Geometria - Matrici

Matrice

Definizione

Siano m, n € N*. Una matrice di tipo (m,n) [o anche una matrice m x n] ad elementi (detti entrate) in un campo K è una tabella di mn elementi di K disposti su m righe e n colonne. M_mn(K) è l’insieme delle matrici di tipo (m,n) ad elementi in K.

Se m=n scriverò M_m(K) e dirò che è l’insieme delle matrici quadrate di ordine m.

Sia A= (a_iy) € M_mn(K) con i = 1,…, m e y = 1,…,n.

• a_iy si dice elemento di posto i,y di A
• (a_i1, a_i2, a_i3, … , a_in) € K si dice riga i-esima di A, la colonna è detta, invece, colonna y-esima

Vettore riga e vettore colonna

Chiameremo R_i la i-esima riga e R_i è detto vettore riga. Chiameremo, invece, C_j la j-esima colonna e C_j è detto vettore colonna.

Matrice trasposta

Sia A = (a_ij) € M_mn(K). La matrice A^T € M_nm(K) che si ottiene scambiando le righe con le colonne di A si dice trasposta di A.

Osservazione: (A^T)^T = A cioè la trasposta di una trasposta è uguale alla matrice di partenza.

Matrice simmetrica

Sia A = (a_ij) € M_n(K). A si dice simmetrica se la trasposta A^T = A, cioè a_ij = a_ji ∀ i ≠ j.

Diagonali e diagonale

Sia A € M_n(K) gli elementi a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, a_nn si dicono diagonali e formano la diagonale principale di A.

Sottomatrice

Sia A € M_mn(K) una sottomatrice di A. Essa è una matrice che si ottiene da A cancellando un numero intero 0 ≤ r ≤ m di righe e un numero intero 0 ≤ s ≤ n di colonne. Le sottomatrici quadrate di A si dicono minori di A.

Triangolare superiore e inferiore, diagonale e identità

Sia A € M_n(K).

• Una matrice A € M_n(K) = (a_ij) t.c. a_ij = 0 per i > j si dice triangolare superiore.
• A si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j.
• A si dice diagonale se a_ij = 0 per i ≠ j.
• La matrice I_n = (δ_ij) € M_nn(K) t.c. δ_ij = {1 se i = j, 0 se i ≠ j} si dice matrice unità o identità di ordine n.

N.B. ∀ A = (a_ij), B = (b_ij) € M_mn(K) e ∀ λ € K

Poniamo

• A+B = (a_ij + b_ij) € M_mn(K)
• λA = (λa_ij) € M_mn(K)

Con queste operazioni M_mn(K) è uno spazio vettoriale su K. Infatti:

• La somma è associativa e commutativa
• Lo 0 di M_mn(K) è la matrice che ha tutti gli elementi nulli
• ∀ A = (a_ij) € M_mn(K) l’opposta è -A = (-a_ij) € M_mn(K).
• E sono verificate le altre quattro proprietà.