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Appunti presi durante le lezioni e scritti al computer Cedimenti istantanei, edometrico, modello incrudente, filtrazione, filtrazione non stazionaria paratie, fondazioni. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Graziani.

Esame di Geotecnica 1 docente Prof. A. Graziani

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ESTRATTO DOCUMENTO

9

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

dal piano ed esiste una soluzione per il semi spazio elastico alla Boussinesq cioè caratterizzato da

costanti uniformi. Nella gura sono visibili anche le componenti. Questo è il classico problema

a deformazioni piana, cioè ogni piano uscente dal foglio ha delle deformazioni nulle lungo l'asse

x. Tramite certi angoli è possibile denire il punto dove vogliamo calcolare la tensione. Notiamo

ν

che questa distribuzione di sforzi non dipende dalle costanti e dal modulo elastico, cioè al

loro interno non compaiono le costanti elastiche. Questa è una proprietà particolare di questo

problema piano. Questa soluzione può essere rappresentata in forma graca. Una soluzione graca

è la seguente Innanzitutto notiamo che questa soluzione ha un asse di simmetria. Questo graco

Soluzione Graca ∆σ1

rappresenta le curve di livello dello sforzo principale massimo e dello sforzo principale

∆σ3

minimo . Ovviamente da queste componenti del piano possiamo ricavare gli sforzi principali.

Queste curve sono scalate rispetto all'intensità del carico e lungo le curve di livello abbiamo lo

stesso valore di tensione e la profondità scalata rispetto alla dimensioni del carico. Quindi per

calcolare il cedimento basta andare a vedere alla profondità d'interesse il valore della variazione

di sforzo. Lungo l'asse sappiamo anche la direzione delle tensioni che sono verticali e orizzontali

cosa non vera in altri punti del dominio dove l'informazione sulla direzione non ci viene fornita

da questa soluzione graca.

1.7.2 Soluzione per un impronta circolare

Abbiamo riproposta una soluzione graca.

Questa volta la dimensione caratteristica è R cioè il raggio dell'impronta di carico. Qui la

simmetria è diversa, non abbiamo più un problema a deformazioni piane bensì un problema

∆σ

assial simmetico, cioè l'asse di simmetria è circolare. Quindi gli sforzi principali agiranno

1

∆σ

lungo l'asse verticale mentre gli sforzi orizzontali saranno uguali tra loro lungo la stessa

3

direzione poiché ogni direzione radiale è una direzione principale. Se mi muovo dall'asse e mi

10 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Soluzione Graca impronta circolare

Soluzione Graca impronta circolare

sposto cambia la direzione delle tensioni ma la tensione non dipende dalla direzione che prendo

in considerazione. 11

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

Cioè a parità di distanza R la soluzione non cambia ovvero non dipende dall'angolo di dire-

zione. Anche per questo problema esistono delle soluzioni analitiche ma sono molto complesse.

Diventano semplici se mi limito ad esprimerle solo per l'asse centrale.

∆σ a

In particolare ha l'espressione visibile in gura dove il termine è il raggio dell'impronta.

z ∆σ ν

Si nota che anche per non c'è dipendenza dal modulo di Poisson e dal modulo di Young

z ∆σ

cosa che invece sussiste per lo sforzo radiale solo per il modulo di Poisson.

r

1.7.3 Soluzione per impronta di carico rettangolare

Anche questa soluzione è molto conosciuta e mostra la soluzione per un impronta non più innita

ma bensì nita.

Queste tabelle vanno lette accuratamente. In questo caso la tabella esprime solo lo sforzo verticale

m

lungo un asse passante per un vertice del rettangolo. I lati del rettangolo sono espressi come e

z

n cioè le dimensioni del rettangolo scalate con la profondità. Gracamente si entra nella tabella

z

con questi valori scalati e si legge il valore del coeciente per calcolare la variazione di sforzo.

12 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

1.7.4 Carico trapezio uniforme

Può essere utile avere a disposizione una soluzione anche per un impronta di carico trapezia.

Sulle curve troviamo il valore del coeciente che moltiplicato per l'intensità del carico ci

restituisce il valore della variazione di sforzo. Nel graco la soluzione è espressa per un impronta

fatta a forma di metà trapezio questo signica che poi dovranno essere eettuate operazioni di

sovrapposizione degli eetti poiché sto utilizzando una soluzione puramente elastica. Ad esempio

prendiamo il caso di un rilevato di questo tipo 13

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

Per calcolare la variazione di sforzo si può considerare la somma di due soluzioni ovvero della

gura 1 e della gura 2 e poiché la gura è simmetrica le due soluzioni saranno le stesse.

Volendo questa soluzione qua la posso utilizzare anche in diverse situazioni. Ad esempio potrei

valutare il cedimento sull'estremità

Quindi alla mia impronta di carico composta da 1 e 2 posso aggiungere la gura 3 in modo

da avere lo stesso schema della soluzione graco, calcolare in questo modo la soluzione e andare

14 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

a sottrarre la soluzione del seguente graco come se il triangolino fosse un carico rivolto verso

l'altro

Dove il triangolino è un trapezio che nullo il parametro b cioè il tratto orizzontale. Un altra

applicazione è quella di calcolare il cedimento in un asse qualsiasi 15

1.7. APPLICAZIONE DEL MODELLO DEL MEZZO ELASTICO PER IL CALCOLO DEI CEDIMENTI

In questo caso la soluzione è data dalla somma della soluzione di due trapezi 1 e 2 che sono

diversi e cambia in questo caso il parametro b. Quanto detto vale anche per un impronta di carico

rettangolare.

1.7.5 Inuenza del coeciente di Poisson sugli sforzi indotti

Le tensioni verticali sono sempre indipendenti dal modulo di Poisson cosa non vera per gli sforzi

orizzontali che ne risultano indipendenti solo per il caso particolare di striscia indenita. Si osserva

inoltre che gli sforzi verticali sono poco inuenzati dalla disomogeneità del terreno e dalla non

linearità del comportamento del terreno eccezione del caso in cui sovrastante a un terreno più

deformabile vi è un terreno più rigido. Al contrario gli stessi hanno una marcata inuenza sugli

sforzi orizzotali.

1.7.6 Inuenza di strati con diversa rigidezza sulla distribuzione degli sforzi

indotti

Va tenuto anche dei limiti della soluzione alla Boussinesq. Sostanzialmente non può essere usata

in quelle situazioni in cui è presente un primo strato di terreno molto più rigido dello strato

subito sotto. E E

≫ (1.21)

1 2

In questo caso la soluzione va in crisi come si mostra in gura. Dove il diagramma mostra

l'andamento delle tensioni nel caso omogeneo quindi con il rapporto E1/E2 uguale 1 e in caso di

strati non omogenei.

Se questa rigidezza è inversa cioè abbiamo prima uno strato molto rigido e poi uno meno,

questo strato rigido agisce come un ripartitore di carico cioè rapidamente l'eetto di carico

indotto vada ad investire un aerea più grande. Cioè lo sforzo si riduce di più perché si dionde

lateralmente, se invece questo strato non ci fosse la distribuzione non ci sarebbe.

In generale quindi le soluzioni alla Boussinesq vanno bene tranne per questo caso.

16 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

1.8 Cedimenti in terreni poco permeabili

Possiamo schematizzare una tipica storia di carico in questo modo

Dove ad esempio possiamo avere a che fare con uno scavo di fondazione e successiva ap-

plicazione del carico. Immaginiamo quindi un certo periodo di costruzione modicando via via

l'entità del carico applicato no a che non si raggiunge una certa costanza nel tempo. Allora

corrispondentemente in termini di cedimento avremo la seguente storia 17

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

nel quale abbiamo ad esempio una fase di scavo e poi una fase di applicazione del carico

no a raggiungere una certa condizione costante. Quindi in corrispondenza dello scavo avremo

un sollevamento seguito uno spostamento verso il basso e poi a carico costante un progressivo

incremento del cedimento. Nella prima esercitazione abbiamo considerato i cedimenti che avveni-

−→ ∞

vano a carico costante quindi dal punto A in poi ovvero per t dove abbiamo il cedimento

per consolidazione. La parte campita è la parte che abbiamo cercato di calcolare con il metodo

edometrico classico. Adesso invece vogliamo spostare l'attenzione su quello che succede in cor-

rispondenza del punto A ovvero nella fase iniziale del tempo di costruzione. In questo caso ha

senso pensare ad un modello di terreno diverso se questo è un terreno poco permeabile. A meno

di fenomeni di creep per i terreni a grana grossa questo incremento di cedimenti nel tempo non ci

sarebbe. Ad esempio immaginiamo di analizzare un elemento di terreno in asse con un impronta

di carico durante questa fase di costruzione che condensiamo tutta nel tempo 0.

18 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Succede che le tensioni totali lungo z arrivate al tempo t0 subiranno un incremento dovuto

al carico q, mentre le tensioni orizzontali no al tempo t0 saranno governate da k0 dopo di che

subiranno un incremento anch'esse. Per quanto riguarda le pressioni interstiziali, supponendo

che ci fosse una falda, avranno un incremento e dopo di che ci sarà un andamento decrescente

asintotico come mostrato nella gura. In termini di variazione di tensioni ecaci avremo il

comportamento mostrato nella seguente gura 19

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

dove le tensioni ecaci non hanno più un valore costante dopo t0 poiché variano le pressioni

ε

interstiziali. A questo punto è utile anche analizzare la deformazione volumetrica data dal

vol

rapporto ∆V

ε = (1.22)

vol V

i

La descrizione della deformazione volumetrica è fornita dai seguenti graci

Mentre i diagrammi visti in precedenza avevano dei salti al tempo t0 in questi non si nota alcuno

salto poiché la risposta non drenata non può avere deformazioni di volume per cui no al tempo

t0 la deformazione è nulla. Superato t0 poi avremo un accrescimento. Nel secondo graco invece

si mostra l'andamento del cedimento che per denizione inizia al tempo t0 con un cedimento

istantaneo chiamato w0 e poi progressivamente nel tempo avrò un andamento asintotico.

1.8.1 Cedimenti istantanei

Vogliamo studiare cosa succede al tempo t0. Abbiamo detto che la base è che non ci siano

deformazioni di volume e in più utilizziamo il modello elastico. Facciamo quindi dei richiami

20 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

sulla teoria dell'elasticità. La tensione può espressa come somma di due termini: lo sforzo medio

e lo sforzo deviatorico dev

σ = σ + σ (1.23)

ij m ij

Dove la componente deviatorica può essere determinata come dierenza tra lo sforzo totale e lo

sforzo medio. dev −

σ = σ δ σ (1.24)

ij ij ij

ij

Stessa cosa può essere fatta per le deformazioni 1

dev −

ε = ε δ ε (1.25)

ij ij vol

ij 3

dove la deformazione di volume è data da

ε = ε + ε + ε (1.26)

x y z

vol

Considerando il classico legame elastico e la decomposizione in parte isotropa e deviatorica si

ottiene che queste due componenti sono disaccoppiate.

∆σ = K ε (1.27)

m v vol

Quindi variando lo sforzo medio ho solo deformazione di volume legate tra di loro da Kv la

rigidezza volumica espressa come E

K = (1.28)

v −

3(1 2ν)

Allo stesso modo se considero una variazione di sforzo deviatorico avrò solo deformazioni distor-

sionali dev dev

∆σ = 2Gε (1.29)

ij ij

Dove la costante G è il modulo di taglio espresso come

E

G = (1.30)

2(1 + ν)

Un altra complicazione è data dal fatto che il nostro mezzo è bifase e se valgono le ipotesi di

rigidezza dei pori inferiori a quella delle singole fasi allora nel cedimento istantaneo non possiamo

avere deformazioni volumiche perché l'acqua non può uscire. Questo conduce al fatto che la

variazione totale di sforzo ecace deve essere nulla

0 0 0

∆σ + ∆σ + ∆σ = 0 (1.31)

x y z

Quindi passando alle tensioni totali avremo

− − −

∆σ ∆u + ∆σ ∆u + ∆σ ∆u = 0 (1.32)

x y z

Raggruppando il termine della variazione di pressione e isolandolo ottengo

∆σ + ∆σ + ∆σ

x y z

∆u = (1.33)

3

Quindi non ci sono deformazioni di volume ma solo distorsionali. Questa particolarità può essere

modellata all'interno del modello elastico facendo tendere a innito la rigidezza di volume Kv in

questo modo blocco le deformazioni di volume.

→ ∞seν → ∞

K (1.34)

v 21

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

Questa non è una proprietà del materiale ma un parametro che serve per ottenere una risposta

puramente distorsionale, lo stesso mezzo poroso dopo dei tempi lunghi non si comporterà più

in questa maniera ma sarà condizionato dal cedimento di consolidazione. Ricordo che nelle fasi

ν

drenate il modulo di Poisson , dove il pedice u sta per undrayning, assume valori tra lo 0.2

u

e lo 0.3. Posso guardare anche al modulo di taglio che governa le distorsioni e non è inuenzato

ν

dalle condizioni drenate e non drenate cioè non cambia valore tra le due fasi. Quando = 0.5

E

il modulo di taglio assume valore pari a e poiché rimane costante nelle due fasi possiamo

3

scrivere la seguente relazione 0

E E

u = (1.35)

0

− −

3(1 2ν ) 3(1 2ν )

u

In condizioni non drenate avremo che E = 3G (1.36)

u

Mentre in condizioni drenate avremo che 0 0

E = 2(1 + ν )G (1.37)

Modiche al modello elastico

L'ipotesi di mezzo elastico anche questa volta non descrive bene la realtà. Infatti in questi casi

sussiste il fenomeno della dilatanza ovvero quando applico all'elemento di terra lo sforzo devia-

torico oltre alla distorsione ho anche una variazione di volume e quindi l'ipotesi di mezzo elastico

risulta meno accurata.

22 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Per cui il concetto sico è il seguente 1 ne dev

ε = ∆σ + f (ε ) (1.38)

m

vol ij

K

dove si vede la componente deviatorica non presente nel modello elastico ma presente nella

ψ

realtà. Quella componente dipende dall'angolo di dilatanza . Per aggirare questo problema posso

sfruttare le sperimentazioni facendo delle prove di compressione triassiali non drenate. Facendo

queste provo posso, applicando uni sforzo verticale, misurare le pressioni e quindi calcolare la

costante che lega pressioni a sforzo verticalmente. Skempton alla luce di queste prove fornì la

seguente relazione per calcolare la variazione di pressioni

∆u = B[∆σ + A(∆σ ∆σ )] (1.39)

3 1 3

scritta in questo modo la formula è adatta per descrivere la variazione di pressione. Nella fase

isostropa avrei ∆u = B∆σ (1.40)

3 23

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

se il mezzo è saturo nella fase isotropa si ritorna alla previsione elastica poiché B è pari a 1. A è

la costante di Skempton e serve a precisare sperimentalmente come tende a rispondere l'elemento

di terra in particolare nella fase di carico deviatorico. Se mi trovassi nella fase deviatorica, ovvero

aumento solo gli sforzi orizzontali, e varrebbe il modello elastico allora la costante di Skempton

vale in linea teorica 1/3. Eettuo quindi la prova, misuro la costante e se il mezzo è veramente

elastico allora dovrei stare vicino a questo valore. Mi aspetto che per un materiale che tende alla

dilatanza A sia più piccola e quindi sia più piccola di quella valutata con il metodo classico.

u

Il problema è che la costante di Skempton non è una proprietà del materiale ma una costante

che serve per descrivere un determinato proprietà, per cui se cambio il percorso tensionale la A

cambia. Questo succede anche nel modello elastico, dove se ad esempio dopo la compressione

aumento solo la pressione di cella (la pressione laterale) allora A varrebbe 2/3 cambiando quindi

di valore.

Cedimento di consolidazione secondo Skempton-Bjerrum

La domanda che mi posso fare è quanto vale la variazione di pressione quando applico un carico

∆ = ∆σ

istantaneo? Abbiamo detto che in termini elastici tuttavia questo non è proprio vero

u m

a causa di fenomeni come la dilatanza. Allora abbiamo detto che si può utilizzare la formula

di Skempton dove è presente la costante A che esprime l'entità di quando si applica uno

u

sforzo deviatorico. Quindi possiamo utilizzare Skempton per introdurre il metodo edometrico

modicato. Con il metodo edometrico classico dicevamo che

∆σ (q) = ∆u (z) (1.41)

z 0

0

→∞

t ∆u = ∆σ

e che per si aveva che Se non fosse vero il modello elastico allora si può

0 z

utilizzare la relazione di Skempton per calcolare la variazione di pressione che comunque per

0

∆u = ∆σ

tempi lunghi vale sempre . Quindi è il punto di partenza che è diverso, questo serve

0 z

per tenere conto di alcuni materiali molto sovraconsolidati. Il cedimento ottenuto con Skempton

w

risulta essere più piccolo. Indicando con il cedimento calcolato con il metodo corretto avremo

c

che H H −

Z Z ∆σ + A(∆σ ∆σ )

3 1 3

w = ∆u z = dz (1.42)

c 0 E

ed

0 0

mentre con il metodo edometrico classico 0

H

Z ∆σ z

w = dz (1.43)

ed E

ed

0 β

il rapporto tra le due espressioni ci fornisce il valore

β = A + α(1 A) (1.44)

α

dove è dato da H

R ∆σ z

3

0

α = (1.45)

H

R ∆σ z

1

0

Operativamente si procede calcolando il cedimento attraverso il metodo edometrico classico

β

e poi si valuta il coeciente attraverso la seguente tabella

24 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Che dipende dalla geometria dell'impronta di carico e dal valore di A che dipende dal tipo di

terreno.

1.8.2 Calcolo dei cedimenti in condizioni non drenate

Nelle condizioni non drenate il fatto importante è che esse avvengano in assenza di deformazioni

di volume e che il modello elastico debba avere dei parametri particolari anché descriva bene

le condizioni non drenate. Voglio calcolare il cedimento immediato indotto da un impronta di

caricare immaginando di avere lo schema in gura 25

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

Il cedimento sarà dato dal seguente integrale

H H −

Z Z σ 0.5(σ + σ )

z x y dz

w = ε dz =

0 z E

u

0 0

dove è stata utilizzata la legge di Hooke ma inserendo i parametri della condizione non drenata

E ν = 0.5

e cioè e e considerando il terreno omogoneo. Nel caso ci trovassimo in condizioni

u u σ = σ = σ

assial simmetriche avremmo che per cui l'integrale precedente si modica in

x y r

H −

Z σ σ

z r

w = dz

0 E

u

0

Abbiamo a disposizione di una serie di soluzioni pre calcolate in cui il primo integrale è stato

tabellato. Prima di arrivare a questo dobbiamo fare delle modiche all'espressione. Poiché il

E

terreno è omogeneo il termine è costante per cui è possibile metterlo fuori dall'integrale inoltre

u

possiamo adimensionalizzare l'espressione secondo le caratteristiche geometriche dell'impronta;

per cui moltiplicando e dividendo per B la larghezza dell'impronta otteniamo

qB

w = I (1.46)

0 w

E

u

I

dove il termine sarebbe l'integrale

w H −

Z σ ν (σ + σ ) z

B z u x y

I = d( )

w q B

0

Le tabelle che contengono le soluzioni di questo termine sono in funzione della profondità e

della particolare forma dell'impronta di carico B. Questa B per un'impronta circolare è data da

due volte il raggio. Inoltre possiamo considerare anche il fatto che spesso che questa impronta è

applicata ad una profondità D per cui il fattore geometrico Iw è dato dal prodotto di due termini

I = I I (1.47)

w 1 2

Entrambi quindi tabellati nelle seguenti gure

26 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Se D/B diventasse importante allora può avere una certa inuenza sul cedimento facendolo

diminuire. I2 è espresso in funzione di H/B e dipende anche dalla forma della fondazione e può

essere compreso tra valori inferiori a 1 no a valori anche di 2. Analizziamo quindi le diverse

→ ∞

L/B

curve: rappresenta la striscia indenita e poi via via si prosegue verso le forme più

note. Di solito all'interno dei cedimenti appare sempre un fattore adimensionale tabellato come

in questo caso. La dipendenza di H/B è forte tra 0.1 e 10 dopo di che diventa meno sensibile

raggiungendo un asintoto, fa eccezione il caso di striscia indenita dove il fattore I2 continua a

crescere.

Terreno straticato

La trattazione precedente si può estendere ad un terreno straticato come quello mostrato in

gura 27

1.8. CEDIMENTI IN TERRENI POCO PERMEABILI

Sono indicate le profondità dei vari spessori in modo tale che lo spessore possa essere ricavato

per dierenza tra queste quote. La formula per il calcolo del cedimento è la seguente

N −

I (H ) I (H )

w i w i−1

X

w = (1.48)

0 E

u,i

i=1

Questa formula indica che per questi cedimenti è possibile utilizzare la sovrapposizione degli

eetti per il calcolo dei cedimenti, cosa che per il metodo edometrico non era possibile in quanto

utilizzavamo un legame del materiale non lineare.

Se analizziamo questa formula ad esempio per due strati avremo che

I (H ) I (H ) I (H )

w 1 w 2 w 1

w = qB( + ) (1.49)

0 E E E

u,1 u,2 u,2

Il primo termine è il cedimento di tutto il primo strato, il secondo strato è il cedimento di tutto

E

il terreno facendo nta che sia tutto fatto dello stesso materiale con modulo il terzo termine

u,2 E

va quindi a sottrarre la parte in eccesso. Rimane la questione su come valutare il modulo .

u

Possiamo pensare di fare delle prove di compressione non drenata ovvero delle prove triassiali

non drenate dal quale ottenere questo modulo.

28 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Infatti la pendenza della curva che si vede in gura corrisponde proprio al modulo non drenato

se la risposta è approssimabile ad una risposta elastica. Tuttavia si è visto che se vado a fare

delle misure quel modulo è poco adabile e risulta essere sottostimato. Allora potrebbe essere

c

utile determinare la portando a rottura il materiale essendo la tensione massima ottenibile

u

2c

come questo perché il cerchio di Mohr a rottura è il seguente

u

In particolare il rapporto tra modulo non drenato e coesione non drenata è funzione dell'indice

di plasticità PI e dell'OCR ed è esprimibile come segue

E 15000

u = (1.50)

c P I(1)

u

Al solito questa dipendenza è rappresentabile attraverso un graco

c E

Con l'aumento dell'OCR tipicamente aumenta sia che ma le curve sono decrescenti

u u

poiché aumenta più la coesione rispetto al modulo non drenato. Il valore di questo rapporto per

OCR intorno a 1 è dato dall'equazione 1.5 che mi da il punto di partenza delle curve. 29

1.9. GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO

1.9 Generalizzazione del problema elastico

Cerchiamo di dare una forma più generale al modello elastico che sia valida per più tipologie di

terreno. Lo schema è il seguente

Quindi abbiamo un impronta circolare e si vuole calcolare il cedimento in asse ad essa. Come

sappiamo le diverse forme dell'impronta di carico possono essere sempre riportate ad un impronta

circolare di area equivalente. Possiamo calcolare quindi la variazione di sforzi verticali indotti nel

seguente modo ∆σ 1

z −

=1 (1.51)

a

q 2 1.5

(1 + ( ) )

z

mentre per gli sforzi orizzontali indotti avremo

∆σ 1 1+ ν 1

z −

= + ν + (1.52)

a a

q 2 2 0.5 2 1.5

[( ) + 1] 2[( ) + 1]

z z

Quindi poi per calcolare la deformazione strato per strato si applica la legge di Hooke

∆σ ∆σ q

q z r

ε = ( 2ν ) = ∆I (1.53)

z z

E q q E

Il modello rimane lo stesso ma può essere specializzato per ogni caso. Ad esempio in condizioni

non drenate posso porre poisson pari a 0.5 che signica incompressibilità volumetrica ed il modulo

E

di Young pari al modulo non drenato . Oppure mi trovo in un terreno sabbioso allora basterà

u

mettere i giusti parametri e via verso l'innito e oltre! Il modello elastico generale ci permette

di tenere conto anche della generale variazione del modulo ad esempio con una forma lineare

ma anche di forme con ordini superiori. Nel prossimo graco si vede la soluzione al variare del

ν =0

modulo di poisson specialmente nei casi limite. Ad esempio se mi trovo con un massimo

sotto l'impronta di carico mentre aumentando la curva tende a 0.

30 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Questo tipo di andamento vale per modulo costante mentre se è variabile strato per strato mi

calcolerò il valore della deformazione.

1.9.1 Inuenza della rigidezza dell'area di carico

Fino adesso ho dato per scontato che il carico fosse trasferito al terreno senza alcun oggetto.

In realtà il carico è trasferito da corpi rigido come ad esempio un plinto di fondazione. Pensiamo

che il carico agisca su una piastra di fondazione con spessore t e quindi si fa riferimento ad una

rigidezza di tipo essionale. Questo per tenere conto se il corpo si comporta in maniera rigida o

deformabile cambiando quindi a distribuzione del carico. Nello specico pensiamo ad una piastra

circolare e vediamo la dierenza tra area di carico essibile e innitamente rigida.

• Area di carico essibile Al centro di un area di carico essibile avrò questa congurazione

In cui il cedimento massimo al centro vale

qD 2

ρ = (1 ν ) (1.54)

E 31

1.9. GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO

Quindi il fattore d'inuenza in questo caso è il termine tra le parentesi tonde. Se il cedimento

è sul bordo avrò qD π

2

ρ = (1 ν ) (1.55)

E 8

Quindi cambia il fattore d'inuenza.

• Area di carico rigida Se l'area di carico fosse rigida avrò questa situazione

Cederà in maniera uniforme però il cedimento al centro è quello uniforma in tutta la piastra.

Il cedimento risolvendo questo caso limite varrà

qD π

2

ρ = (1 ν ) (1.56)

E 4

I picchi ai bordi sono derivati dalla soluzione elastica che ci dice che in quei punti lo sforzo

tende ad innito. Naturalmente non si può applicare uno sforzo grande a piacere poiché

il materiale ha una resistenza massima e quindi i picchi vanno troncati e la distribuzione

resa pi uniforme.

In questi casi analizzati non compaiono termini sulla rigidezza della piastra perché sono due

casi limite ovvero innitamente essibile e rigida. Tra i due casi limiti il cedimento massimo è

poco inuenzato dalla rigidezza della struttura di fondazione. Ovviamente se vado a vedere il

cedimento dierenziale cioè nei vari punti della piastra noto una certa dierenza. Come ulteriore

strumento di valutazione si può utilizzare il seguente graco per valutare il fattore d'inuenza per

il cedimento massimo in funzione della rigidezza della struttura di fondazione. Infatti la forma

generale del cedimento è la seguente. qD I

ρ = (1.57)

f

E

I

Il fattore dipende da tante cose come la forma, il rapporto tra la dimensione caratteristica

f

della fondazione e la profondità, il rapporto tra i lati in particolare questa analisi qua mette in

K

evidenza la dipendenza della rigidezza relativa tra fondazione e terreno f

32 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

L'espressione della rigidezza si trova in alto a sinistra del graco. Per una piastra rettangolare

avremo che la rigidezza sarà 3

bt

E = (1.58)

f nd 12

Dove compare lo spessore al cubo. La rigidezza relativa è data dal rapporto tra rigidezza della

piastra e rigidezza del terreno. Questo rapporto deve essere adimensionale per cui possiamo

esprimere la rigidezza del terreno come 3

E = E D (1.59)

sav terreno

Dove D è il diametro della fondazione che viene utilizzato perché è la dimensione caratteristica

K

del problema. Il graco ci dice quindi che possiamo entrare con il fattore adimensionale f

I

(rigidezza relativa) e si trova il parametro . Ai due estremi del graco abbiamo i due casi limiti

f I

essibile e innitamente rigido. Il valore di varia tra 1 e 0.8 quindi non ha molta variazione.

f

E

Il modulo del terreno è indicato con cioè un modulo medio poiché siamo in un ottica più

sAV

generale in cui esso può variare con la profondità in particolare in maniera lineare. Quindi per

ogni profondità ho un Kf dierente poiché varia il modulo. Valutandolo strato per strato ad

esempio posso capire in che campo mi trovo se essibile, rigido o intermedio.

1.9.2 Inuenza tra il cedimento massimo al centro della fondazione e il cedi-

mento in un punto sul bordo

Le relazioni sono rappresentate in questo estratto 33

1.9. GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO

Dove per edge si intende il lato della fondazione e corner per il vertice. Compare la rigidezza

relativa per tenere conto della essibilità e rigidezza.

1.9.3 Inuenza della profondità del piano di posa

Questo fattore correttivo che modica l'espressione generale ha il seguente andamento

34 CAPITOLO 1. ARGOMENTO1

Questo fattore d'inuenza per il caso specico non drenato avevamo visto che era un fattore che

non contava moltissimo. Queste curve dipendono dal coeciente di Poisson e in più abbiamo

anche un espressione analitica che descrive bene l'andamento di questo fattore.

Capitolo 2

Argomento 2

2.1 Comportamento non lineare dei terreni

2.1.1 Prova triassiale con misura locale delle deformazioni

Vogliamo analizzare il legame elastico non lineare all'interno del terreno. Potremmo pensare che

la strada più diretto per valutare il modulo non drenato la via pi facile sia quella di eettuare

delle prove triassiali non drenate. Lo schema della prova è il seguente

Il provino è totalmente isolato. Se misurassimo la deformazione semplicemente come distanza

tra le due teste del provino questa misura sarebbe inadabile perché il provino è dicile da

preparare. Ci sono problemi di allettamento tra piatto e campione. Per cui la misura esterna

ingloba tutta una serie di valori che tengono conto di questi problemi rendendola inadabile.

Allora si possono fare delle misure di tipo locale tramite l'applicazione di particolare strumenti

sul mantello del provino. Nel prossimo graco si vede la dierenza tra misura esterna e misura

interna 35

36 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

I punti con i triangoli rappresentano la misura locale Dove sulle ordinate c'è metà del carico

assiale in quanto rappresenta il raggio della circonferenza di Mohr e quindi il valore massimo

c

rappresenta proprio la . Si vede che mano a mano che aumenta il carico le due curve tendono

u

ad assumere gli stessi valori mentre per piccole deformazioni c'è una dierenza grossa. Quindi non

c'è problema nel valutare la resistenza ultima e nemmeno la rigidezza nella fase di deformazioni

−3

10

grandi. Nei tipici problemi di Geotecnica l'entità delle deformazioni è piccola quindi ci

servirebbe capire il valore della rigidezza per piccole deformazioni. Per valutare quindi questi

parametri a piccole deformazione una prima strada è quella di utilizzare la coesione non drenata

mentre l'altra strada sarebbe quella di eettuare misure di laboratorio più precise cosa non

sempre possibile.

2.1.2 Risultati di una serie di prove triassiali con misure locali

Qui di seguito vengono riportati alcuni esempi di prove triassiali su provini con diverso grado di

sovraconsolidazione. 37

2.1. COMPORTAMENTO NON LINEARE DEI TERRENI

Il prossimo graco mostra il dettaglio dell'inizio della curva in scala logaritmica e si vede che

il comportamento varia con il livello di deformazione. E

Invece il prossimo graco mostra la valutazione di ,e quindi di G essendo i due legati.

u

Questo modulo è valutato prendendo come punto di riferimento la tensione al termine della fase

di consolidazione riferimento e poi scelto il punto dove calcolare il modulo faccio passare una retta

per questi due punti e il modulo edometrico locale o secante è proprio la pendenza di questa

curva. Questo modulo diventa sempre più piccolo mano a mano che cresce la deformazione. Il

modulo iniziale è invece dato dalla retta passante per il punto iniziale e tangente alla curva.

Calcolando più moduli secanti posso tracciare le curve presenti nel prossimo graco.

38 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

2.1.3 Dipendenza dalle piccole deformazioni della rigidezza a taglio

Questo graco rappresenta la dipendenza del modulo di taglio dalle deformazioni. Il graco è

G

scalato rispetto al valore massimo . Quindi per denizione la curva inizia da 1 e poi decade

0

con questo andamento tipico. Il graco è diviso a secondo della grandezza delle deformazioni e in

particolare si nota sull'asse delle ascisse la tipologia di misura ovvero con metodi dinamici e con

metodi normali. Questo signica che non tutti i range di deformazione possono essere misurati

con metodi normali.

Per shear-strain si intendono le deformazioni di taglio ovvero le derivate miste ricavate dagli

spostamenti; sul cerchio di Mohr è la misura del raggio. 39

2.1. COMPORTAMENTO NON LINEARE DEI TERRENI

2.1.4 Dipedenza del modulo da vari elementi

G

0

Questa trattazione è più geneale perché parla anche di G che è la costante che lega gli sfor-

G

zi deviatorici alla deformazioni deviatoriche. Il primo passo è valutare il modulo e poi la

0

G

variazione di al variare della deformazione. Poiché siamo interessati al modulo di taglio per

piccole deformazioni allora un aiuto può arrivare da eventi sismici in quanto le deformazioni che

inducono sono piccole. Per valutare il modulo di taglio iniziale possiamo utilizzare la seguente

formula dove al suo interno gurano i parametri che più inuenzano questo modulo.

0

G p

0 n m

= S( ) f (e)(OCR) (2.1)

p p

a a

• S coeciente di rigidezza che indica il tipo di materiale infatti dipende anche dall'indice di

plasticità. Le sabbie e le ghiaie hanno convenzionalmente l'indice di plasticità pari a 0.

• p' indica lo sforzo medio ecace e più aumenta e più aumenta la rigidezza perché è come

una sorta di precompressione.

• p la pressione atmosferica di riferimento questo per avere dei valori adimensionali e vale

a

100KPa

• n è una costante che dipendono dal tipo di terreno

40 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

• f(e) funzione dell'indice di pori decresce all'aumentare dell'indice dei pori e questo è intui-

tivo perché tanto più cresce il numero dei pori tanto più decresce la rigidezza.

• OCR grado di sovra consolidazione che inuenza meno la rigidezza.

Queste tre dipendenze possono essere espresse con diverse formule e sono una sintesi delle

sperimentazioni sul modulo G.

2.1.5 Velocità di propagazione delle onde elastiche

I metodi dinamici permettono di misurare la rigidezza tramite la propagazione delle onde mec-

caniche all'interno del mezzo. Principalmente si utilizzano le onde P (Primary)di compressione e

le onde S (Secondary) di taglio. Di seguito è illustrato l'eetto dei due tipi di onde in un mezzo

41

2.1. COMPORTAMENTO NON LINEARE DEI TERRENI

Le onde P comprimono il materiale mentre le onde S sono di taglio e le deformazioni

avvengono ortogonalmente alla direzione di propagazione.

Le velocità sono espresse nel modo che segue

s M v

V = (2.2)

p ρ

s G

V = (2.3)

s ρ

Nelle onde P appare il modulo edometrico poiché non si possono avere deformazioni laterali

mentre nelle onde S abbiamo il modulo di taglio.

2.1.6 Metodi di misura dinamici

Per misurare la velocità delle onde P su un provino possiamo utilizzare il seguente schema qui

di seguito

42 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

C'è un impulso che si propaga dall'emettitore lungo il provino e un oscilloscopio registra

la partenze e l'arrivo misurando esattamente il tempo anché l'impulso attraversi l'altezza del

provino. Dobbiamo però essere capaci a generare delle onde di taglio in questo caso utilizzando

delle lamine che sottoposte a una variazione di potenziale vibrano generando un onda di taglio.

Le misure possono avvenire utilizzano dei bender-elements.

Un altro metodo che si può utilizzare è la colonna risonante. 43

2.1. COMPORTAMENTO NON LINEARE DEI TERRENI

Il provino viene sollecitato ciclicamente in maniera torsionale e viene misurato l'angolo di

torsione del moto rotatorio che dipende dalla frequenza. Viene ripetuta questa sollecitazione a

varie frequenze e viene misurata l'ampiezza massima della torsione ottenendo una curva di questo

genere

44 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Ci sarà quindi una frequenza in cui il provino subirà una deformazione massima e questa

frequenza viene chiamata frequenza di risonanza che dipende dalla rigidezza torsionale e dalla

massa del provino. La rigidezza torsionale dipende dal modulo G.

2.1.7 Tecniche di misura in situ

Lo schema di misura tipico è il seguente

Che è la tipica prova cross-hole che per la sua esecuzione necessita di due o tre perforazioni. In

un foro calo un emettitore in un foro e negli altri dei ricevitori. Questo emettitore deve essere in

grado di produrre onde S e questo non è facile perché nella realtà si generano più tipi di onde.

La generazione delle onde S avviene mettendo in pressione contro il foro l'emettitore che al suo

interno ha una massa oscillante che produce l'onda. Il ricevitore (o i ricevitori) possono essere

messi a dierenti altezze in modo da misurare le velocità conoscendo la distanza e il tempo di

45

2.1. COMPORTAMENTO NON LINEARE DEI TERRENI

propagazione. Avendo pi ricevitori posso misurare i vari tempi e quindi le varie velocità sui vari

raggi ottenendo una tomograa del terreno.

Emettitori di onde S

La tomograa mi permette di costruire dei campi di velocità risalendo alla velocità media di

tutti gli elementini della griglia.

2.1.8 Graci di sintesi sulla dipendenza del modulo G dalla deformazione

Il calcolo del modulo G può essere spezzato in due fasi

46 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

G

1. Valutazione del modulo iniziale tramite la relazione vista in precedenza ovvero

0 0

p n

G = G = Sf (e)( ) (2.4)

0 max p

atm

che è funzione della porosità in senso decrescente mentre cresce se aumenta lo sforzo medio.

G

2. Variazione del modulo di taglio secante con la deformazione per la quale si può

sec

utilizzare la seguente relazione e graci

Abbiamo varie curve al variare dell'indice di plasticità, dal punto di vista matematico

queste curve possono essere espresse con la relazione K(y,Ip) dove al suo interno compare

la tangente iperbolica che da una forma a S alle curve.

Combinando il punto 1 e il punto 2 si ottiene quindi il modulo di taglio formato dalla parte

iniziale e dalla parte di decadimento funzione della plasticità. Quindi abbiamo una dipendenza

dal livello deformativo che è un fatto nuovo nei legami che abbiamo visto nora.

2.1.9 Valutazione del modulo non drenato

Riassumendo abbiamo due metodi

1. Dalle prove di laboratorio si ricava la resistenza a taglio e quindi noto l'indice di plasticità

E c

possiamo calcolare il rapporto / ottenendo quindi un modulo non drenato operativo

u u

facendo riferimento a deformazioni tipiche delle opere di geotecnica.

G

2. Passare per la valutazione del modulo e poi del suo decadimento oppure facendo delle

0

prove in situ. Una volta valutato poi bisogna comunque tenere conto del livello deformativo.

Per calcolare il modulo dobbiamo utilizzare un metodo iterativo tenendo conto dell'entità delle

deformazioni. Questo andrebbe fatto strato per strato oppure in maniera più semplicata tenendo

conto delle deformazioni calcolate con i cedimenti e iniziando con quella deformazione. Così strato

2.2. VALUTAZIONE DELLE CARATTERISTICHE DI RESISTENZA E DI RIGIDEZZA A PARTIRE DA PR

per strato arrivo a denire come varia il modulo secante con la profondità. In alternativa si può

utilizzare la correlazione tra la velocità delle onde di taglio e il modulo di taglio G. Esistono poi

correlazione tra la resistenza del penetrometro o il numero di colpi con la velocità delle onde di

taglio. Il vantaggio della prova penetrometrica è che fornisce un prolo continuo della grandezza

che si vuole misurare. Queste correlazioni sono così espresse

0.171 0.199

V = 69N z F F (2.5)

s a g

spt 0.13 0.27

V = 277q σ (2.6)

s c v0

2.2 Valutazione delle caratteristiche di resistenza e di rigidezza a

partire da prove penetrometriche CPT

2.2.1 Tipici esempi di resistenza alla punta

La prova penetrometrica è molto semplice da eettuare e ore un gran numero di correlazione

con la resistenza alla punta e altri parametri geotecnici. Essa consiste nell'inssione nel terre-

no,mediante la spinta di un camion, di una punta standardizzata cioè con forma e dimensioni

sse in cui il diametro è circa 5 cm. Qui vediamo tre proli tipici per un argilla tenera, un argilla

più consistente e per un terreno con più strati.

Queste prove servono per capire meglio come è fatto il sottosuolo in analisi poiché i diversi

terreni hanno diverse resistenze alla punta. Quindi il prolo di resistenza alla punta unito a

sondaggi geo gnostici si può individuare con buona approssimazione a che profondità ci sono

passaggi di strati. Le prove penetrometriche statiche si tendono a farle con il piezocono che è

una punta con sensori per la misura della pressione interstiziale.

48 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Questa misura da ulteriori informazioni sulla natura del terreno.

Il prolo della pressione non è il prolo della pressione per terreno indisturbato che invece

ha un andamento lineare come si vede nel graco precedente. Il piezocono non ha registrato una

signicativa variazione di pressione che indicano quindi dei terreni a grana grossa con una rottura

49

2.3. RAPPRESENTAZIONE DEI PERCORSI TENSIONALI

in condizioni drenate. Mentre quando entro nella zona con argilla limosa la rottura avviene in

condizioni non drenate infatti si ha un incremento delle pressioni interstiziali.

2.2.2 Determinazione della resistenza non drenata cu da qc per terreni ar-

gillosi

La punta scendendo genera sul terreno un meccanismo plastico con espulsione laterale del terreno

c q

per cui è possibile correlare la con la resistenza alla punta

u c

q σ

c v0

c = (2.7)

u N

c

N

Dove è il fattore di capacità portante che dipende dal meccanismo di rottura plastico. Per

c

i pali era pari a 9 mentre in questo caso anche se la situazione è simile a quella dei pali abbiamo

dei valori diversi. Prima di tutto la punta è molto più piccola rispetto a quella di un palo quindi

abbiamo già un fattore di scala da correlare con la tipologia di terreno. Questo fattore si è visto

±

17 5

che ha un valore che v per le argille tenere pari a 14, per argille preconsolidate mentre per

q

argille fessurate varia tra 10 e 30. Per quanto riguarda la essa la misuriamo mano a mano che

c

la punta penetra nel terreno.

2.3 Rappresentazione dei percorsi tensionali

Quando si eseguono delle prove sui terreni spesso si ottengono dei dati dispersi, in particolare per

la resistenza a taglio non drenata sarebbe utile capire come essa sia disposta lungo la profondità.

Facciamo dei richiami sulla rappresentazione degli sforzi in particolare cercare di avere una visione

globale del comportamento del terreno lungo dei percorsi tensionali.

2.3.1 Cerchio di Mohr degli sforzi

Per rappresentare i percorsi tensionali si possono utilizzare diversi piani.

Uno è il piano di Mohr rappresentanto con un cerchio ma è anche utile utilizzare un piano t-s

dove si rappresenta con due variabili, appunto t ed s, che sono il centro e il raggio del cerchio di

Mohr. In particolare si possono associare queste variabili alle tensioni principali.

50 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Questo anche in termini di sforzi ecaci semplicemente sottraendo la pressione idrostatica alle

tensioni principali infatti i due cerchi hanno lo stesso raggio ma traslati. Un altro piano utilizzato

è il piano p-q adatto alle condizioni assialsimmetriche. La componente q rappresenta lo sforzo

deviatorico senza diviso 2 e quindi è il diametro del cerchio di Mohr. La p invece è la pressione

media quello che abbiamo chiamato lo sforzo medio.

2.3.2 Rappresentazione della supericie limite di resistenza

Siccome il criterio di resistenza molte volte viene rappresentato tramite una retta. Nel piano

di Mohr la pendenza della retta è indicata dall'angolo di resistenza a taglio e l'intercetta dalla

coesione. Negli altri piani invece si hanno diverse rappresentazioni 51

2.3. RAPPRESENTAZIONE DEI PERCORSI TENSIONALI

Ad esempio nel secondo graco che sarebbe il piano t-s la pendenza è diversa così come nel

primo mentre il terzo graco è proprio il piano di Mohr. Da notare che un criterio di resistenza

lineare rimane lineare in ogni altro piano cambiando la pendeza.

2.3.3 Percorsi di carico-Esempio di prove triassiali

Questi diversi piani sono molto utili per rappresentare i percorsi tensionali di un certo terreno

sottoposto ad un certo percorso di carico. Nel graco si riporta l'esempio di una prova triassiale.

52 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Ad esempio in una prova CID (Compressione isotropa deviatorica drenata) nella fase di com-

pressione isotropa ci muoviamo lungo l'asse p poi nella fase deviatorica in cui s'incrementa solo

lo sforzo assiale ci muoveremo lungo una retta che parte dalla pressione di ne consolidazione e

poi inclinata 1 a 3 poiché si sta incrementando solo lo sforzo assiale. In ogni piano questo per-

corso sarà rappresentato sempre da due rami di rette ma inclinate diversamente. Nel piano p-q

il criterio di resistenza assume una forma diversa come si nota dal graco seguente con relative

equazioni 53

2.3. RAPPRESENTAZIONE DEI PERCORSI TENSIONALI

2.3.4 Prove di compressione drenata

Andiamo adesso ad analizzare i percorsi tensionali per le varie prove di compressione non drenata.

Vogliamo individuare la forma del dominio limite ovvero il luogo dei punti ammissibili in termini

di tensione. Se facciamo una serie di prove di compressione isotrope drenate esse si presentano

in questo modo

Dove ho preso tre provini e consolidati a tensione sempre maggiore rispetto al precedente. Come

si vede nel graco le rette sono inclinate a 45 gradi poiché siamo nel piano t-s e i punti nali cioè

i punti in cui la tensione assiale raggiunge il valore massimo terminano tutti su una retta limite

ϕ

inclinata di . Essendo drenata i percorsi tensionali di tensione totale (TSP) e sforzi ecaci

(ESP) coincidono. K

Un altro tipo di prova è quella in condizione ovvero una prova in cui gli sforzi orizzontali

0

K

non sono uguali a quelli verticali ma sono volte quelli verticali. Ovvero in termini analitici

0 0 0

σ = σ (2.8)

a 1

54 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

0 0 0

σ = σ = K σ (2.9)

0

r 3 1

Quindi nelle mie prove triassiali posso riconsolidare i miei provini anche in questo modo per

simulare meglio la realtà.

Ci muoveremo quindi su un altra retta fatta in questo modo

Tutto questo ci permette di individuare il tipo di percorsi tensionali e il tipo di curva limite.

Prova drenata signica velocità di carico molto lenta.

Prove di compressione non drenata

Isolando il provino facendo si che non entri uido la prova viene eseguita a volume costante cioè

si distorce. I percorsi sono diversi perché si determina una variazione di pressione interstiziale.

Quindi i percorsi tensionali TSP ed ESP sono diversi. Il percorso degli sforzi ecaci rimangono

Prova non drenata

sempre delle rette mentre quelli degli sforzi ecaci sono delle curve che buttano verso destra.

Poiché estraggo dei campioni dal terreno essi saranno normalconsolidati quindi OCR sempre

uguale a 1 cioè lo sforzo massimo è uguale a quello che viene applicato. Ci prepariamo del

materiale vergine ricostituito lo riconsolidiamo e vediamo come si comporta sollecitandolo con

uno sforzo deviatorico. Quindi stiamo lavorando con dei provini normal consolidati. La dierenza

∆u

tra i due percorsi è proprio la 55

2.3. RAPPRESENTAZIONE DEI PERCORSI TENSIONALI

2.3.5 Comportamento di un provino di argilla OC (sovra-consolidata)

Deposito normal-consolidato

Immaginiamo di avere sempre i tre provini ma questa volta sovraconsolidati in laboratorio ad

esempio consolidandoli ad un certo valore e poi scaricando il provino poi ricaricarlo no ad un

certo valore.

Adesso il percorso tensionale degli sforzi ecaci è sempre una curva ma mentre prima era tutto

a sinistra in questo caso serpeggia.Tutti gli stati nali arrivano allineati su una sorta di retta

limite. Inoltre nei graci si mostra anche la variazione di volume specico e quindi della variazione

dell'indice dei vuoti. L'andamento tipico della coesione non drenata in arigille OC è di questo

tipo

56 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Questi 4 graci possono essere letti tutti insieme.

2.4 Distribuzione dell con la profondità

cu

Tutto questo ci serviva per arrivare alla distribuzione della resistenza a taglio non drenata con la

0

p

profondità. Infatti con la profondità varia lo sforzo litostatico e aumenta quindi . Ad esempio

nella gura della prova non drenata i tre campioni presi possono essere considerati come campioni

c

presi a diverse profondità quindi ci può aiutare a capire come varia Portiamo a rottura i tre

u

provini in condizioni non drenate e si vede che la resistenza a taglio è proprio quella indicata nella

gura. Infatti la cu rappresenta il raggio della circonferenza di Mohr e questi punti si trovano

c

allineati su una retta che rappresenta la retta limite. Quindi se esiste un rapporto tra la e lo

u

σ c

sforzo allora esiste anche un rapporto tra la e lo sforzo orizzontale poiché lo sforzo verticale

z0 u

e quello orizzontale sono legati tra di loro. Inoltre il legame esiste anche con lo sforzo ecace.

Quindi posso dire che c

u

( ) = cost. = 0.3 (2.10)

0

σ

z0

Questo per quanto riguarda un deposito normal-consolidato dove la cu dovrebbe tendere a

crescere con la profondità. k

Questo 0.3 è un valore medio indicativo e al suo interno ci stanno informazioni sul e sui

0

parametri di resistenza drenati perché sulla retta limite ci niscono i percorsi tensionali ecaci.

Deposito sovra consolidato

Dalla gura si vedeva che abbiamo percorsi tensionali intrecciati per cui la rottura ha un punto

c

più alto e di conseguenza ho una più grande che deve dipendere anche dal grado di sovra

u

consolidazione. c c

u u 0.8

( ) = ( ) OCR (2.11)

OC N C

0 0

σ σ

z0 z0

2.5 Modello elasto-palstico incrudente

Ci può essere utile avere un modello di comportamento che metta insieme tutti gli elementi di

resistenza e deformabilità di un terreno a bassa permeabilità con l'applicazione di carichi. 57

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

2.5.1 Argilla Normaconsolidata

Utilizzeremo principalmente il piano p'-q andando a rappresentare i percorsi tensioni di una

prova di compressione triassiale

Nella fase isotropa si arriva al valore A camminando sull'asse p' dopo di che nella fase deviatorica

si aumenta solo lo sforzo verticale muovendosi lungo una retta inclinata 1:3 A-C. La stessa cosa la

faccio su una prova non drenata muovendomi quindi sul percorso A-B. Entrambi questi percorsi

terminano su una retta passante per l'origine che in questo piano è caratterizzata da un certo

coeciente angolare M che è parente stretto dell'angolo d'attrito o angolo di resistenza a taglio.

Adesso riportiamo i risultati delle prove sul piano v-p' dove v è il volume specico.

V tot

v = =1+ e (2.12)

V solido

Nel graco in basso a destra notiamo che tutti i punti sull'asse 0-A ovvero durante la fase di

consolidazione si trovano sulla curva NCL e l'equazione di questa curva è esprimibile come

0

v = Γ1 λ ln p (2.13)

In questo nuovo piano il percorso non drenato poiché avviene a volume costante vado d A-B

muovendomi orizzontalmente mentre la prova drenata ha una contrazione quindi il percorso deve

andare verso il basso. Notiamo che anche in questo piano i punti terminali appartengono ad una

stessa curva che è una parente stretta della NCL che chiameremo CSL ( Critical Solidation Line)

e anche se prendo altri provini consolidati diversamente i percorsi termineranno sempre su questa

curva CSL stessa cosa per la curva NCL.

Se vado a modicare questo graco in scala logaritmica ottengo

58 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Dove si vede che la curva NCL diventa una retta. Il punto N indica il valore del volume specico

quando p' vale un 1KPa. Questo graco ci mostra che dice la stessa cosa che diceva la curva edo-

0

ln p

metrica e tale curva edometrica se rappresentata nel piano -q diventa la retta NCL-1D solo

che la costante è N1 che è più basso della costante N delle prove triassiali ma il comportamento

sico è lo stesso infatti la pendenza è uguale.

Percorsi tensionali ecaci e curva di stato critico CSL

Quello che cambia tra condizioni drenate e condizioni non drenate è il percorso tensionale.

Facciamo un passo avanti cercando di rappresentare i graci precedenti nello spazio. 59

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

Allora vediamo le due curva CSL e NCL. La fase di compressione isotropa si trova nel piano v-p'

mentre i punti nali si trovano sulla curva CSL su un piano che intersecato con il piano q-v ci

da una retta verticale quindi a volume costante. Mentre in condizioni non drenate mi muoco su

A-C in un piano in cui è ssato il rapporto tra q e p' in questo caso 1:3 e quindi quel percorso

deve appartenere ad un piano che intersecato con il piano q-p' ci da una retta inclinata di un

terzo. Quindi tutti i punti nali niscono sempre sulla curva CSL che nei due piani ha le seguenti

espressioni 0

q = Mp (2.14)

0

v = Γ λ ln p (2.15)

dove M ha la seguente forma 0

6 sin ϕ

M = (2.16)

0

3 sin ϕ

60 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Dal prossimo graco si possono vedere le proiezioni della curva CSL sui due piani e anche su

un graco in scala logaritmica dove le due curve diventano due rette.

La CSL è quindi una curva nello spazio denita dalla coppia di equazioni precedenti. La curva

NCL è una curva che sta nel piano v-p' e ha la seguente espressione

0

v = N λ ln p (2.17)

Γ N

In comune con la CSL ha la pendenza cambia solo la costante iniziale e . Nella gura sono

riportati anche alcuni valori delle costanti e delle pendenze per vari tipi di terreno con un anti-

cipazione sul fatto che uno schema del genere con qualche precisazione vale anche per le sabbie.

Tutti i percorsi da NCL a CSL appartengono tutti ad un unica supercie a cui appartengono

le stesse NCL e CSL. Questa supercie è univoca e ha la forma concava e prende il nome di

supercie di Rosco.

2.5.2 Argilla sovraconsolidata

Compressione non drenata

Analizziamo ora il comportamento dei materiali sovraconsolidati. In laboratorio per simulare

queste condizioni in pratica il modo più usuale è facciamo una fase di compressione isotropa e

poi si torna indietro scaricando no ad un certo valore. Dopo di che inizia la fase deviatorica.

61

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

Questa volta il percorso tensionale cambia intrecciandosi e con percorsi diversi a seconda del grado

di sovraconsolidazione. Nel piano v-p' avremo una fase di normalconsolidazione muovendoci lungo

NCL poi nella fase di scarico no ad A risaliamo con la linea di rigonamento, raggiunto A ci

muoviamo a volume cotante da A verso B' no raggiungere anche in questo caso un punto nale

sulla curva CSL.

62 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Compressione drenata

Nel caso drenato avremo questa situazione

Notiamo che abbiamo una tendenza ad avere un picco e una variazione di volume. Il percorso

tensionale è una specie di cappio e il punto F non appartiene alla CSL ma vi appartiene il punto

U.

2.5.3 Condizioni di stato critico

Quindi abbiamo visto che tutti i punti nali di qualsiasi provino in qualsiasi condizione appar-

tengono alla curva CSL. Raggiunte queste condizioni il materiale può continuare a deformarsi

ma solo distorcendosi quindi cambia la forma ma non il volume. Questa curva nel piano q-p' è

una retta quindi il rapporto tra q e p' è costante ed è una caratteristica di queste curve. Questa

curva è una caratteristica intrinseca del materiale e non dipende dalle variabili di stato cioè i

carichi.

2.5.4 Dominio di resistenza

Si è visto che tutti questi percorsi niscono su una retta che denisce un dominio. Questo dominio

ha una parte curvilinea che è la supercie di Rosco per i materiali normalconsolidati. Tutti gli

altri percorsi si muovono all'interno del dominio e niscono sulla retta CSL ovvero la supercie

di Hovrlow. La retta a destra riguarda il fatto che questi materiali non resistono a trazione. 63

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

64 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

2.5.5 Modello di comportamento elasto-plastico incrudente

La supercie nello spazio è composta dai vari domini di resistenza al variare del volume. 65

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

Cioè sono tutte curve ometiche ovvero uguali a meno di un fatto di scala che in questo caso

è il volume specico. Diminuendo questo fattore aumenta il dominio di resistenza per cui si

va verso ad un comportamento incrudente. In realtà questo curve possono essere normalizzate.

Immaginiamo di aver fatto tante prove a volume costante e diverso tra una prova e l'altra.

0

p

Possiamo dividere per ovvero la pressione equivalente per ogni piano e la dipendenza dal

e

volume specico sta proprio dentro alla pressione equivalente perché diversa per ogni volume

specico. −

σ σ

E associando a q la seguente dierenza cioè una misura della resistenza a taglio (sforzo

1 3

deviatorico) che tende a creare una delimitazione per gli stati interni del terreno. Questo q

dipende da due variabili di stato ovvero il volume specico ( e quindi l'indice dei vuoti) e p

cioè lo stato tensionale o meglio la sua parte isotropa. Analizziamo ora tutti i vari tratti della

supercie limite

Tratto B-C

• : Sono stati limiti per argille normal consolidate o leggermente sovra consoli-

date cioè sta a destra della linea di stato critico.

2.5.6 Deformazioni elastiche e plastiche

Vogliamo riassumere quanto detto in unico modello. Si denisce quindi come supercie limite

la supercie vista prima nello spazio oppure nel piano normalizzandola rispetto alla pressione

equivalente. è una supercie chiusa. Chiamo parete elastica la curva tratteggiata che ha come

direttrice una curva di rigonamento e generatrici le curve verticali e arriva sulla supercie limite.

Signica che se un punto si muove sulla parete elastica subisce solo deformazioni elastiche mentre

se si muove su quella plastica subisce anche deformazioni plastiche. Quindi un punto può avere

66 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

deformazioni plastiche solo se raggiunge la supercie critica e quindi non posso muovermi da una

parete elastica all'altra se non raggiungo prima le deformazioni plastiche. 67

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

2.5.7 Legge di usso plastico

Una volta raggiunta la parete elastica devo aggiungere una legge che mi dica su come avvengano

le deformazioni plastiche.

Quindi su ogni punto ho un vettore di deformazione plastica e la legge di usso plastico mi dice

in che direzione è diretto questo vettore. La legge di usso a cui rispondono molti materiali si

chiama legge di usso associata cioè il vettore d'incremento di deformazione plastica è ortogonale

alla supercie limite.Ci possono essere materiali che rispondono a leggi di usso diverse quindi

con vettori con altre direzioni. Questo vettore lo posso rappresentare in questo chiamo perché le

deformazioni le posso scomporre in volumetriche e deviatoriche. Le deformazioni di volume sono

associate a p' ovvero p' compie lavoro sulle deformazioni di volume. Quindi questo vettore ha la

componenti orizzontale che denisce la deformazione plastica di volume mentre con la componen-

te verticale denisce la deformazione plastica deviatorica. Se guardo dei punti particolari vedo

che questa cosa è giusta. Ad esempio nel punto C il vettore è orizzontale mentre è verticale nel

punto B perché il volume è costante e avvengono solo deformazioni deviatoriche. Inotre proiet-

tando il punto B sull'asse delle ascisse dividiamo il graco in due parti chiamate rispettivamente

a destra e a sinistra dello stato critico. A destra abbiamo materiali normal-consolidati lungo la

curva BC, leggermente sovraconsolidati nell'area racchiusa tra BC e la proiezione di B. A sinistra

dello stato critico abbiamo materiali sovraconsolidati. Questi stati a sinistra tipicamente hanno

una risposta di tipo picco residuo cioè raggiungono la resistenza massima e poi tendono a dete-

riorare questo perché sono caratterizzati dal comportamento dilatante cioè aumenta il volume e

quindi diminuisce la resistenza.

2.5.8 Percorsi tensionali q,p',v

Possiamo prevedere il percorso per una generica prova non drenata? Allora parto dal punto D

su una linea di rigonamento, essendo non drenata il volume deve rimanere costante quindi mi

muovo dal punto D che appartiene ad una parete elastica e al piano di volume costante. Quindi

68 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

faccio l'intersezione tra il piano non drenato e la supercie elastica trovando una retta verticale

D-G. Raggiunto G iniziano ad avvenire le deformazioni plastiche e seguo il tratto G-F interse-

candomi sempre con il piano non drenato. Rimangono da denire le deformazioni deviatoriche

che nel tratto D-G sono solo elastiche quindi calcolabili tramite la legge di Hooke mentre in G-F

sono sia plastiche e elastiche e le trovo applicando la legge di usso. 69

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

2.5.9 Resistenza a taglio drenata

Terreni a grana ne

Terreni a grana grossa-resistenza di picco a volume costante

Quanto detto in precedenza vale con qualche accorgimento anche per i terreni a grana grossa.

Continua a valere il fatto che rla resistenza limite dipende dallo stato di addensamento e da p'.

Di diverso ci stanno alcune cose. Per praticità non lavoriamo nei piani che abbiamo utilizzato

prima perché per questo tipo di amteriali il comportamento a sinistra dello stato critica non è

più caratterizzato da rette che hanno come intercette c' ovvero la coesione.

Sono invece caratterizzati da una resistenza puramente attrattiva però con un angolo di

resistenza a taglio che non è proprio unico ma lo è solo nello stato critico. Quindi si può denire lo

φ

stato ultimo anche per questi materiali ma il parametro chiave è che dipende dalla mineralogia

cv

del materiale ma poi c'è una dipendenza dallo stato d'addensamento ma invece di pensare a

questa dipendenza come legata al volume specico la si pensa legata alla dilatanza che la trovo

come un eetto di incremento dell'inclinazione delle rette. Sperimentalmente si può utilizzare

per descrivere la resistenza di terreni a grossa come

0 0

φ = φ + mDI (2.18)

cv φ

ovvero la somma di un parametro che dipende dalla mineralogia e un secondo termine che

cv

dipende dallo stato di addensamento. 0

− −

DI = DR[Q ln(p f )] 1 (2.19)

0

p f

Infatti DR è la densità relativa e inoltre dalle condizioni dello stato critico e Q che dipende

sempre dalla mineralogia valo 10 per sabbie poco frantumabili e diminuisce a 7 per sabbie molto

0

p f

frantumabili. è la pressione a rottura che a priori non riesco a determinare bene, immaginiamo

ad esempio un sito non è facile prevedere il percorso tensionale di un elementino di terra ma

anche qua si può stimare il valore mediante formule empiriche oppure eettuare aggiustamenti

del valore per via iterativa. Nel graco precedente abbiamo sull'asse delle ordinate la dierenza

0

φ φ mDI

tra l'angolo di picco e quindi stiamo rappresentando il termine . Vediamo che dipende

cv

da p' in maniera decrescente quindi per p' sucientemente elevati questo benecio si annulla.

Quindi le morali sono che:

70 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

φ

1. Gli stati a sinistra dello stato critico hanno una resistenza massima cioè un di picco mag-

giore di quello a volume costante purché lo stato tensionale non sia tale che mi impedisca

la dilatanza. I grani tendono a rompersi invece di scorrere quindi non c'è dilatanza ma si

riducono i vuoti. 0

p

2. La dipendenza decrecente rispetto a poiché producono un inviluppo di rottura curvilineo

che tende a quello di stato critico.

In questo graco si potrebbe immaginare di prendere una retta secante passante per un

intervallo tensionale e l'intercetta con l'asse delle ordinate è una sorta di coesione appa-

rente che riette la situazione della dilatanza. In certe formazioni può esserci una certa

cementazione che fa da coesione vera. 71

2.5. MODELLO ELASTO-PALSTICO INCRUDENTE

2.5.10 Resistenza a taglio non drenata

Ha senso parlare di resistenza non drenata solo per terreni a grana ne perché solo questi materiali

possono rispondere all'applicazione di un carico con una variazione di pressione dei pori.

Argilla Normal Consolidata

Prendiamo il graco spaziale dei percorsi tensionali.

Ci troviamo su una situazione iniziale cioè su un punto della curva NCL. Abbiamo detto che

tutti i percorsi tensionali non drenati deve appartenere al piano non drenato (volume costante)

quindi il percorso è unico e lo trovo intersecando il piano a volume costante con la supercie

limite. Il punto nale del percorso che si trova sulla curva CSL viene proiettato sul piano p'-q e

2c

a sua volta la proiezione sull'asse q rappresenta cioè due volte la coesione non drenata. La

u 0

q = Mp

proiezione del punto sul piano appartiene alla retta che si vede nel graco con equazione

che è una delle due equazioni che descrivono la curva CSL nello spazio. In pratica si ottiene di

nuovo la relazione c

u = 0.3 (2.20)

0

σ 0

u

c

E quindi questa non è un parametro intrinseco ma un modo epr descrivare il comportamento

di un terreno in certo stato.

Argilla sovra consolidata

Il punto iniziale non si trova più su NCL ma è spostato sotto e può trovarsi a sinistra o a destra

dello stato critico.

72 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Il punto C lo posso pensare di raggiungere avendo prima consolidato lungo NCL e poi di aver

scaricato lungo una linea di ringonamento. Se c è un punto di rappresentazione dello stato dell'e-

lemento di terreno posso dire che questo punto è caratterizzato da un grado di preconsolidazione

dato da 0

p 0

R = (2.21)

0

p oc

Di nuovo eettuando i passaggi simili al caso precedente si ottiene grosso modo di nuovo la

relazione

2.6. DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA ATTRATTIVA DALLA RESISTENZA ALLA PUNTA PER

2.5.11 Percorsi tensionali e condizioni critiche di stabilità

Alla luce di quanto detto proviamo adesso a rispondere ad alcune domande su problemi applicativi

che divideremo in due classi ovvero relativi alle fondazioni e relativi ad opere verticali.

Fondazioni

Sono più gravose le condizioni a breve termine o a lungo termine?

Semplicando il problema prendiamo l'elemento in asse con la fondazioni, succede che abbiamo

un incremento dello sforzo verticale. Quindi nel piano t-s' avrei il percorso delle tensioni totali che

che si muove su A-B inclinata 1:1 su questo piano. Il percorso delle tensioni ecaci è il percorso

che curva a sinistra e quindi diminuisce la resistenza massima pertanto le condizioni più gravose

∆u

sono quelle a breve termine. Cioè si dissipa nel tempo no ad arrivare al percorso A-B.

Muro di sostegno

Con la costruzione del muro diminuisco gli sforzi orizzontali

Il percorso a breve termine è sempre lo stesso di prima ma la variazione di pressione è negativa

per cui la condizioni più gravosa è quella a lungo termine.

2.6 Determinazione della resistenza attrattiva dalla resistenza

alla punta per argille

Mettiamo l'accento sul penetrometro statico. Sono state proposte diverse relazioni tra resistenza

alla punta e densità relativa. Non solo possiamo dedurre dei parametri di resistenza ma posso

anche dedurre parametri di deformabilità moduli elastici e ani.

74 CAPITOLO 2. ARGOMENTO 2

Capitolo 3

Argomento 3

3.1 Moto di ltrazione stazionario

Abbiamo sempre assunto che la distribuzione della pressione dell'acqua all'interno del terreno sia

in condizioni idrostatiche. Nella realtà ci possono essere situazioni in cui si instaurano dei moti

di ltrazione e quindi è necessario calcolare la nuova distribuzione della pressione.

3.1.1 La sica del problema

Impostiamo il problema denendo un volume di controllo cubico e una terna di riferimento.

Consideriamo una prima situazione in cui pensiamo che la portata di uido si muova lungo la

direzione x e quindi usso monodimensionale. Quindi abbiamo una velocità entrante nel cubo e

una velocità uscente data dalla velocità entrante più la variazione dovuta al passaggio all'interno

del cubetto. dv

dv

x x

v + v = (3.1)

x x

dx dx

Quindi si può denire la variazione di portata come

dv x

dQ = dxdydz (3.2)

dx

In realtà questa è una portata apparente poiché all'interno del cubetto non ci sono tutti spazi

vuoti ma l'acqua uisce attraverso i pori. In un certo intervallo di tempo il volume di uido

75

76 CAPITOLO 3. ARGOMENTO 3

che uisce sarà dato dalla seguente equazione valida nell'ipotesi di grani incompressibili e acqua

incompressibile. dv x −∆V

dQ∆T = dxdydz = (3.3)

dx

dxdydz

Dividendo per il volume cioè il prodotto otteniamo

dv 1

∆V dε

x vol

= = (3.4)

dx V ∆T dt

∆V

Essendo la variazione di deformazione di volume.

V

Considerando anche il moto lungo l'asse y e z ottengo

dv

dv dv dε

y

x z vol

+ + = (3.5)

dx dy dz dt

che in maniera più sintetica diventa dε

vol

div(~v ) = (3.6)

dt

Condizioni stazionarie

Dopo aver eettuato un opera ci sarà un tempo più o meno lungo in cui il sistema torna in

una nuova situazione di equilibrio. Quindi pensiamo che dopo un certo tempo raggiungiamo una

situazione stazionaria. Per cui l'equazione si modica in

div(~v ) = 0 (3.7)

Associamo poi a questa equazione quella di Darcy

−k ·

~v = grad(h) (3.8)

k h

Dove è a permeabilità considerata costante e isotropa e il carico idraulico. La permabilità

rappresenta un pò la resistenza del mezzo al usso. Il carico idraulico rappresenta invece l'energia

complessiva del uido e in generale sarà 2

u v

h = z + + (3.9)

γ 2g

w

Dove il primo termine rappresenta l'energia potenziale gravitazionale, il secondo è l'energia di

pressione mentre il terzo è l'energia cinetica trascurabile per le nostre applicazioni poiché le

velocità sono piccole; tanto piccole da rendere questo termine trascurabile rispetto agli altri due

termini.

Sostituendo la 3.8 dentro la 3.7 otteniamo l'equazione di laplace:

2 2 2

∂ h ∂ h ∂ h

k[ + + ] = 0 (3.10)

2 2 2

∂x ∂y ∂z

Il carico idraulico è la variabile primaria. Questa equazione è risolvibile per alcune condizioni

al contorno in via analitica mentre si può usare sempre un metodo numerico Una volta noto il

carico idraulico posso calcolare la pressione in un qualsiasi punto. 77

3.1. MOTO DI FILTRAZIONE STAZIONARIO

Condizioni al contorno

Prendiamo in esame il seguente problema tipico

Uno scavo sostenuto da una paratia, con un bacino d'acqua sopra il piano campagna che in

generale poteva anche non esserci. Nella gura sono segnate le condizioni al contorno. All'interno

del bacino si assume una distribuzione idrostatica della pressione per tanto tutto il carico idraulico

nel bacino si mantiene costante. Poi abbiamo le varie frontiere impermeabili che sono il fondo e

la paratia. Per quanto riguarda la chiusura laterale del dominio bisogna ssare queste superci

di chiusura ad una distanza suciente in modo che le condizioni al contorno inuenzino poco

le soluzioni. Questa chiusura la si può fare sia assumendo una distribuzione idrostatica(carico

idraulico costante) sia una supercie impermeabile. In questo modo diamo delle dimensioni nite

al dominio ad una suciente distanza dalla zona di particolare interesse.

Si ricorda che si analizza il problema in condizioni stazionarie in particolare la gura si

riferisce ad un moto piano e cioè tutte le grandezze variano solo nel piano in analisi. Fissare le

condizioni al contorno si procede con la risoluzione dell'equazione di Laplace che ci permettono

d'individuare due famiglie di curve ovvero le equipotenziali cioè a carico costante e le linee di

usso perpendicolari alle equipotenziali che tramite la tangente rappresentano il vettore velocità

di ltrazione.

3.1.2 Risoluzione dell'equazione di Laplace

Un metodo che si può utilizzare è quello numerico alle dierenze nite. In realtà per terreni

omogenei e con condizioni al contorno semplici esistono anche soluzioni analitiche come mostra

la prossima gura

78 CAPITOLO 3. ARGOMENTO 3

Soluzione analitica

In questo caso si può pensare ad un semi spazio innito e le linee di usso sono proprio

dell'ellissi mentre le equipotenziali sono delle iperboli. Si può ottenere anche il gradiente del

carico idraulico utilizzando Darcy infatti −k~i

~v = (3.11)

i

Dove è il vettore che ha le seguenti componenti

∂h ∂h ∂h

~i = ( ; ; ) (3.12)

∂x ∂y ∂z

La zona dove questo gradiente tende ad essere massimo è la zona di eusso ovvero a ridosso

della ne della paratia.

Soluzione di tipo numerico

Tipicamente risolvere per via numerica signica calcolare h in certi punti detti nodi del reticolo.

Questo reticolo può avere delle maglie con diverse forme, nel nostro esempio le assumeremo di

forma quadrata.

Una volta determinato h in tutti i nodi poi con semplici tecniche di tracciamento di linee di

ugual valore possiamo rappresentare le linee di usso e le linee equipotenziali. Un modo semplice

per risolvere l'equazione di Laplace è utilizzare le dierenze nite per le derivate seconde. Quindi

per esempio se vogliamo calcolare h per il nodo 0 allora avremo:

2 −

∂ h h + h 2h

1 3 0

[ ] = (3.13)

0

2 2

∂x (∆x) 79

3.1. MOTO DI FILTRAZIONE STAZIONARIO

e analogamente in direzione z 2 −

h + h 2h

∂ h 2 4 0

] =

[ (3.14)

0

2 2

∂z (∆z)

per cui sostituendo la 3.13 e la 3.14 all'interno dell'equazione di Laplace otteniamo

− −

h + h 2h h + h 2h

1 3 0 2 4 0

+ =0 (3.15)

2 2

(∆x) (∆z)

E nel caso le maglie fossero quadrate −

h + h + h + h 4h = 0 (3.16)

1 2 3 4 0

Ottenendo l'equazione di Laplace nel nodo 0. Di equazioni di questo tipo ne possiamo scrivere

N ovvero una per ogni nodo ottenendo un sistema lineare di N equazioni in N incognite.

Naturalmente prima di procedere alla risoluzione dell'equazione di laplace dovrò inserire le

condizioni al contorno andando a lavorare sulle N euqazioni e inserendo i valori degli h che

conosco proprio grazie alle condizioni al contorno. Se una supercie è impermeabile basterà

~

i

annullare alcune componenti del vettore utilizzando l'equazione di Darcy.

Infatti anche Darcy può essere scritto in forma numerica. Prendiamo come esempio la seguente

gura

Per prima cosa vediamo come si scrive l'equazione di Darcy per una regione qualsiasi del

dominio

80 CAPITOLO 3. ARGOMENTO 3

In questa regione abbiamo 4 ussi due orizzontali e due verticali quindi applicando l'equazione

di Darcy otteniamo

Imponendo che la loro somma sia 0 ( equazione di continuità) si ottiene di nuovo la 3.15.

Vediamo adesso come sia possibile utilizzare l'equazione di Darcy per esprimere l'impermeabilità

di una barriera e quindi ssiamo l'attenzione sulla griglia composta dai punti 5, 6, 7 ,8.

In questa griglia abbiamo solo tre componenti del usso ovvero due orizzontali e una verticale.

Infatti è nulla la componente che dal nodo 5 andrebbe fuori il dominio se non ci fosse la barriera

impermeabile. Per cui scrivendo di nuovo l'equazione di Darcy come in precedenza ma per questa

porzione del dominio si ottiene la seguente equazione 81

3.1. MOTO DI FILTRAZIONE STAZIONARIO

Che al suo interno include quindi la condizione al contorno di barriera impermeabile. Un

altro punto "speciale" è il punto che si trova sulla paratia ( o punti)

I nodi 12 e 11 sono particolari. I due ussi sono diversi cioè è come se i punti 11 e 12 si fosse

disaccoppiati con l'inserimento della paratia mentre inizialmente erano un solo punto. Il usso è

diverso anche per direzione poiché uno va verso il basso e un altro verso l'alto. Anche nel nodo

avremo solo tre componenti del usso.

Tracciamento delle linee equipotenziali

Per tracciare le equipotenziali si sceglie un passo costante in base anche alla grandezza del

dominio. Dopo di che si tracciano le linee di usso che sappiamo intercettare le equipotenziali

con un angolo di 90 . Un altra regola che fa comodo è quella di cercare di tracciare le linee di

usso partendo dall'ingresso del usso e poi passo passo proseguire no ad arrivare alla ne.

Conviene scegliere un numero tale in modo che alla ne le maglie che si formano siano quadrate.

Quale area? l'area del tubo di usso ovvero:

Quindi il tubo di usso è l'area compresa tra due linee di usso che sono superci impermeabili

perché il vettore velocità è tangente.


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gianfranco.leardini di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geotecnica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Graziani Alessandro.

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