Geometrie localmente euclidee - approfondimento

GEOMETRIE LOCALMENTE EUCLIDEE

CILINDROR²/traslazione

Posso ottenere un cilindro da un foglio di carta?Sì, basterà prendere un foglio rettangolare ed incollerne i lati opposti.

Al contrario, possiamo quindi dire che lo sviluppo piano di un cilindro sia un rettangolo.

Il cilindro è generato dunque da una traslazione, e sulla sua superficie vale la relazione:

P(x, y) ∼ P'(x', y')

• x' = x + ha   h ∈ Z
• y' = y

a = passo del cilindro

GEOMETRIE LOCALMENTE EUCLIDEE

CILINDRO

R²/traslazione

Posso ottenere un cilindro da un foglio di carta?

Sì, basterà prendere un foglio rettangolare ed incollarne i lati opposti.

Al contrario, possiamo quindi dire che lo sviluppo piano di un cilindro sia un rettangolo.

Il cilindro è generato dunque da una traslazione, e sulla sua superficie vale la relazione:

P(x, y) ∼ P'(x', y')

se {x' = x + ha, h ∈ ℤy' = y

a = passo del cilindro

Questa relazione vuol dire che un punto P sulla superficie cilindrica è equivalente a P', se le coordinate di P' sono ottenibili da quelle di P con una traslazione in a.

Posso fare un modello per capire meglio:

1. Su un foglio rettangolare trasparente disegno un rettangolo di passo a=16 cm, alto 20 cm
2. Disegno un punto P (10,5)
3. Ripeto il passo e disegno il punto equivalente P' _x'=10+16=26 _y'=4=5
4. Arrotolo il foglio, facendo sì che il bordo del foglio vada a coincidere con il primo passo e poi con il secondo (ovvero faccio due giri)

Cosa noto?

Una volta costruito il cilindro, i punti che vedevo ben distinti sullo sviluppo piano, ora si sovrappongono. Sono, cioè, indistinguibili.

Curve sul cilindro

1. Prendo il cilindro appena costruito e torno al suo sviluppo piano.
2. Traccio sul piano due rette con colori diversi, una retta orizzontale (rossa) ovvero parallela all'asse di traslazione, e una perpendicolare a questa (blu).
3. Arrotolo nuovamente il foglio, in modo da ricomporre il cilindro.

La retta orizzontale si chiude in se stessa, quella verticale no (in caso di cilindro infinito), ovvero un cilindro

la cui altezza sia infinita, la retta verticale

può essere prolungata infinitamente)

cosa accade, invece, se proviamo a disegnare

delle rette oblique ?

a) Prendo un foglio rettangolare

• trasparente e vi incollo un nastro
• lungo la diagonale.

b) Su un foglio trasparente analogo,

• incollo un secondo nastro, con
• un'inclinazione minore del precedente

c) Arrotolo i due fogli

Notiamo che le curve localmente

sono rette e possono quindi essere

descritte da relazioni lineari. Sul

cilindro queste rette diventano invece

delle eliche, il cui andamento varia

in funzione della pendenza delle rette

sullo sviluppo piano (maggiore è la

pendenza, maggiore sarà il numero

di giri che farà l'elica).

Per il cilindro parliamo dunque di

geometria localmente euclidea.

Un altro esempio intuitivo può essere

fatto posizionando due punti, alla stessa

altezza, all'estremità del passo. Nello

sviluppo piano la loro distanza è ... ad a

una volta costruito il cilindro invece,

la loro distanza sarà nulla.

La distanza è quindi euclidea solo localmente.

Cosa succede per gli altri passi, nello specifico per i postulati di Euclide?

1. Per due punti passa una sola retta.
   • a) Su un foglio trasparente disegno il rettangolo di base a = 15 cm e h = 20 cm.
   • b) Su di esso vado ad identificare i punti P e Q.
   • c) Disegno un altro passo ed i punti equivalenti P' e Q' secondo la relazione di equivalenza prima descritta.
   • d) Decido di tracciare la retta passante per P e Q (verde).
   • e) Essendo P(x,y) ~ P'(x',y') e Q(x,y) ~ Q'(x',y'), la distanza PQ non è univoca, posso quindi decidere di tracciare la retta P'Q' (blu). La retta passa comunque per P e Q.
   • f) A dimostrazione di ciò arrotolo il foglio. Al punto p corrisponde P1 e a Q corrisponde Q1.

   Ecco quindi che nel cilindro non vale il I postulato, dato che per due punti passano più rette. Un punto ha infatti più rappresentanti, tanti quanti sono i numeri di giri che compie il cilindro.

2. Si può prolungare un segmento per due punti indefinitivamente.

   Per il cilindro, questo è vero solo in parte.

   Riprendiamo in mano il cilindro su cui avevamo disegnato le rette ortogonali. Una delle due rette erano diventate una circonferenza e dunque possiamo dire che il cilindro è illimitato in direzione x. In questo caso, il secondo postulato non vale.

Vale invece nel secondo caso (retta verticale)

ii) Dato un cilindro e una distanza, è sempre possibile tracciare una circonferenza.

Ci sono due casi:

• a) r <= a/2 Il ii postulato vale
• b) r > a/2 Il ii postulato vale

Il iv e v postulato sono invece validi per la geometria cilindrica.

Toro

R^2/2 traslazioni

Il toro è una geometria complessa generata da due traslazioni.

Volendo realizzare un toro a sezione circolare con della carta, dovremmo incollare i lati lunghi di un rettangolo fino ad ottenere un cilindro, per poi congiungere i bordi opposti.

Essendo generato da due traslazioni, sul toro vale la seguente relazione di equivalenza:

P(x, y) ~ P'(x', y') se {

• x' = x + ka   k ∈   Z
• y' = y + hb   h ∈   Z

a = passo lungo x b = passo lungo y

Provando a realizzare un toro con della carta (o cartoncino), l'operazione potrà risultare complicata; in quanto nella seconda trazione la carta tenderà a piegarsi.

Un possibile metodo potrebbe essere questo:

1. Ritagliare su un cartoncino un (leggero) una striscia stretta e lunga (ad esempio, 8 x 26 cm)
2. Incidere con un taglierino o con delle forbici la striscia, creando dei tagli ortogonali alla lunghezza di questa a distanza di circa 1,5 cm (se si è scelto n = 8, il taglio dovrà essere di circa 6 cm)
3. Arrotolare ciascuna delle porzioni ottenute, in modo che il bordo di ciascuna striscia piegata si ricongiunga al bordo integro della striscia. Si avrà quindi un cilindro caratterizzato da un insieme di tagli.
4. Arrotolare il cilindro ottenuto, facendo coincidere i bordi circolari

Curve sul Toro

Cosa succede se traccio delle rette sullo sviluppo piano?

Sia con una retta parallela all'asse x che con una perpendicolare ad esso, ottengo delle circonferenze, dunque curve chiuse.

Ancora una volta, il II postolato di Euclide non valgono vale, così come il I e il III, considerando che il toro è generato dal cilindro.

Geodetiche

Si chiama geodetica, o retta, la curva che "realizza" le distanze, dove la distanza tra due punti P e Q è definito come il percorso più breve tra P e Q.

_{Def. d (P,Q)}^def = min{d (P,Q)} dove P in P, Q in Q

Per dimostrarlo, possiamo prendere una superficie cilindrica o un toro e fissare due punti. Possiamo prendere ad esempio un anello in polistirolo che approssima il toro e piantiamo due spilli in prossimità dei punti.

Prendiamo un elastico e mettiamolo in tensione tra i due spilli.

L'elastico si disporrà sul percorso più breve tra i due punti.