Geotecnica

Capitolo 1

Argomento

Interpretazione elastica della prova edometrica

Questa interpretazione ci permette di indagare il legame elastico che ci sta tra tensione e deformazione, in particolare la ricerca della costante E_ed che è il modulo edometrico. Ci troviamo in condizioni assial simmetriche per cui l'asse x ed y sono uguali e diventano l'asse radiale.

0∆σ r E_ed = (1.1) 0∆ a

Questa è un'analisi che facciamo in termini di sforzi efficaci ovvero in condizioni drenate; se ci trovassimo in condizioni non drenate, non si deformerebbe nulla, quindi significa che attendiamo di tornare alle condizioni non drenate. Il primo passo da fare per indagare la costante è quello di scrivere la legge di Hooke in forma generalizzata.

1 0 0 0 0 −∆ε = [∆σ r + ∆σ a] (1.2)

Poiché le deformazioni radiali sono nulle dato che ci troviamo in condizioni edometriche, ne ricaviamo un legame tra variazione di sforzo radiale e variazione di sforzo assiale.

0ν 0 0∆σ r = ∆σ a (1.3)

Facciamo alcune riflessioni riguardo l’equazione ottenuta. Prendendo una colonnina di terreno ad una profondità z dal piano di campagna, posso pensare che se tutta l’ipotesi elastica fosse vera potremmo utilizzare le formule precedenti per calcolare lo sforzo orizzontale. Quindi sull'elementino di terreno possiamo dire che:

∆σx = ∆σy = ∆σr = k_o∆σz (1.4)

Dove

0νk_o = (1.5) 0−1 ν

Il coefficiente di Poisson ha dei valori tipici intorno allo 0,2. In realtà, il comportamento elastico non corrisponde tanto bene alla realtà. Tuttavia, la relazione di k_o è una prima considerazione per valutare gli sforzi orizzontali.

Adesso andiamo ad esprimere sempre tramite l'equazione di Hooke generalizzata la variazione di deformazione assiale

1 0 0 0 −∆ε = [∆σ a 2ν (∆σ r)] (1.6)

Per trovare un legame diretto tra le due variazioni di tensioni andiamo a sostituire la 2.3 all'interno della 2.6 ottenendo la seguente relazione:

0 0−(1 + ν )(1 2ν ) 0∆ε = ∆σ a (1.7)a 0 0−(1 ν )E

Dove appare una costante ovvero il modulo edometrico

0−1 ν 0E = E (1.8)

Il modulo edometrico governa le deformazioni quando sono bloccate quelle radiali, quindi in condizioni monodimensionali e se vale la legge di Hooke.

Da notare che se → ⇒ → ∞ν 0.5 E (1.9)

Ovvero succede che sotto l’azione di un carico verticale non si deforma nulla (similmente alle condizioni non drenate) inoltre la variazione di sforzo orizzontale è uguale alla variazione di sforzo verticale. Volendo è possibile esprimere il modulo edometrico secondo le due costanti indipendenti elastiche

4E = K + G (1.10)

Queste costanti sono ancor più generali e valgono ad esempio anche per un fluido come l’acqua nella quale K volumico assume valori pari a 2 GPa. Questa relazione la si trova esprimendo la tensione media e la legge di Hooke per tutte e tre le direzioni.

Queste due costanti sono esprimibili come

E K = (1.11) 0−3(1 2ν )

Valutazione dello sforzo orizzontale

Se il comportamento fosse elastico il valore di Ko dipenderebbe solo dal coefficiente di Poisson. Tuttavia, questa ipotesi non è veritiera e una sua approssimazione empirica è la seguente

0−Ko = 1 sin ϕ (1.12)

Ovvero si lega il Ko ad una caratteristica di resistenza del terreno espressa dall’angolo di resistenza a taglio del terreno. Sembra una cosa particolare perché così Ko non dipende dalle deformazioni ma da una caratteristica di resistenza che è una cosa diversa. Come possiamo sperimentalmente giustificare questa apparente stranezza? Partiamo dalle osservazioni. Consideriamo la storia tensionale di un terreno un cui campione è posto all’interno di un particolare edometro. Le deformazioni laterali sono impedite e si fa variare il carico verticale. Attraverso un edometro non posso misurare gli sforzi orizzontali a meno che non fosse attrezzato con degli estensimetri oppure attraverso delle prove tri-assiali.

Percorso tensionale di un particolare edometro

Aumentando il carico verticale varia anche quello radiale. Aumento lo sforzo verticale fino ad un certo valore massimo deciso in precedenza. Scaricando si nota che il ramo di scarico ha un andamento più curvilineo e addirittura i punti del grafico si trovano sotto la retta tratteggiata che è la diagonale ovvero il luogo dei punti dove lo sforzo radiale uguaglia quello assiale. Quindi nella fase di scarico posso arrivare alla condizione

0 0σ r>σ a (1.13)

Viceversa nella fase di carico lo sforzo radiale è minore dello sforzo assiale. In termini di rapporto ko

0σ rko = (1.14)0σ a

Avremo che lungo il percorso A-B non varia ed è intorno allo 0.6 mentre nella fase di scarico progressivamente aumenta. Poiché stiamo lavorando su un campione ricostituito, cioè abbiamo riempito il nostro edometro con un campione di terreno, esiste una dipendenza di Ko anche dal valore Ro cioè il grado di sovraconsolidazione espresso come

0σ amaxRo = (1.15)0σ aattuale

Dipendenza di Ko con Ro

Quindi in questo edometro durante la fase di carico lo sforzo applicato in quel momento è anche lo sforzo massimo della sua storia tensionale per cui nel punto A e B il valore di Ro è 1. Quindi Ko dipende dal percorso tensionale e dal grado di sovraconsolidazione.

Modello analogico per spiegare l'andamento dello sforzo orizzontale

Si considera il nostro mezzo solido come un insieme di palline tutte con lo stesso diametro (il mezzo reale non è mono-granulare) da cui possiamo isolare una cella elementare in cui i punti di contatto sono tutti equo-orientati.

Schema analogico In questo modo possiamo indagare il legame tra la forza orizzontale e quella verticale. Le forze di contatto sono regolate da un comportamento puramente attrattivo identificato dal coefficiente µ d’attrito. Quindi vige la nota legge d’attrito

0≤T N µ = N tan ϕ (1.16)

Dove T sono le forze tangenziali e N la normale. Posso considerare le condizioni di equilibrio iniziando dalla sferetta A imponendo la chiusura del poligono delle forze. In tale poligono F_v la controllo io mentre le reazioni tangenziali si formano per l’equilibrio. Sul poligono sono visibili i coni d’attrito ovvero i triangoli formati da Nc e Tc e da Tb e Nb dove la condizione limite è data proprio dal coefficiente e visibile nella figura come angolo di questi triangoli.

Tornando alle sferette distinguiamo la fase di carico da quella di scarico. Nella fase di carico la sferetta A tenderà a scendere e riceve le reazioni tangenziali nel verso opposto. Considerando l’equilibrio di tutte le sferette si nota che F_h/2 è pari al segmento che si vede in figura. Nella fase di scarico la direzione delle forze tangenziali s’inverte e il poligono delle forze diventa intrecciato. F_h diventa molto più elevato di F_v e di come era nella fase di carico. Questo schema molto idealizzato ci dimostra come F_h varia aumentando nella fase di scarico rispetto a quella di carico.

Valutazione del coefficiente di spinta

Percorso tensionale Qui è ripresentato un percorso tensionale molto simile a quello precedente. Possiamo distinguere due tipi di Ko ovvero Ko(NC) in fase di carico (Normal consolidato) e in fase di scarico Ko(OC) (Sovra consolidato). Questo Ko dipende dallo stato di addensamento, dalla disposizione delle particelle e dall’angolo di attrito. In fase di carico la sua formulazione è la seguente

0−Ko(N C) = 1 sin ϕ (1.17)

In condizioni sovraconsolidate invece il Ko deve essere maggiore e per calcolarlo possiamo utilizzare la seguente formula semi empirica sperimentale:

αKo(OC) = Ko(N C)OCR (1.18)

Il coefficiente α è compreso tra 0.3 e 0.4 a seconda della plasticità del terreno. Più alta è la plasticità minore è α. Questo discorso vale anche per le sabbie dove può raggiungere anche valori di 0.5. Nella fase di ricarico il Ko varia ancora e diventa sempre più difficile calcolarlo. Cioè quando stavo in C la storia tensionale era solo un carico e uno scarico mentre in E ci troviamo con un altro ricarico. Quindi queste formulazioni ci possono aiutare fino a storie tensionali relativamente semplici. Possiamo adesso valutare più o meno lo stato tensionale del terreno tenendo conto del peso per le tensioni verticali e valutando in più il Ko per le tensioni orizzontali. Ci sono alcuni tipi di indagine che possono misurare gli sforzi orizzontali in sito ma sono molto imprecisi e di difficile utilizzo.

Per chiarezza riportiamo un grafico dove si vede che al contrario delle tensioni verticali che hanno un andamento continuo le tensioni orizzontali ammettono anche dei salti nel grafico.

Influenza dell'andamento del piano di campagna

Si fa sempre riferimento ad andamenti orizzontali del piano di campagna, tuttavia molte volte si ha a che fare con andamenti non rettilinei come ad esempio nelle condizioni di pendio di una valle. Ci sarà in questi casi un'influenza della topografia sull'andamento degli sforzi nel terreno.

A titolo d’esempio nella figura è visibile un piano campagna schematizzato con una sinusoide. Esiste una soluzione analitica (un po' complicata) per descrivere lo stato tensionale punto per punto. Nella figura sono visibili delle croci che rappresentano le componenti principali delle tensioni. In superficie queste croci sono inclinate rispetto alla verticale perché risentono dell’andamento del piano di campagna. Questo a meno che non ricada su un asse di simmetria dove gli sforzi principali restano orizzontali e verticali. Poi mano a mano che si scende in profondità questo effetto viene assopito e l’orientazione torna vicina alla verticale e orizzontale. Invece di utilizzare soluzioni analitiche si possono usare soluzioni numeriche modellando il terreno ma il concetto non cambia.

Nella seconda figura abbiamo una valle schematizzata a V. Sono disegnati i diagrammi degli sforzi lungo la z. Lo sforzo verticale parte da 0 dove c’è stato lo scavo, quello orizzontale invece ha un picco dove lo sforzo verticale è nullo. Quindi nella zona di fondo valle mi aspetto dei grossi incrementi di sforzo orizzontale a causa della morfologia del piano di campagna.

Metodo edometrico

I passi essenziali per la previsione del cedimento con il metodo edometrico classico sono i seguenti:

• Calcolo delle tensioni litostatiche: è il primo passo da effettuare per quasi tutti i calcoli geotecnici. La valutazione degli sforzi verticali è abbastanza semplice mentre non lo è, come abbiamo visto, per gli sforzi orizzontali. Queste componenti orizzontali restano sempre un po' da parte e non servono molto per i calcoli che effettueremo.
• Determinazione dello sforzo di preconsolidazione: ovvero fare un profilo dell'OCR lungo la verticale fino alla profondità d’interesse.
• Valutazione dei parametri di compressibilità: ovvero la valutazione del Cr, Cc e modulo edometrico.
• Valutazione dell’indice dei vuoti iniziale: tramite il contenuto d’acqua.
• Valutazione dell’evoluzione dello stato tensionale: dovuto all’applicazione di un carico in superficie. Non solo dovuto al carico ma anche per una variazione della falda.

Tutti questi ingredienti vengono condensati all'interno della seguente formula:

0 0H σ p σ vfo∆H = (C log + C log ) (1.19)

Inoltre è bene fare la seguente considerazione. Il cedimento in un terreno è valutabile come integrale delle deformazioni dal livello di campagna fino alla profondità scelta. Quindi è l’effetto risultante

HZSmax = ε dzz

Questa formula non è soggetta a nessuna limitazione sulla scelta del modello, ovvero può fare riferimento sia ad uno schema elastico che non. Posso pensare di esprimere questo integrale come una sommatoria, cioè discretizzo il dominio di calcolo (in questo caso l’asse delle z) in modo tale da facilitare la computazione del problema. Quindi l’integrale precedente si modifica in

∆H = ε Hi ik=1

Scelta della profondità di calcolo

L’altra questione verteva sulla scelta della profondità di calcolo. Cioè a quale profondità mi fermo per calcolare i cedimenti? Una regola che si segue è la seguente:

0 0∆σ z(q) < 0.1σ z (1.20)

Ci fermeremo ad una profondità tale che la variazione di sforzo indotto dal carico sia minore del 10% della tensione litostatica. Dietro ciò ci sta il fatto che l’effetto del carico tende via via a smorzarsi con la profondità. Inoltre ci sta dentro anche il fatto che la rigidezza di un tipico deposito tende ad incrementarsi con la profondità. Altre volte ci fermeremo una volta raggiunto uno strato di terreno molto più rigido di quello in superficie come ad esempio un substrato roccioso anche se la profondità di questo substrato sia inferiore all’altezza trovata con la relazione precedente.

Applicazione del modello del mezzo elastico per il calcolo dei cedimenti

Andiamo adesso ad analizzare diverse soluzioni elastiche per la variazione di sforzo dovute ad un carico.

Soluzione per una striscia di carico uniforme

Se in tanti casi il nostro sistema di carichi può essere schematizzato con una variazione uniforme. Per ora ci preoccupiamo solo dell’impronta di carico senza dire nulla su cosa trasferisce il carico al terreno (plinto, trave ecc.) Quindi pensiamo quest’impronta infinitamente estesa fuori dal piano ed esiste una soluzione per il semi spazio elastico alla Boussinesq cioè caratterizzato da costanti uniformi. Nella figura sono visibili anche le componenti. Questo è il classico problema a deformazioni piana, cioè ogni piano uscente dal foglio ha delle deformazioni nulle lungo l’asse x. Tramite certi angoli è possibile definire il punto dove vogliamo calcolare la tensione. Notiamo che questa distribuzione di sforzi non dipende dalle costanti ν e dal modulo elastico, cioè al loro interno non compaiono le costanti elastiche. Questa è una proprietà particolare di questo problema piano. Questa soluzione può essere rappresentata in forma grafica. Una soluzione grafica è la seguente: Innanzitutto notiamo che questa soluzione ha un asse di simmetria. Questo grafico rappresenta le curve di livello dello sforzo principale massimo e dello sforzo principale minimo. Ovviamente da queste componenti del piano possiamo ricavare gli sforzi principali. Queste curve sono scalate rispetto all’intensità del carico e lungo le curve di livello abbiamo lo stesso valore di tensione e la profondità scalata rispetto alla dimensioni del carico. Quindi per calcolare il cedimento basta andare a vedere alla profondità d’interesse il valore della variazione di sforzo. Lungo l’asse sappiamo anche la direzione delle tensioni che sono verticali e orizzontali, cosa non vera in altri punti del dominio dove l’informazione sulla direzione non ci viene fornita da questa soluzione grafica.

Soluzione per un'impronta circolare

Abbiamo riproposto una soluzione grafica. Questa volta la dimensione caratteristica è R cioè il raggio dell’impronta di carico. Qui la simmetria è diversa, non abbiamo più un problema a deformazioni piane bensì un problema assial simmetrico, cioè l’asse di simmetria è circolare. Quindi gli sforzi principali agiranno lungo l’asse verticale mentre gli sforzi orizzontali saranno uguali tra loro lungo la stessa direzione poiché ogni direzione radiale è una direzione principale. Se mi muovo dall’asse e mi sposto cambia la direzione delle tensioni ma la tensione non dipende dalla direzione che prendo in considerazione. Cioè a parità di distanza R la soluzione non cambia ovvero non dipende dall’angolo di direzione. Anche per questo problema esistono delle soluzioni analitiche ma sono molto complesse. Diventano semplici se mi limito ad esprimerle solo per l’asse centrale.

∆σ a In particolare ha l’espressione visibile in figura dove il termine è il raggio dell’impronta. z ∆σ ν Si nota che anche per non c’è dipendenza dal modulo di Poisson e dal modulo di Young, cosa che invece sussiste per lo sforzo radiale solo per il modulo di Poisson.

Soluzione per impronta di carico rettangolare

Anche questa soluzione è molto conosciuta e mostra la soluzione per un impronta non più infinita ma bensì finita. Queste tabelle vanno lette accuratamente.