Geotecnica

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

dal piano ed esiste una soluzione per il semi spazio elastico alla Boussinesq cioè caratterizzato da

costanti uniformi. Nella gura sono visibili anche le componenti. Questo è il classico problema

a deformazioni piana, cioè ogni piano uscente dal foglio ha delle deformazioni nulle lungo l'asse

x. Tramite certi angoli è possibile denire il punto dove vogliamo calcolare la tensione. Notiamo

ν

che questa distribuzione di sforzi non dipende dalle costanti e dal modulo elastico, cioè al

loro interno non compaiono le costanti elastiche. Questa è una proprietà particolare di questo

problema piano. Questa soluzione può essere rappresentata in forma graca. Una soluzione graca

è la seguente Innanzitutto notiamo che questa soluzione ha un asse di simmetria. Questo graco

Soluzione Graca ∆σ1

rappresenta le curve di livello dello sforzo principale massimo e dello sforzo principale

∆σ3

minimo . Ovviamente da queste componenti del piano possiamo ricavare gli sforzi principali.

Queste curve sono scalate rispetto all'intensità del carico e lungo le curve di livello abbiamo lo

stesso valore di tensione e la profondità scalata rispetto alla dimensioni del carico. Quindi per

calcolare il cedimento basta andare a vedere alla profondità d'interesse il valore della variazione

di sforzo. Lungo l'asse sappiamo anche la direzione delle tensioni che sono verticali e orizzontali

cosa non vera in altri punti del dominio dove l'informazione sulla direzione non ci viene fornita

da questa soluzione graca.

1.7.2 Soluzione per un impronta circolare

Abbiamo riproposta una soluzione graca.

Questa volta la dimensione caratteristica è R cioè il raggio dell'impronta di carico. Qui la

simmetria è diversa, non abbiamo più un problema a deformazioni piane bensì un problema

∆σ

assial simmetico, cioè l'asse di simmetria è circolare. Quindi gli sforzi principali agiranno

1

∆σ

lungo l'asse verticale mentre gli sforzi orizzontali saranno uguali tra loro lungo la stessa

3

direzione poiché ogni direzione radiale è una direzione principale. Se mi muovo dall'asse e mi

10 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Soluzione Graca impronta circolare

Soluzione Graca impronta circolare

sposto cambia la direzione delle tensioni ma la tensione non dipende dalla direzione che prendo

in considerazione. 11

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

Cioè a parità di distanza R la soluzione non cambia ovvero non dipende dall'angolo di dire-

zione. Anche per questo problema esistono delle soluzioni analitiche ma sono molto complesse.

Diventano semplici se mi limito ad esprimerle solo per l'asse centrale.

∆σ a

In particolare ha l'espressione visibile in gura dove il termine è il raggio dell'impronta.

z ∆σ ν

Si nota che anche per non c'è dipendenza dal modulo di Poisson e dal modulo di Young

z ∆σ

cosa che invece sussiste per lo sforzo radiale solo per il modulo di Poisson.

r

1.7.3 Soluzione per impronta di carico rettangolare

Anche questa soluzione è molto conosciuta e mostra la soluzione per un impronta non più innita

ma bensì nita.

Queste tabelle vanno lette accuratamente. In questo caso la tabella esprime solo lo sforzo verticale

m

lungo un asse passante per un vertice del rettangolo. I lati del rettangolo sono espressi come e

z

n cioè le dimensioni del rettangolo scalate con la profondità. Gracamente si entra nella tabella

z

con questi valori scalati e si legge il valore del coeciente per calcolare la variazione di sforzo.

12 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

1.7.4 Carico trapezio uniforme

Può essere utile avere a disposizione una soluzione anche per un impronta di carico trapezia.

Sulle curve troviamo il valore del coeciente che moltiplicato per l'intensità del carico ci

restituisce il valore della variazione di sforzo. Nel graco la soluzione è espressa per un impronta

fatta a forma di metà trapezio questo signica che poi dovranno essere eettuate operazioni di

sovrapposizione degli eetti poiché sto utilizzando una soluzione puramente elastica. Ad esempio

prendiamo il caso di un rilevato di questo tipo 13

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

Per calcolare la variazione di sforzo si può considerare la somma di due soluzioni ovvero della

gura 1 e della gura 2 e poiché la gura è simmetrica le due soluzioni saranno le stesse.

Volendo questa soluzione qua la posso utilizzare anche in diverse situazioni. Ad esempio potrei

valutare il cedimento sull'estremità

Quindi alla mia impronta di carico composta da 1 e 2 posso aggiungere la gura 3 in modo

da avere lo stesso schema della soluzione graco, calcolare in questo modo la soluzione e andare

14 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

a sottrarre la soluzione del seguente graco come se il triangolino fosse un carico rivolto verso

l'altro

Dove il triangolino è un trapezio che nullo il parametro b cioè il tratto orizzontale. Un altra

applicazione è quella di calcolare il cedimento in un asse qualsiasi 15

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

In questo caso la soluzione è data dalla somma della soluzione di due trapezi 1 e 2 che sono

diversi e cambia in questo caso il parametro b. Quanto detto vale anche per un impronta di carico

rettangolare.

1.7.5 Inuenza del coeciente di Poisson sugli sforzi indotti

Per quanto riguarda gli sforzi verticali possiamo considerare con buona approssimazione le ipotesi

di mezzo omogoneo. In realtà esistono delle variazioni nel modulo di rigidezza con la profondità e

da strato a strato ma se si vanno a fare dei calcoli rigorosi modellando il più vicino alla realtà del

terreno si ottiene che la distribuzione dello sforzo verticale indotto è poco inuenzata per eetto

di disomogeneità. Questo però non è vero per gli sforzi orizzontali che ne sono inuenzati. Queste

disomogeneità può dipendere anche dal fatto che il terreno deformandosi cambia rigidezza poiché

il comportamento non è lineare. Tutto questo signica che la soluzione alla Boussinesq è valida

con le dovute raccomandazioni.

1.7.6 Inuenza di strati con diversa rigidezza sulla distribuzione degli sforzi

indotti

Va tenuto anche dei limiti della soluzione alla Boussinesq. Sostanzialmente non può essere usata

in quelle situazioni in cui è presente un primo strato di terreno molto più rigido dello strato

subito sotto. E E

≫ (1.21)

1 2

In questo caso la soluzione va in crisi come si mostra in gura. Dove il diagramma mostra

l'andamento delle tensioni nel caso omogeneo quindi con il rapporto E1/E2 uguale 1 e in caso di

strati non omogenei.

Se questa rigidezza è inversa cioè abbiamo prima uno strato molto rigido e poi uno meno,

questo strato rigido agisce come un ripartitore di carico cioè rapidamente l'eetto di carico

indotto vada ad investire un aerea più grande. Cioè lo sforzo si riduce di più perché si dionde

lateralmente, se invece questo strato non ci fosse la distribuzione non ci sarebbe.

In generale quindi le soluzioni alla Boussinesq vanno bene tranne per questo caso.

16 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

1.8 Cedimenti in terreni poco permeabili

Possiamo schematizzare una tipica storia di carico in questo modo

Dove ad esempio possiamo avere a che fare con uno scavo di fondazione e successiva ap-

plicazione del carico. Immaginiamo quindi un certo periodo di costruzione modicando via via

l'entità del carico applicato no a che non si raggiunge una certa costanza nel tempo. Allora

corrispondentemente in termini di cedimento avremo la seguente storia 17

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

nel quale abbiamo ad esempio una fase di scavo e poi una fase di applicazione del carico

no a raggiungere una certa condizione costante. Quindi in corrispondenza dello scavo avremo

un sollevamento seguito uno spostamento verso il basso e poi a carico costante un progressivo

incremento del cedimento. Nella prima esercitazione abbiamo considerato i cedimenti che avveni-

−→ ∞

vano a carico costante quindi dal punto A in poi ovvero per t dove abbiamo il cedimento

per consolidazione. La parte campita è la parte che abbiamo cercato di calcolare con il metodo

edometrico classico. Adesso invece vogliamo spostare l'attenzione su quello che succede in cor-

rispondenza del punto A ovvero nella fase iniziale del tempo di costruzione. In questo caso ha

senso pensare ad un modello di terreno diverso se questo è un terreno poco permeabile. A meno

di fenomeni di creep per i terreni a grana grossa questo incremento di cedimenti nel tempo non ci

sarebbe. Ad esempio immaginiamo di analizzare un elemento di terreno in asse con un impronta

di carico durante questa fase di costruzione che condensiamo tutta nel tempo 0.

18 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Succede che le tensioni totali lungo z arrivate al tempo t0 subiranno un incremento dovuto

al carico q, mentre le tensioni orizzontali no al tempo t0 saranno governate da k0 dopo di che

subiranno un incremento anch'esse. Per quanto riguarda le pressioni interstiziali, supponendo

che ci fosse una falda, avranno un incremento e dopo di che ci sarà un andamento decrescente

asintotico come mostrato nella gura. In termini di variazione di tensioni ecaci avremo il

comportamento mostrato nella seguente gura 19

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

dove le tensioni ecaci non hanno più un valore costante dopo t0 poiché variano le pressioni

ε

interstiziali. A questo punto è utile anche analizzare la deformazione volumetrica data dal

vol

rapporto ∆V

ε = (1.22)

vol V

i

La descrizione della deformazione volumetrica è fornita dai seguenti graci

Mentre i diagrammi visti in precedenza avevano dei salti al tempo t0 in questi non si nota alcuno

salto poiché la risposta non drenata non può avere deformazioni di volume per cui no al tempo

t0 la deformazione è nulla. Superato t0 poi avremo un accrescimento. Nel secondo graco invece

si mostra l'andamento del cedimento che per denizione inizia al tempo t0 con un cedimento

istantaneo chiamato w0 e poi progressivamente nel tempo avrò un andamento asintotico.

1.8.1 Cedimenti istantanei

Vogliamo studiare cosa succede al tempo t0. Abbiamo detto che la base è che non ci siano

deformazioni di volume e in più utilizziamo il modello elastico. Facciamo quindi dei richiami

20 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

sulla teoria dell'elasticità. La tensione può espressa come somma di due