Geometria - vettori

A

B

3 1 1 1 2 2 2

= (x x , y y , z – z )

A

B 2 – 1 2 – 1 2 1

• v

Il modulo di un vettore espresso mediante le sue componenti è :

= + +

2 2 2

v = (k , k , k ) v k k k

1 2 3 1 2 3

• I versori di uno spazio ortonormale Oxyz sono:

i j k

= (1,0,0) = (0,1,0) = (0,0,1)

• u v

Le operazioni tra vettori = (h , h , h ) e = (k , k , k ) espresse mediante le loro

1 2 3 1 2 3

componenti sono: u v

+ = (h + k ; h + k ; h + k )

1 1 2 2 3 3

u v

- = (h - k ; h - k ; h - k )

1 1 2 2 3 3

u

c = (ch , ch , ch )

1 2 3

Esercizi n° 1 pag 48 (Canuto)

Esempio a b

Dati i vettori = (2,1,0) = (0,1,-3) b

a b

determinare – 3 e il suo modulo

a b

– 3 = (2,4,-9) -3b

− = + + =

a 3 b 4 16 81 101 a a - 3b

4

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PRODOTTO SCALARE u v

DEF Il PRODOTTO SCALARE è un’operazione che associa a due vettori e un numero reale

α

u v = | u | | v

così definito: • | cos

v α u 2 = ⋅

u v u u = | u |

N.B. Se = si ha • da cui u u u

•

u v

α

• =

Angolo tra due vettori: cos u v

• Proprietà del prodotto scalare :

u v = v u

Commutativa • •

o u) v = u v ) = v

Di omogeneità (k • • (k k (u • )

o u + w) = u v + u w

Distributiva • (v • •

o

• Data una base ortonormale: i i = j j = k k = 1

• • •

i j = i k = j k = 0

• • •

• u v

Se i vettori espressi mediante componenti sono = (h , h , h ) e = (k , k , k ) , si

1 2 3 1 2 3

ha : u v =

• h k + h k + h k (dimostrare)

1 1 2 2 3 3

• Angolo tra due vettori espressi mediante le componenti:

+ +

h k h k h k

α = 1 1 2 2 3 3

cos + + ⋅ + +

2 2 2 2 2 2

h h h k k k

1 2 3 1 2 3

• v

Le componenti rispetto alla base del vettore = (k , k , k ) sono dette COSENI

1 2 3

v

DIRETTORI di e si ha: ( )

) ( )

( k

k k =

= =

1 2 cos k v 3

i v j v

cos cos

v v v

• Due proprietà: ( ) ( )

2 2 2 α

+ = + • + = + +

u v u v u v u v 2 u v cos

o ( ) ( )

2 2 2 α

− = − • − = + −

u v u v u v u v 2 u v cos

o

Di tali proprietà è possibile dare una interpretazione geometrica mediante il teorema del coseno o di

Carnot: C

u + v v u - v

v v

α α α

180 - u

u

u A B 5

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COMPONENTE ORTOGONALE DI UN VETTORE RISPETTO AD UNALTRO VETTORE

v u

DEF Dato un vettore ed una retta orientata r parallela ad un vettore e avente lo stesso suo

v u

verso, si dice COMPONENTE ORTOGONALE di rispetto ad ( v ) la misura con segno

u

v

della proiezione di su r B u

v

A

A’ B’

v = | v u v

AB = A’B’ = v v | cos

u u

u v = | u | = | v |

da cui • v u

u v v

DEF Si dice VETTORE PROIEZIONE ORTOGONALE di un vettore su una retta orientata r

u u

parallela ad un vettore il vettore che ha come versore quello di e come componente la

v u.

componente ortogonale di rispetto •

v u

u =

v = | v u v u

| cos

u 2

u u

v

Teorema Il vettore proiezione ortogonale è:

u

• u, v

l’unico vettore parallelo ad del tipo tu, tale che - tu risulta

u

perpendicolare ad 2

• v – |

il vettore tu con t tale che | tu sia minimo

Dimostrazione: •

v u

=

u = v u – u ) t

Posto (v – tu ) 0 t (u • e così si dimostra la prima parte.

2

u

Analogamente si ottiene lo stesso valore di t annullando la derivata rispetto a t della funzione

2 2 2 2

v | = | v | – 2 v u + t | u |

f(t) = | – tu t •

v u

2 =

v u + 2 | u |

Infatti f ‘ (t) = -2 t = 0 t 2

u

Esercizi n° 2 pag 48 (Canuto)

n° 2.9 ; 2.15 pag 59 Sanini 6

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PRODOTTO VETTORIALE u v

DEF Il PRODOTTO VETTORIALE è un’operazione che associa a due vettori e un vettore

k u v

indicato con = così definito:

• u v u v

è ortogonale sia ad che a

• u v u v , u v

il verso di è tale che la terna sia positiva (verso destrorso o

individuato dalla legge della mano destra) α

• v | = | u | | v

il modulo è dato da |u | sen

u v v α

u

• Proprietà del prodotto vettoriale: v = - v u

u

Anticommutativa

o u) v = u v ) = v

Di omogeneità (k (k k (u )

o + w) = u v + u w

u (v

Distributiva

o

• u v

Se i vettori espressi mediante componenti sono = (h , h , h ) e = (k , k , k ),

1 2 3 1 2 3

si ha : i j k

u v = h h h

1 2 3

k k k

1 2 3

• Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori rappresenta l’area del parallelogramma

da essi individuato. Difatti: B

v α

A C

H

u

α =

| u | | v v |

BH = | sen |u

Area = AC

Esercizi n° 9 . 10 . 16 . 19 . 21 .22 pag 48 (Canuto)

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PRODOTTO MISTO u v, w v ) w

Il PRODOTTO MISTO di tre vettori , è definito come: (u •

v ) w = w v )

Il prodotto misto gode della proprietà commutativa , cioè: (u • (u

Il valore assoluto del prodotto misto rappresenta il volume del prisma individuato dai tre vettori,

cioè il parallelepipedo che ha come spigoli i tre vettori.

u C

H w v B D

α

O A

u α =

v | v | w v | w

OH = |u OH = = |u cos |u

Volume = Area (OADB )

N.B. Il volume del tetraedro individuato dai tre vettori è la sesta parte del volume del prisma:

1 V (Prisma)

V(tetraedro) = 6

Se i tre vettori sono espressi mediante le componenti si ha:

u v w

= (h , h , h ) , = (k , k , k ) e = (t , t , t )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

t t t

1 2 3

u v ) w = h h h

( • 1 2 3

k k k

1 2 3

PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA’, COMPLANARITA’

u v

Due vettori = (h , h , h ) e = (k , k , k ) sono PARALLELI se hanno la stessa

1 2 3 1 2 3

u v

direzione, k quindi le loro componenti devono essere proporzionali:

h h h

= =

1 2 3

k k k

1 2 3

u v

Due vettori = (h , h , h ) e = (k , k , k ) sono PERPENDICOLARI se formano

1 2 3 1 2 3

u v =

un angolo retto quindi • 0 cioè

=

h k + h k + h k 0

1 1 2 2 3 3 8

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