Algebra lineare e geometria

Vettori Geometrici

Vettore libero: oggetto matematico caratterizzato da tre fattori: direzione (retta che contiene il vettore); verso (punta della freccia); modulo (lunghezza) ‖u⃗‖ e |u⃗|

Vettore applicato: vettore libero con punto di applicazione. Da un vettore libero possono derivare infiniti vettori applicati. Da un vettore applicato derivano un vettore libero e un punto di applicazione.

Osservazione: insieme vettori liberi nel piano di modulo IR e verso descrivono una circonferenza di centro O e raggio IR.

Osservazione: vettore nullo O̲⃗: direzione e verso non esistono, il modulo è zero.

Operazioni tra vettori:

• Prodotto per scalare(IR)
• Somma

Prodotto per scalare

Dati: u⃗ vettore libero e c∈IR reale

• c·u⃗
• direzione: direzione di u⃗
• verso: se c>0 verso di u⃗, se c vettorix x y x z -> uno scalarelunghezze -> |u_x| |u_y| |u_z|aree -> |u_x x u_y|volumi -> prodotto misto

  Dati -> vettori x y z

  |x x y x z| è il volume della scatola di spigoli

  Volume = Area di base x altezzaArea di base = |u_x x u_y|Altezza = proiezione ortogonale di z sul perpendicolare alla base = |u_z| cos (α)

  Volume = |u_x x u_y| |u_z| cos (α)

  Osservazioni

  ₁₂₃; ₁₂₃; ₁₂₃

  i x j = k

  i x j x k

  a_ilx_ila_ijKε{1,2,3}p_ij = x y x k cambia solo il segno x =

  ₃ : (y₁ z₂) x₁ z₂ x₃

  E5

  1) x + y - z = 1lx + 2y - 3z = 4

  \(\vec{u}=t\vec{p}+\vec{u_0}\)| t∈ℝ

  Trovo soluzione particolare (p.u) ponendo z=0

  x = -2y = 3

  \(\vec{u_0} = (-2, 3, 0)\)

  \(\vec{p} = n\cdot 1 \times n\cdot 2 = (1,1,1) \times (1,2,3)\)  = \((1 1 1) \times (1 2 3)\) = (-1, -2, 1)

  Posizioni reciproche

  \(\alpha: ax + by + cz = d \quad p_\alpha(a, b, c)\)\(\beta: ax + by + cz = d_2 \quad p_\beta\) vettore direzionale

  • \(\alpha // \beta \Leftrightarrow n_\alpha // n_\beta\)
  • \(\alpha / \beta \Leftrightarrow n_\alpha \perp n_\beta\)
  • \(\alpha \, r_i \, r_k \Leftrightarrow r_\alpha \perp r_i\)

  Rette sghembe

  • \(r_1 // r_2 \Leftrightarrow p_1 // p_2\)

  ⇒ sono complanari

  • \(r_1, r_2 \text{ incidenti} \Leftrightarrow \exists t(n_\alpha n_\beta)\)

  ⇒ sono complanari

  • \([r_1, r_2 \text{ non parallele e non incidenti si dicono sghembe}\]

  ⇒ non complanari

  • \(r_1, r_2 \text{ perpendicolari} \Leftrightarrow p_1 \perp p_2\)

  6) Trovare la retta passante per A (4,2,2) e B (3,2,1)

  Scriviamo r in forma parametrica.

  r: ^(x) _{(y) (z)} = ^(p) _{(q) (r)} + t(^(a) _{(b) (c)})^(x) _{(y) (z)} = A (4, 2, 2)^(a) _{(b) (c)} = (B - A) = (3-4, 2-2, 1-2) = (-1, 0, -1)

  ^(a) _{(b) (c)} = B - A =(3 - 4, 2 - 2, 1 - 2) = (-1, 0, -1)^(x) _{(y) (z)} = A = (4, 2, 2)

  • x = 4 - t
  • y = 2
  • z = 2 - t

  Intersezione tra due piani.

  Sistemi:

  • 2t - x = -1
  • z + t = 2

  Affineazione alle coordinate:

  • A: (x, y, z) -> x = xa, y = ya, z = za
  • B: (x, y, z) -> x = xb, y = yb, z = zb

  La retta per A e B se le coppie di coordinate sono diverse (xa != xb, ya != yb, za != zb)

  7) Dati ABC trovare un piano che li contiente

  A(1, 0, 0)B(1, -1, 0)C(0, 0, 1)

  Geometricamente:

  • AB = (1 - 1, -1 - 0, 0 - 0) = (0, -1, 0)
  • AC = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)

  Normal Vector n = AB x AC = i-j+kn = (0-1, 1, 0-(-1))

  Determiniamo i punti di giacitura (o fuori piano)

  (ax, by, cz) = 0Se (a, b, c) != (0, 0, 0), i punti sono allineati ed esistono infiniti piani

  Se (a, b, c) != allineati esiste d in modo che n * a = A

  n = (-1, 1, 0) ^(a) _{(b) (c)} = (1, 0, 0)

  • (-1x + 1y + 0z) = (1, -1, 1)
  • 0x + 1y = z + 1

  Si trova:m * x + y + z = d

  n * A = 1 -> a*x + b*y + c = d-> m*x + y + z (piano che contiene A, B, C)