Geometria - Matrici

Matrici e operazioni

Una matrice A ∈ M(K) = (a_ij) t.c. a_ij = 0 per i > j si dice triangolare superiore. Una matrice A ∈ M(K) si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j. Una matrice A ∈ M(K) si dice diagonale se a_ij = 0 per i ≠ j. La matrice I_n = (δ_ij) ∈ M(K) t.c. δ_ij = {1 se i = j, 0 se i ≠ j} si dice matrice unità o identità di ordine n. N.B. V A = (a_ij) , B = (b_ij) ∈ M(K) e V λ ∈ K Poniamo A+B = (a_ij + b_ij) ∈ M(K) λA = (λa_ij) ∈ M(K) Con queste operazioni M(K) è uno spazio vettoriale su K. Infatti: • La somma è associativa e commutativa • Lo 0 di M(K) è la matrice che ha tutti gli elementi nulli • V A = (a_ij) ∈ M(K) l'opposta è -A = (-a_ij) ∈ M(K) • E sono verificate le altre quattro proprietà. Prodotto tra matrici Prodotto tra vettori riga e tra vettori colonna Consideriamo una matrice R ∈ M(K) (=K) e una seconda matrice che ha tante

righe quante sono1 1pple colonne di R : C € M (K) (=K ).1 1 p1Definiamo R C = (C ) = ( ∑ = a b ) = (a b + a b + a b + …+ a b ).1 1 11 1t t1 11 11 12 21 13 31 1p p1N.B. per poter calcolare il prodotto di due matrici, il numero delle colonne della prima matrice deveessere necessariamente uguale al numero di righe della seconda matrice.La matrice risultante avrà quindi tante righe quante sono le righe della prima matrice e tantecolonne quante sono le colonne della seconda matrice.ATTENZIONE!! Il prodotto righe per colonne non è commutativo!!Sia A = (a ) € M (K) e B = (b ) € M (K). E’ quindi possibile calcolare il prodotto AB poiché leij mn ij npcolonne di colonne di A sono tante quante le righe di B, ma non posso fare BA perché le colonne diB non sono tante quante le righe di A.Di conseguenza AB ≠ BA.Anche nel caso particolare in cui m = n e quindi A = (a ) € M (K) e B = (b ) € M (K) si ha che ABij mn ij nm€ M

(K) = M (K) e BA M (K) quindi di nuovo AB ≠ BA.mn m n

Inoltre anche nel caso ancora più particolare in cui si considerano due matrici quadrate dello stesso ordine e quindi A = (a ) € M (K) e B = (b ) € M (K) si ha che AB ≠ BA.ij n ij n

Proprietà del prodotto tra matrici

Siano A,B € M (K) e C,D € M (K).mn np

• Allora la somma di A e B è distributiva rispetto al prodotto di una matrice per cui si può moltiplicare, cioè: (A+B)C = AC+BCA(C+D) = AC+AD
• V λ € K si ha che: λ (AC) = (λA) C = A( λC)
• Siano A € M (K) e B € M (K) e C € M (K), allora si può fare:mn np pq(AB)C = A (BC)

L’ordine con cui vengono moltiplicate la matrici va rispettato perché il prodotto non è commutativo.

Si ha anche che (AB) = A B

Osservazioni

1. Siano A = (a ) € M (K) e B = (b ) € M (K), quest’ultima matrice, però, la consideriamoij mp ij

Come insieme delle sue righe, ogni singola riga è R = (b b … b ).

Allora la i-esima riga di AB è: a R + a R + … + a Ri1 1 i2 2 ip p2.

Siano A = (C C … C ) ∈ M (K) con C ∈ M (K), mentre B = (b ) ∈ M (K).1 2 p mp i m1 ij pn

Allora la j-esima colonna di AB è: b C + b C +…+ b C1j 1 2j 2 pj p

Matrici invertibili e matrice inversa

Si può parlare di inversa nel caso di matrici quadrate. Quindi sia A ∈ M (K).

A si dice invertibile se esiste A ∈ M (K) t.c. AA = A A= I.

In questo caso A si dice matrice inversa di A.

Osservazione

Sia A ∈ M (K) con una riga o una colonna nulla, allora A non è invertibile.

Proprietà delle matrici inverse

Sia A ∈ M (K) invertibile

1. la matrice inversa di A è unica
2. siano A,B ∈ M (K) invertibili allora AB è invertibile.
3. (AB)^-1 = B^-1 A^-1
4. sia A invertibile allora la matrice trasposta di A è invertibile

(A )4. Siano A € M (K) invertibile e B € M (K) t.c. AB = I allora B è l’inversa di A oppure BA = I.

Dimostrazioni

1. supponiamo che A e B siano inverse di A

   AA = A

   A= I e AB = BA = I.

   Ma si può scrivere B = BI = B(AA ) = (BA) A = IA = A-1

   Quindi B = A-1

2. (AB)B A ) = A(BB )A ma per ipotesi esiste B ed è unica e sia ha quindi che:

   AIA = AA = I

   B A (AB) = B (A A)B = B IB = B B= I

   È necessario farlo perché questo prodotto deve risultare uguale all’identità perché AB sia invertibile.

   Quindi AB è invertibile e (AB) = B

3. si prova che (AB) = B A quindi:

   TA (A ) =(A A) = I = I-1

   T(A ) A = (AA ) = (I) = I

   Questo ci dice A è invertibile e l’inversa della trasposta è:

   (A ) = (A )

4. sia A invertibile e AB = I. Proviamo che anche BA = I:

   BA = I

   BA = (A-1A)BA = A-1(AB)A = A-1IA

   poiché per ipotesi AB = I

Poiché A è invertibile e quindi: I = A^-1A = AA^-1 = I

Quindi: AB = BA = I. E per definizione B è l'inversa di A.