Algebra e geometria 1

Politecnico di Milano

I Semestre

Algebra e geometria lineare

2016/2017

1. VETTORI GEOMETRICI
1. Operazioni algebriche sui vettori
1. somma di vettori
2. prodotto di un vettore per uno scalare
3. somma di p + V
2. Sistemi di riferimento e coordinate
3. Prodotto scalare
1. disuguaglianza di Schwartz e Cauchy _(dim.)
2. disuguaglianza triangolare _(dim.)
4. Proiezione ortogonale
5. Prodotto vettore
1. identità di Lagrange _(dim.)
2. prodotto vettore dei versori degli assi coordinanti
3. prodotto vettore tra due vettori nel piano
6. Prodotto misto _(dim.)
7. volume di un parallelepipedo _(dim.)
2. MATRICI
1. Generalità sulle matrici
2. Operazioni con le matrici
1. prodotto riga per colonna
3. Matrici trasposte e simmetriche
4. Matrici invertibili
1. calcolo l'inversa
5. Determinante
1. sviluppo di Laplace
2. teorema di Binet _{(conseguenze del teo.)}
3. proprietà e conseguenze

Politecnico di Milano

3. SISTEMI LINEARI

• 3.1 Sistemi lineari e matrici
• 3.1.1 sistemi lineari come equazioni vettoriali
• 3.1.2 sistemi omogenei e legge di sovrapposizione
• 3.2 Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
• 3.2.1 sistema a gradini
• 3.3 Metodo di Kronecker per il calcolo del rango (teo.)
• 3.4 teorema di Rouchè-Capelli (dim.)

4. SPAZI VETTORIALI

• 4.1 Definizione ed esempi
• 4.2 Sottospazio vettoriale
• 4.3 Combinazioni lineari
• 4.3.1 dipendenza e indipendenza lineare
• 4.3.2 spazio generato e insiemi di generatori
• 4.4 Base
• 4.4.1 definizione e dimensione
• 4.4.2 teorema della base (conseguenze del teo. con dim.)
• 4.4.3 riduzione dello spazio riga a gradini (teo.)
• 4.5 Rango di una matrice
• 4.5.1 teorema del rango (dim.)
• 4.5.2 teorema della nullità più rango (dim.)

5. APPLICAZIONI LINEARI

• 5.1 Generalità
• 5.2 Nucleo ed immagine
• 5.2.1 teorema della dimensione (conseguenze del teo. e dim.)
• 5.3 Applicazioni lineari iniettive e suriettive

Def. Una matrice A è conforme ad una matrice B se il numero di colonne è uguale al numero di righe di B.

Se A 1xm B mxr → si ha che A è conforme a B.

Def. Se A è una matrice nxm, B è una matrice mxk si può definire il loro prodotto come:

A B=C

C_ij=∑_k=1 a_ikb_kj

0 2 1 2 1 1

1 0 1 1 0 1

3 1 3 -3

-6 -4 4 + 6

AxB_3x3 B_3x4

C_3x4

Risoluzione esempio:

1) 0,2,-2 0 0,2 1 x 2-0 1 2

-5-6

PROPRIETA' DEL PRODOTTO RIGA PER COLONNA

1) ASSOCIATIVA A(BC) = (AB)C

2) DISTRIBUTIVA A(B+C) = AB + AC

(A+B)C = AC + BC

3) Se A è una matrice uxm allora Ma A

esso può la vale la proprietà commutativa

Es. A_3x2 B_2x5 AB ha senso

BA non ha senso

Es. A_3x3 B_3x3 ha senso sia AB

AB BA ma in generale

Dobbiamo trovare i valori di t ed s tali che

₁ = ₂; ₁ = ₂

Quando dobbiamo avere:

₁ = ₁;

Il punto di intersezione della mediana è:

₁ = ₁¹

SISTEMI DI ASSI CARTESIANI

• Fisso un sistema di assi cartesiani del piano scegliendo a piacere un punto O e vettori
• Di solito i vettori indicano con e il suo vettore degli assi cartesiani

Esse danno la direzione degli assi cartesiani e la lunghezza di misura a scelta. Di solito

ogni vettore e au modulo è uguale a 1. Sono i versi degli assi cartesiani.

COORDINATE DI UN VETTORE

Se e un vettore allora possono scrivere La coppia (x, y) della coordinata e di dell’asse 2 vettori delle coordinate che riprende a e scritto, mentre che

in questo modo si associa ad ogni vettore libero nel piano un 2 vettori ovvero una nova corrispondenza biunivoca tra i vettori liberi nel piano e i 2 vettori.

Tale affermazione vale anche nello spazio.

Def: _v = x₁i + y₁j + z₁k e _w = x₂i + y₂j + z₂k allora

v • w = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

ANGOLO MINIMO

Per due vettori _v e _w nel piano ci sono due angoli:

‖v‖‖w‖ |cos |

: - => non cambia il suo valore

L'angolo minimo è il minore tra due.

ESPRESSIONE ANALITICA DELL'ANGOLO MINIMO

Def: Se _v = x₁i + y₁j e _w = x₂i + y₂j, allora

v • w = x₁x₂ + y₁y₂

e quando è l'angolo minimo.

‖v‖‖w‖ cos = x₁x₂ + y₁y₂

perché v • w = ‖v‖‖w‖ cos allora: |cos | =

Def arccos(x) = , x ∈ [0,1] 0 ≤ ≤ tale che cos = x

Esercizio: Calcolo l'angolo minimo tra i vettori (3i + 2 - 5) e (-1i + j)

cos = ^{(-3)(-1) + (2)(1)} / _{√(9 + 4 + 1) √(1 + 1 + 0)} = ² / _{√(10 + 12)}

= arccos(² / _{√(10 + 12)}) = 2.03 rad

Esercizio

si f ∈ P(x₁, y₁)

Consideriamo s: x₁² + y₁² = 1 il vettore con le proprietà richiesta quindi.

x₁² + y₁² = 1

Sappiamo per assunto che esistono due B → B = B¹ tali che

AB ⋅ BA = I e AB ⋅ B^A = I

B ⋅ B ⋅ I = B ⋅ (B ⋅ A)B_AB ⋅ I = B

B = B

B è A^-1 incerte possiamo definire unica matrice B tale che BA; AB; I come inversa di A.

Esercizio:

A = ⁽ 0 1 ⁾ calcolo (0 1)

1. 1 0 1 0 A² = AA: ⁽0 1⁾ = (1 0) A^-1 = I

A¹²³ = I ⋅ A: A = A

(A^-2) = A

A ⋅ A ⋅ A = I; in questo caso A ⋅ A^-1 = A^-2 = I; A² = I

calcolo

A = AA: (0 0

0 0 0)

• A³; A²; A: ⁽ 0 0 ⁾

quindi, A¹²³ = A³ A¹²⁰ = 0 A¹²⁰ 0

Risultato assurdo A non è invertibile

Supponiamo per assurdo che A³ abbia la matrice inversa. Allora:

A^-1 A = A^-1 0 = 0 A^-1

la matrice inversa dovrebbe essere 0, ma abbiamo appena dimostrato l'opposto. Quindi A^-1 non esiste.