Geometria - funzioni di più variabili

APPUNTI SU FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI:

Derivate parziali seconde:

Sia una funzione derivabile in un punto P .

0

Suppongo che tutte le siano derivabili in P , allora:

0

Teorema di Schwartz:

Data una funzione derivabile con derivate parziali continue:

Definizione di Matrice Hessiana:

Data una funzione derivabile con derivate parziali continue:

si dice matrice Hessiana:

La matrice Hessiana è una matrice simmetrica.

Esempio:

Data , dato il punto . Calcolare la matrice Hessiana.

1) Si calcolano le derivate parziali prime:

2) Si calcolano le derivate parziali seconde:

N.B. Per calcolare la derivata parziale seconda rispetto a x e a y: si sceglie (arbitrariamente, grazie

al teorema di Schwartz) una delle due derivate prime: se si sceglie la allora si deriva questa

rispetto ad y, viceversa, se si sceglie la allora si deriva questa rispetto ad x. Per ciascuna di

queste due scelte il risultato sarà identico, quindi, derivare quella in y rispetto ad x, o l’altra rispetto

ad y, non cambia il risultato della derivata parziale seconda rispetto a x e a y. In questo sta

l’importanza del teorema di Schwartz

3) Si valuta ciascuna delle derivate parziali seconde nel punto ; cioè si sostituiscono ad x

e ad y i valori (dati dal problema) di x e di y .

0 0

N.B. Il simbolo significa letteralmente: valutata in x=0