Geometria - vettori

I vettori nel piano e nello spazio

Segmenti e vettori

Segmento: insieme dei punti di una retta compresi tra due punti dati A e B.

Segmento orientato: segmento su cui si è fissato un verso.

Segmenti orientati equipollenti: segmenti orientati che hanno la stessa direzione, verso e intensità.

Si dice vettore (o vettore libero) il rappresentante di una classe di segmenti orientati equipollenti.

Il rappresentante AB di un vettore si dice vettore applicato in A.

Se il punto A varia su una retta r parallela ad essa, si ha un cursore indicato con (u, r).

La direzione di un vettore è la direzione della retta a cui esso appartiene; il verso è uno dei due individuati sulla retta; il modulo di un vettore è l'intensità del vettore rappresentato dalla lunghezza della freccia.

Si dice vettore nullo il vettore di modulo 0 (ha direzione e verso indeterminati).

Si dice versore il vettore unitario.

Operazioni con i vettori

• Addizione di vettori: u + v = (B – A) + (C – B) = C – A. Regola del parallelogramma. Regola della poligonale.

Proprietà addizione:

• Commutativa: u + v = v + u
• Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
• Esistenza elemento nullo: u + o = u
• Esistenza elemento opposto: u + (-u) = o

La sottrazione di due vettori è definita come la somma del primo con l'opposto del secondo: u – v = u + (-v).

Disuguaglianza triangolare

|u + v| ≤ |u| + |v|

Moltiplicazione di un numero per un vettore

Il prodotto di un numero reale k per un vettore è un vettore kv così definito:

• Se k = 0 oppure v = o, si ha kv = o
• Se k ≠ 0 e v ≠ o:
  • La direzione di kv coincide con quella di v
  • Il verso di kv è concorde con v se k > 0, è discorde se k < 0
  • Il modulo di kv è uguale a |k| per il modulo di v

Proprietà della moltiplicazione di un numero per un vettore:

• k(u + v) = ku + kv
• (h + k)v = hv + kv
• h(kv) = (hk)v
• 1v = v

Dipendenza lineare

Siano k₁, k₂, ..., k_n numeri reali ed u₁, u₂, ..., u_n vettori. Si dice combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, ..., u_n di coefficienti k₁, k₂, ..., k_n il vettore v = k₁u₁ + k₂u₂ + ... + k_nu_n.

I vettori u₁, u₂, ..., u_n si dicono linearmente indipendenti se k₁u₁ + k₂u₂ + ... + k_nu_n = 0 solo se k₁ = k₂ = ... = k_n = 0.

I vettori u₁, u₂, ..., u_n si dicono linearmente dipendenti se non sono indipendenti.

Teoremi

• I vettori u₁, u₂, ..., u_n sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi è esprimibile come combinazione lineare dei rimanenti.
• Due vettori u₁, u₂ sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli.