Geometrie e modelli

INSIEME (I)

carattere primitivo

• UNIONEA∪B := { x | x ∈ A oppure x ∈ B }
• INTERSEZIONEA∩B := { x ∈ A e x ∈ B }

RELAZIONE DI EQUIVALENZA

Diciamo che la relazione ρ su I × I è di EQUIVALENZA se è contemporaneamente riflessiva, simmetrica, transitiva.

• RIFLESSIVA dato ogni elemento a appartiene all'insieme I, ha la statura di se stesso
• SIMMETRICA se a e b appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa struttura di b, anche b ha la stessa struttura di a
• TRANSITIVA dato che se a, b, c appartengono all'insieme I, è chiaro che se a ha la stessa struttura di b e b ha la stessa struttura di c, allora la stessa struttura di c

a, b ∈ Iea ρ b ("a è associato a b mediante ρ")a ∼ b ("a equivalente b")con a, b EQUIVALENTI

• RIFLESSIVA∀ a ∈ I, a ρ a (a ∈ ρ s -> relazione con se stesso)
• SIMMETRICA∀ a, b ∈ I, a ρ b => b ρ a
• TRANSITIVA∀ a, b, c ∈ I, a ρ b e b ρ c => a ρ c

La relazione di equivalenza è importantissima perché se riusciamo ad individuarla su un insieme, l'insieme stesso viene suddiviso in sottoinsiemi (o classi) tali che formano una PARTIZIONE dell'insieme di partenza, cioè gli elementi di un nuovo insieme, l'INSIEME QUOZIENTE.

Per individuare un elemento dell'insieme quoziente basta considerare un singolo componente.

RELAZIONE DI ORDINAMENTO

Se su un insieme è possibile individuare una relazione di ordinamento, allora è possibile ordinare l'insieme stesso e l'insieme viene detto ordinato. Due suoi elementi sono confrontabili, nel senso che è più "alto" chi sta prima.

TEOREMA

Dato un insieme A e data una relazione di equivalenza ρ su A, allora ρ induce una partizione in classi disgiunte.

Partizione

La partizione dell'insieme E si ha quando il ricoprimento finito è formato da insiemi senza elementi comuni.

Quindi diciamo che un insieme finito di sottoinsiemi non vuoti dell'insieme E è una partizione dell'insieme se ogni elemento di E appartiene ad uno ed uno solo dei sottoinsiemi.

Def. Si opera una partizione dell'insieme E nelle classi (o sottoinsiemi) C1, C2, C3, ..., Cn, se tali classi godono delle seguenti proprietà:

• nessuna classe è vuota Ci ≠ ∅
• tutte le classi sono disgiunte tra loro Ci ∩ Cj = ∅
• l'unione di tali classi restituisce l'insieme E ⋃_i=1ⁿ Ci = E

Spazio Quoziente

Def. Dato un insieme A e data una relazione di equivalenza P, si definisce SPAZIO QUOZIENTE A/P l'insieme delle classi di equivalenza di P.

A/P := { un rappresentante da ciascuna classe }

In R² (piano con struttura cartesiana) Dato V, p ~ a ⇒ a = p + n ⋅ V per un qualunque valore n ∈ Z

• Esempi di superfici costruite come quozienti S superficie R ⊂ R², R regione piana in cui è data una relaz. di eq. → S suriezione quoziente che induce un omeomorfismo R/n ↔ S

d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)

GRUPPI DI FRIEGO

Il termine "fregio" indica una striscia di piano che è ricoperta dalle copie ripetute di un motivo base. Le copie sono ottenute mediante delle isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione nella direzione della striscia.

Si tratta di una figura illimitata

Vi sono 7 possibili gruppi di simmetria:

1. (traslazione)
2. (ggirossifless)
3. (riflessione vert)
4. (riflessione orizz.)
5. (rotazione di π)
6. (rotazione π + riflessione vert)
7. (rotazione π + riflessione orizz)

Il motivo grafico che viene ripetuto di volta in volta occupa una regione limitata. La minima regione che occorre a generare tutto l’arabesco sotto l’azione di movimenti del piano matematicamente strutturati in gruppi, viene detta DOMINIO FONDAMENTALE. Ogni gruppo è caratterizzato dal suo dominio fondamentale.

GEOMETRIE LOCALMENTE EUCLIDEE

cilindro vista come SP.QUOZIENTE di:

• TRASLAZIONE
• ROTAZIONE
• SPECCHIO
• GLISORIFLESSIONE

cilindro = R²/ℕ trasl

cono = R²/ℕ, rotazione π/2

semipiano = R²/ℕ specchio

nastro di möbius = R²/ℕ ggirossifless

GEOMETRIA PIANA

• per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela ad essa
• le rette parallele sono equidistanti
• un punto P su una retta divide questa in due parti
• somma angoli interni triangolo 180°
• due triangoli con angoli omologhi sono congruenti
• le rette hanno lunghezza infinita

GEOMETRIA IPERBOLICA

• non passa piu' di una retta
• non sono equidistanti
• divide in due parti
• minore di 180°
• sono congruenti
• lunghezza infinita

GEOMETRIA ELLITTICA

• non passa nessuna retta
• si incontrano in punti opposti
• divide in due parti
• maggiore di 180°
• sono congruenti
• lunghezza finita