Geometria - teoremi e definizioni

Concetti e teoremi fondamentali

Spazio vettoriale

Siano V un insieme non vuoto e K un campo, V si dice K-spazio vettoriale se in esso sono definite l'operazione somma e di prodotto di un vettore per uno scalare. Queste operazioni hanno determinate proprietà: la somma gode della proprietà commutativa, di quella associativa ed è dotata di elemento neutro (vettore nullo) e opposto. Mentre il prodotto di un vettore per uno scalare gode di proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori, rispetto alla somma di scalari, della proprietà associativa ed è dotato di un elemento neutro (1).

Sottospazio vettoriale

Sia V un K-spazio vettoriale diremo che U ≤ V è sottospazio vettoriale di V se U è esso stesso K-spazio vettoriale rispetto alla restrizione delle operazioni.

Caratterizzazione di un sottospazio vettoriale

Condizione necessaria e sufficiente affinché U ≤ V sia sottospazio vettoriale è che λy + μv ∈ U, ∀ y, v ∈ U, ∀ λ, μ ∈ K e λ, μ ∈ K.

Intersezione di sottospazi vettoriali

Siano U, W ≤ V, si ha che U ∩ W ≤ V.

Somma di sottospazi vettoriali

Siano U, W ≤ V, si ha che U + W = {z ∈ V | ∃u ∈ U, ∃w ∈ W, tali che z = u + v} sottospazio vettoriale di V.

Somma diretta

La somma tra sottospazi si dice diretta se U ∩ W = {φ} e si indica come U ⊕ W. Se U + W è somma diretta, allora ∀ x ∈ U ⊕ W, ∃! u ∈ U e ∃! w ∈ W, tali che z = u + v.

Sottospazi generati da un insieme

Sia V un K-spazio vettoriale e sia S ⊆ V, si ha che = N(W dove W ⊆ S ⊆ V dunque è il più piccolo sottospazio vettoriale di V contenente S, ovvero l'intersezione di tutti i sottospazi vettoriali contenenti S.

Teorema 1

Siano U, W ≤ V, allora = U + W.

Teorema 2

Sia V insieme, un sistema di vettori, si ha che, = {∑ λ_iv_i | λ_i ∈ K, v_i ∈ S, n ∈ N}.

Vettori linearmente dipendenti

Siano v₁, v₂, ..., v_n ∈ V, diremo che questi vettori sono linearmente dipendenti se ∃ λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈ K scalari non tutti nulli, tali che λ₁v₁ + ... + λ_nv_n = 0.

Vettori linearmente indipendenti

Siano v₁, v₂, ..., v_n ∈ V, diremo che questi vettori sono linearmente indipendenti se λ₁v₁ + ... + λ_nv_n = 0 e solo λ_i = λ₁ = ... = λ_n = 0.

Teorema

Se v₁, v₂, ..., v_n sono linearmente indipendenti allora v₁, v₂, ..., v_m, m.