Matematica generale

B C

B 0 0 0 1

@ A

Non e possibile de nire una matrice identita per le matrici non qua-

drate.

5. : si chiama , ed

Elemento inverso per la somma matrice opposta

esiste per tutte le matrici. Data una matrice , la matrice opposta si

A

denota , e rispetta la proprieta

A + ( ) = ( ) + =

A A A A 0

La si ottiene semplicemente prendendo la matrice con gli elementi

opposti in segno a quelli di una matrice data.

6. : si chiama

Elemento inverso per la moltiplicazione matrice in-

ed e denotata con .

1

versa A

:

Attenzione non è possibile eseguire la divisione tra matrici,

quindi scritture come le seguenti non hanno alcun senso:

1 oppure B

A A

La matrice inversa, se esiste, esiste solo per le matrici quadrate.

Questo vuol dire che una matrice non quadrata non ammette inversa,

ma allo stesso tempo non tutte le matrici quadrate sono invertibili.

Di questo e di come trovare la matrice inversa ne parleremo meglio

piu avanti.

Quando e se la matrice inversa esiste, deve rispettare le

entrambe

condizioni: = =

1 1

A A A A

7. : date tre matrici , , di stessa

Associatività sulla somma A B C

dimensione si ha sempre:

( + ) + = + ( + )

A B C A B C

8. : date tre matrici , , quadrate di

Associatività sul prodotto A B C

stessa dimensione, oppure tre matrici per cui sia lecita la moltiplica-

zione tra di esse, si ha sempre:

( ) = ( )

A B C A B C

9. : dato uno scalare (un numero) 2

Prodotto matrice per scalare

, la moltiplicazione tra esso e una matrice e sempre lecita, qua-

A

lunque sia la dimensione della matrice. Il risultato da una matrice i

cui elementi sono moltiplicati per .

tutti 0 1 0 1

a b a b

=

c d c d

@ A @ A

: non e invece possibile eseguire la somma tra uno scalare

Attenzione

e una matrice. Se e e una matrice, la seguente scrittura non

2

A

ha alcun senso: +

A

(chiaramente quando si parla di matrice non si tiene in conto la ma-

trice di dimensione 1, ossia , la quale sarebbe uno scalare come

A

1 1

;

visto in precedenza; in questo caso l'operazione e una normale somma

tra numeri).

Esercizi. 5

Esercizio

Calcolare quanti più prodotti possibili tra due (o più) matrici tra

le seguenti. 1

0 1

4

3

2 0 1 3 B C

0 1 0 1

= = = B C

B C

0 2 5 2

A B C B C

@ A @ A 2

B C

1

B C

@ A

3

1

0 1

1 2

2

B C

B C

1 0 1 2 3 2 B C

B C

0 1 0 1 3

B C

0 1 1 3 2 1

= =

= B C

1 1

B

B C B C C

2

E F

D B

B C B C C

1 1 1 1 5 1 B C

@ A @ A B C

B C

B C

14

2

B C

2

B C

@ A

3

1

0 1

1 0

2

B C

2 1 2

5 11 9 B C

B C

1

0

1

0 B C

1 2 1

0 1 1 1 8 1

=

= = B C

B

C

B

C

B C

H

G I B

C

B

C

B C

3 3 0

17 10 0 B C

A

@

A

@ B C

B C

1

B C

0 2

B C

@ A

4

5 3 2 2 2 2

0 1 0 1

0 1

0 1 15 9 6 5 1 3

= = =

B C B C

0 0

L M N

B C B C

@ A 10 6 4 1 5 3

@ A @ A

6

Esercizio

Date le seguenti matrici, dire quali prodotti sia possibile eseguire,

dunque eseguirli. 3 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1

1 0

0 1 0 1 2 0 0 1 3

= = =

B C B C

1 2

R S T

B C B C

@ A 2 1 0 3 2 3 4

@ A @ A

Alcune Soluzioni.

5

Esercizio

Ecco alcuni prodotti scelti a caso, gia svolti. Basta ricordarsi di "pro-

dotto scalare riga per colonna", e il gioco e fatto (stando attenti ai segni...).

2 6 2 6

0 1 0 1

= =

10 4 10 4

AB BA

@ A @ A

4 1 3

3 2 3 0 1

0 1 4 1 4

2 7 0

= = B C

B C

DE ED B C

B C 2 6 5

4 10 2 @ A

@ A

3 5

7 3 3

0 0

1 1

0

4 2 2 4 2

B B

C C

B B

C C

B B

C C

B B

C C

7 23 3 19 29 25

B B

C C

= =

B B

C C

B B

C C

4 2 4 2 3 4

FI IF

B B

C C

B B

C C

B B

C C

B B

C C

B B

C C

23 29 11 31

1 7

B B

C C

B B

C C

@ @

A A

3 6 48 2 6 16

280 168 112

59 72 42 1

0

1

0 25 15 10

177 216 126 =

= C

B

C

B GM

MG C

B

C

B 235 141 94

118 144 84 A

@

A

@ 0 8 6 11 15 13 1

0 1 0

2 6 11 7 5 1

= =

C B C

B

NH HN

B C B C

21 9 15

2 18 7

@ A @ A

6

Esercizio

L'unico prodotto possibile e . Infatti si ha

SR =

S R U

3 2 2 2 3 2

In particolare 4 2

0 1

1 2

= = B C

SR U B C

4 4

@ A

Funzioni sulle matrici.

Prima di a rontare i successivi argomenti (risoluzione di sistemi lineari e

matrici inverse), e necessario spendere alcune parole su "altre operazioni"

che possono essere eseguite sulle matrici. Non e corretto in realta parlare

di operazioni, piuttosto dovremmo usare il termine , ossia mappe

funzioni

che operano in un certo modo con le matrici.

Le due principali funzioni che andiamo a trattare sono chiamate e

traccia

.

determinante

Prima di parlarne e utile introdurre una notazione simile a quella che ab-

biamo visto parlando di vettori e spazi vettoriali: lo spazio delle matrici.

A tutti gli e etti, le matrici di dimensione ssata formano uno spazio vet-

toriale: lo spazio vettoriale delle matrici a coecienti nel campo .

m n

Questo ci autorizza a dire che "le matrici sono i vettori del loro spazio".

Dal punto di vista notazionale, lo spazio vettoriale delle matrici

m n

a coecienti sul campo si denota in uno dei seguenti modi:

[ ; ] ( )

m; n

m n

Ad esempio: lo spazio vettoriale delle matrici 3 5 a coecienti in campo

complesso e ( ), mentre lo spazio vettoriale delle matrici reali qua-

ℂ

3 5

drate di dimensione 8 e ( ).

ℝ

8

Con questo, possiamo parlare ora di traccia e determinante.

1. Da punto di vista funzionale, la traccia

Traccia di una matrice.

di una matrice e una funzione che associa una matrice quadrate

(appartenente al suo spazio vettoriale) ad uno scalare. Qui e gia

dunque stato precisato che l'operazione di traccia e possibile solo

sulle matrici quadrate.

La traccia si denota con l'operatore tr, quindi la traccia di una matrice

si denota con tr( ), dunque

M M tr : ( )

2 !

M

n

Se la matrice e reale, allora la traccia deve essere un numero reale:

tr : ( )

2 !

M ℝ ℝ

n

la traccia e la somma degli elementi sulla

Definizione operativa:

diagonale principale.

Ad esempio: 1 9

2 1

0 allora tr( ) = 2 + ( 3) + 3 = 2

= 6 3 0 C

B C

B M

M C

B 1 1 3 A

@

La traccia puo essere anche negativa o nulla (d'altronde deve essere

un numero reale), e rispetta alcune proprieta interessanti e utili:

(a) tr( + ) = tr( ) + tr( )

A B A B

(b) tr( ) = tr( ), con

2

A A

(c) tr( ) = tr , con matrice trasposta (vedremo a breve)

t t

A A A

(d) tr( ) = tr( )

AB BA dimostrarla per esercizio

Dimostrare o confutare la seguente proprieta:

Esercizio. tr( ) = tr( ) tr( )

AB A B

Soluzione.

Consideriamo due matrici 2 2 (la cosa si generalizza nello stesso

modo) generiche: + + 1

0 1 0 1 0

a a b b a b a b a b a b

= = da cui =

1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 4

+ +

A B AB

a a b b a b a b a b a b

@ A @ A @ A

3 4 3 4 3 1 4 3 3 2 4 4

Le tracce delle matrici singole sono

tr( ) = + tr( ) = +

a a b b

A B

1 4 1 4

Da cui si ha subito:

tr( ) tr( ) = ( + ) ( + ) = + + +

a a b b a b a b a b a b

A B 1 4 1 4 1 1 1 4 4 1 4 4

Mentre tr( ) = + + +

a b a b a b a b

AB 1 1 2 3 3 2 4 4

Le tracce non sono uguali a meno di casi particolari, dunque la pro-

prieta scritta non e vera. .

2

: Provare a dimostrare quanto visto nell'esercizio pre-

,

Esercizio

cedente per matrici quadrate di ordine qualsiasi.

2. Come mappa, il determinante di

Determinante di una matrice.

una matrice e una funzione che associa una matrice (ap-

quadrata

partenente al suo spazio vettoriale) ad uno scalare. Anche il determi-

nante allora e una funzione che puo essere eseguita solo sulle matrici

quadrate.

Il determinante si denota mediante l'operatore det, quindi per una

matrice il suo determinante e indicato con det( ). Si ha:

M M

det : ( )

2 !

M

n

Se la matrice e reale, il determinante deve essere un numero reale.

det : ( )

2 !

M ℝ ℝ

n

: non c'e.

Definizione operativa

Si puo dare un'idea di cosa sia per le matrici 2 2, ma non si ge-

neralizza alle 3 3. Allo stesso modo si puo dare un idea di come

calcolarlo per le matrici 3 3 con una regola mnemonica e visuale,

ma non si generalizza a quelle di dimensione piu alta.

L'unico algoritmo che vale per ogni dimensione e lo sviluppo di La-

place, di cui parleremo se avremo tempo nella parte di Analisi, dopo

aver parlato di serie e sommatorie.

Diamo pero le due regole visuali per le matrici 2 2 e 3 3, dicil-

mente avremo bisogno di matrici di ordine superiore.

(a) 2 2: il determinante di una matrice 2 2 si calco-

Matrici

la eseguendo la di erenza tra il prodotto degli elementi sulla

diagonale principale, e il prodotto degli elementi sull'altra

diagonale.

Esempio

2 9

0 1

= det( ) = (2 5) (3 9) = 10 27 = 17

!

3 5

M M

@ A

A volte questo tipo di operazione si chiama .

prodotto incrociato

Come avevamo accennato, non si puo generalizzare alle matrici

3 3.

(b) 3 3: il determinante di una matrice 3 3 puo essere

Matrici

calcolato attraverso un trucco visuale che consiste nello scrivere

la matrice, e riportare a anco di essa le sue prime due colonne.

Dopodiche si esegue la somma tra il prodotto degli elementi delle

tre "diagonali principali" che si formano, da cui si sottrae il pro-

dotto delle tre diagonali non principali. Si provi a interpretare

quanto detto guardando al seguente schema:

+ + +

a a a a a

11 12 13 11 12

a a a a a