Algebra lineare e geometria

Vettori Geometrici

Vettore libero: oggetto matematico caratterizzato da tre fattori: direzione (retta che contiene il vettore); verso (punta della freccia); modulo (lunghezza).

Vettore applicato: vettore libero con punto di applicazione. Da un vettore libero possono derivare infiniti vettori applicati. Da un vettore applicato derivano un vettore libero e un punto di applicazione.

Osservazione: insieme vettori liberi nel piano di modulo .

Osservazione:

Osservazione: vettore nullo : direzione e verso non esistono, il modulo è zero.

Operazioni tra vettori:

• Prodotto per scalare ()
• Somma

Prodotto per scalare

Dati vettore libero e ∈ scalare:

• direzione: direzione di
• verso: se > 0, verso di ; se < 0, opposto di
• intensità: || ||
• Se = 0, = (vettore nullo)

Somma

Dati ₁, ₂ vettori liberi definiamo vettore somma come ₁ + ₂

Regola del parallelogramma:Pensilare il parallelogramma e la diagonale che parte dal punto di applicazione in comune delle due code è il vettore somma.

La somma di vettori è commutativa.₁ + ₂ = ₂ + ₁

Vettori Geometrici

Vettore libero: oggetto matematico caratterizzato da tre fattori: direzione (retta che contiene il vettore); verso (punta della freccia); modulo (lunghezza).

• Vettore applicato: vettore libero con punto di applicazione. Da un vettore libero possiamo derivare infiniti vettori applicati. Da un vettore applicato derivano un vettore libero e un punto di applicazione.

Osservazione: Insieme vettori liberi nel piano di modulo IR.

I vers descrivono una circonferenza di centro O e raggio 1R.

Osservazione: Vettore nullo 0: direzione e verso non esistono, il modulo è zero.

Operazioni tra vettori:

• Prodotto per scalare (IR)
• Somma

Dati u vettore libero e c E IR scalare.

• direzione: direzione di u
• verso: se c > 0, verso di u; se c < 0, opposto di u
• intensità: |c| | u|
• Se c = 0: 0 u = 0 (vettore nullo)

Dati u e v vettori liberi definiamo vettore somma come u + v

Regola del parallelogramma:

Considero il parallelogramma e la diagonale che parte dal punto di applicazione in comune delle due code è il vettore somma.

La somma di vettori è commutativa. u + v = v + u

Proprietà

1) c (d ^→u) = (cd) ^→u

2) (c+d) ^→u = c^→u + d^→u

3) ^→u + ^→v = ^→v + ^→u

4) (^→u + ^→v) + ^→w = ^→u + (^→v + ^→w)

5) (c ^→u) ^(→v + ^→w) = c ^→u + c^→v

Osservazione: ^→u + ^→u + ^→w (concatenazione)

Equivalente al fare la regola del parallelogramma 2 volte.

Componenti

Un vettore ^→u tale che ||^→u|| = 1, si dice versore o vettore unitario

Oss:

 ^→u ≠ 0

  ^→u

  ------- = ^→v

  ||^→u||

  ||^→v|| = 1, ^→v è un versore

||^→i|| = ||^→j|| = 1

Oss:

• Punti nel piano
• Coppie di coordinate

^→i versore asse x

^→j versore asse y

^→v = (v_x, v_y)

v_x e v_y sono le componenti del vettore

Nello spazio abbiamo 3 versori: i, j, k

^→v = v_x i + v_y j + v_z k

1. I vettori v₁,...v_n sono linearmente dipendenti se esistono c_i coefficienti, non tutti nulli
2. Tali che c₁ v₁ + c₂ v₂ +...+ c_n v_n = 0. Sono linearmente indipendenti se l'unica media per dipendenza zero nullo, lenta combinazione ed = assumere coefficienti tutti nulli
3. Altrimenti vettori banche sempre linearmente dipendenti.

Operazioni in componenti

Prodotto per scalarec ∈ ℝ