entrare viato t tutte → Regola- io faccio aprire il simbolo aⁱ e ottengo: - a_λ • b_k = io faccio aprire su b_λ= a_λ b₁

Calcolo differenziale assoluti

Qualora che potrei estere fatti senza confrontare il sistema, personal dal sistema. Tradurre il invariato. Di una legge fisica risultato di un S R un'altro - xché una legge fisica e tale solo se vale F, in ogni S R.

Concetto di sforzo o tensione

Divido in corpo in 2 parti e poi devo rappresentare della parte mancale forze che penetrano l'altra parte del corpo. F₁dF dM o Cauchy si occupò della rappresentazione matematica dei questi articoli con il concetto di FC Si chiama metodo limite di Cauchy lim dA > 0 dF = T lim dA > 0 dM = 0 o A > 0 Non c'è nessuna dimostrazione dei vincoli il concetto di sforzo è dunque un concetto astratto.

Tensori

t⁽ⁿ⁾2n (normale uscente) t⁽ⁿ⁾ = t^x in funzione di n T₂ T₁ Se avessi cambiato T₁ e cambiato il piano T₂, io avrei avuto un vettore tensione e sforzo diverso dunque tali vettori dipendono dalla superficie e dalla normale del piano.

Equazioni di equilibrio e cerchio di Mohr

"Come varia t al variare di n?" Passo da n e t mediante l'applicazione lineare n applicazione linearet mediante il tensore degli sforzi τ_ij T_i = Ṫ_iJ n_J lo stato di sforzo Rappresenta le equazioni di equilibrio, quando parliamo del tetraedro di Cauchy. Sono 3 equazioni di equilibrio. Scritto così rappresenta una cosa molto importante: variabile dello sforzo è rappresentato come tensore di stato. Ṫ_iJ scrivo lo stato di sforzo al variare delle sollecitazioni.

Cerchio di Mohr: è la rappresentazione grafica dell’equazione lineare che associa ad ogni giacitura lo sforzo agente su quella giacitura.

Simbologia utilizzata

SIMBOLOGIA CHE ADOPERIAMO È una rappresentazione convenzionale. Immaginiamo di scrivere:

Questi numeri che ho scritto vogliono dire qualcosa? Non rappresenta nulla perché alcuni termini hanno un solo pedice altri 2. Quindi è un pasticcio. Quando usiamo la notazione indici accadere, usare la seguente notazione nell’esempio:

Legami costitutivi

LEGAMI COSTITUTIVI Iniziamo con i legami costitutivi elastici: Un legame costitutivo: è un legame tra componenti di tensione, variabile tempo, variazione di tempo e di deformazione. Simula la risposta del corpo alle diverse tipologie. Divenendo lo storico che definisce i legamenti:

Stato di sforzo

↓̅_IJ = f (Ɛ̅_hk)^{Stato di deformazione}↑̅_IJ = D_Ihk Ɛ̅_hk Potrei inserire 81 componenti. Posso linearizzare e lo posso fare così: Il carattere di non linearità non definisce l’elasticità del materiale, è la reversibilità che definisce l’elasticità di un materiale. Traduciamo questo in termini matematici: Il metodo ci dice elastico: se la relazione -Ɛ è iniettiva (o detto univoca). Vediamo ora se il legame costitutivo ora si semplifica: consideriamo ora il mezzo elastico lineare:

Tensore simmetrico

ɛ_hk è un tensore simmetrico, e significa che: ɛ_hk = ɛ_kh (le componenti sono solo 6) ṽ_ij è tensore simmetrico e significa che ɛ_hk = ɛ_kh (le componenti sono solo 6) c'è un'energia di deform e questo implica che => D_ijkl = D_klij 21 costanti indipendenti. Si introduco le classi di simmetria che servono per diminuire ulteriormente le costanti indipendenti. Sono tali classi quelle che determinano i cristalli. Le costanti si riducono a 2 e sono: modulo di Young e coefficiente di Poisson (E, ν) modulo di determinante volume co e G, dove G = μλ, μ Soltamente l'accoppiamento delle costanti è quella x che gli altri sono degli accoppiamenti difficili.

Legame diretto

LEGAME DIRETTO (capitolo 3) ṽ_ij = λ ɛ_kk δ_ij + 2μ ɛ_ij [N.B.: fisso le ɛ e voglio le ṽ] 21 "LEGAME INVERSO" _IJ = -/E (_IJ + ) _{/E ̃IJ} N.B. fisso e voglio le Definire lo stato di deformazione.

Esercizio

Esercizio: Quando vale la dilatazione lineare lungo z, ovvero _zz? Vogliamo lo stato di deformazione di quell'elemento. Usiamo il legame inverso: _zz = -/E (̃_xx + ̃_yy + ̃_zz) + (1 + )/E * ̃_zz = Dato che D_IJ sostituisco z che sono >, x scad -1-= ̃_zz/E - /E (̃_xx + ̃_yy) - /E (̃_xx + ̃_yy) ̃_zz = 0, xche questa agisce sul piano del foglio, ma sul piano del foglio non c'è nulla.