Geometria - funzioni di più variabili

Appunti su funzioni di più variabili

Derivate parziali seconde

Sia una funzione derivabile in un punto P. Suppongo che tutte le derivate siano derivabili in P, allora:

Teorema di Schwartz

Data una funzione derivabile con derivate parziali continue:

Definizione di matrice Hessiana

Data una funzione derivabile con derivate parziali continue, si dice matrice Hessiana:

La matrice Hessiana è una matrice simmetrica.

Esempio

Data una funzione, dato il punto specifico, calcolare la matrice Hessiana.

• Si calcolano le derivate parziali prime.
• Si calcolano le derivate parziali seconde.

N.B. Per calcolare la derivata parziale seconda rispetto a x e a y: si sceglie (arbitrariamente, grazie al teorema di Schwartz) una delle due derivate prime: se si sceglie la derivata rispetto a x allora si deriva questa rispetto a y, viceversa, se si sceglie la derivata rispetto a y allora si deriva questa rispetto a x. Per ciascuna di queste due scelte il risultato sarà identico, quindi, derivare quella in y rispetto a x, o l’altra rispetto a y, non cambia il risultato della derivata parziale seconda rispetto a x e a y. In questo sta l’importanza del teorema di Schwartz.

• Si valuta ciascuna delle derivate parziali seconde nel punto; cioè si sostituiscono ad x e ad y i valori (dati dal problema) di x e di y.

N.B. Il simbolo significa letteralmente: valutata in x=0.