Geometria - teoremi e definizioni

Concetti e Teoremi Fondamentali

Spazio Vettoriale

Siano V un insieme non vuoto, e K un campo, V si dice K-spazio vettoriale se in esso sono definite l'operazione somma e di prodotto di un vettore per uno scalare. Queste operazioni hanno determinate proprietà: la somma gode della proprietà commutativa, di quella associativa, ed è dotata di elemento neutro (vettore nullo) e opposto. Mentre il prodotto di un vettore per uno scalare gode di proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori, rispetto alla somma di scalari, della proprietà associativa ed è dotato di elemento neutro (1).

Sottospazio Vettoriale

Sia V un K-spazio vettoriale, diremo che U⊆V è sottospazio vettoriale di V se U è esso stesso K-spazio vettoriale rispetto alla restrizione delle operazioni.

Caratterizzazione di un Sottospazio Vettoriale

Condizione necessaria e sufficiente affinché U⊆V sia sottospazio vettoriale è che ∀λ,µ∈K, ∀v,u∈U, λv+µu∈U

Intersezione di Sottospazi Vettoriali

Siano U,W⊆V. Si ha che U∩W⊆V

Somma di Sottospazi Vettoriali

Siano U,W⊆V. Si ha che U+W={u+w|u∈U, w∈W} è anch'esso sottospazio vettoriale di V

Somma Diretta

La somma tra sottospazi si dice diretta se U∩W={o}. E si indica come U⊕W. Se U+W è somma diretta, allora ∀v∈U⊕W, ∃!u∈U, ∃!w∈W, tali che v=u+w

Sottospazi Generati da un Insieme

Sia V un K-spazio vettoriale e sia S⊆V. Si ha che <S>=NW dove W⊆S e W⊆V. Dunque <S> è il più piccolo sottospazio vettoriale di V contenente S, ovvero è l'intersezione di tutti i sottospazi vettoriali contenenti S.

Teorema 1

Siano V,W⊆V, allora U∩W⊆U+W

Teorema 2

Data S⊆V (insieme) un sistema di vettori, si ha

• S= Σ (λ_iv_i|λ_i∈K, v_i∈S, n∈ℕ)

Vettori Linearmente Dipendenti

Siano v₁, v₂, …, v_n∈V, diremo che questi vettori sono linearmente dipendenti se ∃λ₁,λ₂,…,λ_n∈K scalari non tutti nulli, tali che λ₁v₁+…+λ_nv_n=0

Vettori Linearmente Indipendenti

Siano v₁, v₂, …, v_n∈V, diremo che questi vettori sono linearmente indipendenti se λ₁v₁+…+λ_nv_n=0 se e solo se λ₁= λ₂=…= λ_n=0

Teorema

Se v₁, v₂, …, v_n sono linearmente indipendenti, allora v₁, v₂, …, v_m, vi sono M