Geometria e Algebra - Teoria

Orale Geometria

Combinazione Lineare

Vettore definito solamente mediante operazioni lineari. Somma di due vettori moltiplicati per coefficienti... (gli α) viene definita combinazione (di vettori).

• α₁ • v₁ + ... + α_r • v_r
• E’ lineare perche composto da un vettore come combinazione lineare.
• E’ una combinazione banale quando tutte le componenti α sono zero.
• V1 = matrice per fare soluzioni.

→ Non si annullano mai, altrimenti prendiamo il vettore risultante X,(base), cambio base!

• Soluzioni!
• α individualmente ma essendo utili.
• Combinazioni lineari: ritrasformandoli in una forma più completa.

Matrice

→ Tabulati ordinati elementi.

Determinante

Numero reale caratterizzato da righe e colonne che rappresenta un’algebra orientata. Determinatei da det (A) ≡ 0, 1

• Calcola! Molte cardini, (incidentalmente delle carte, determinanti causali e acide e precise)
• Det = 0 → matrice nulla (colonna nulla)
• Det! → nessun vettori (estremità incidente)
• Sommando sulla seconda colonna un minore si ottiene il determinante;
• Det! Determinante = moduli → ammendomio data : • Data! Bilanci norme erimettrichi!

• Calcolo del determinante!

→ Matrice 2_x2

Determinare dei prodotti, tá lel diagonal (incidental)

• Matrice trauncator, trasforme con determinante uguale al prodotto;
• Determinante eseguente diagonale principale;

• Se si indica explicit il cardine necessario non sarà risultato esatto, e prendere in solo ofricio (eccezione su di:-). Redditanza con mittificatori per gli det!

• Alghe moel! Conmutamenti banchi base tratte dallo matricie aggiacane el aggi + delle summe (orientare mite) o con determinazione

Proprietà principali

1. 2 e numeri si oppure con le colonne in l, la nuova matrice è pari determinante inverso.
2. Se un elementi di riga e nulli, il valore determinato pari, parziale limitazione.

Configurato ∀ catelmat( permet distruz. due suità 2_i-1 • Punto 3_dato)

1) Se moltiplicati sono liinee pari lunghhezza per si ottiene una matrice B con det.

Metodo Gauss

Individuare un problema sequer se una matrice divisa dalla idioma delle incognite e quello dei risultati. Tramite operazioni matematiche in funzione questi criteri di termini, otteniamo una mediante identità (doppia triangolare) con i burevue reutili mediante indicatori nelle colonne di reduziert.

Spazio Vettoriale

È l’insieme non vuoto( v ≠ 0) il cui elementi vengono chiamati vettori, nel quale sono definite due operazioni:

• Somma di due vettori, indicando V. *V! v il papal commutativa additiva.
• Prodotto di un vettore con il valere α, quindi α•V! se papal bilirqutuali ocquisitiva

Spazio Lineari: E’ indici individuamente vettoriale di ≠ 0, in particolare non vuoto (S ≠ S);

• Può A e a indicatore di un comune resciione di decofin ^α/m ➡ ∞, insomma (α•v)*l•è α - passata (α•Li⇆S)

Opertatori

• R₁, R², R₃, co’ R^B, setse param per lingeia
• Pare di parametri (R²), tort piananti per la‘basilie’ piani passanti per s, ngingein

Linearmente Indipendenti

→ Def Funtamente e vaiermin, K vaier, *R_T v N_n,; po =!_B funt. Di fisicamente incidentei

• Δθ Linearmente dependiente
• v₁, v₂, v₃, … v_N no posffrono insiememento indicatori nel qualitati kai (due nodizia cin n settiglia 1 → neccessiare il:_i1v₁+v₂…≠Avh =0

Ulietpentive lo facciano, ordinamenti superfectiv: t. essendo alimento nuovo valore non nullu.

• Si annullatore con:■i generali ungliane. I ei con tutte mulicarie lmeetemente quindi adformare che determinanti valori haioro lineari siano zero con esprimere come confitivicatione, perche conforte si determinazione! no solo a uncici del multiplc civili comuniti al myth una intensizione op numichetifi F. ","⮹"

Orale Geometria

Convenzione Insime

Vettori definiti solamente mediante operazioni, non elementi.

• Somma di due vettori mantenuti nei rispettivi spaziatori.
• Moltiplicazione per quantità scalare in vettori con struttura lineare di V1;V2.
• Associare i vettori con una base lineare come combinazione lineare si u.
• Intercambiabilità si rappresenta con una freccia diagonale.

Matrice

Tabella ordinata di elementi.

• Determinante - numero reale caratteristica della riga o colonna.
• Elemento ordinato occupa determinate unica cella.

Calcolo del determinante

• Matrice 2x2 ottenibile per prodotto tra eterogenea.
• Ordinare con matrici triangolari superiore con determinante uguale al prodotto dei membri principali diagonali principali.

Commutatività matriciale

1, 2, 2 somma riga con colonna = 1.

La nuova matrice e poi determinante inverso.

Metodo Gauss

Risolvente un Matrice unica di colonna di quadrati.

Spazio vettoriale

Non vuoto i vari elementi.

• * 1 stabilire spazio (1, e1, e2 e3 F-R3 * 1 R B dot products).
• * 2 post girando l'asse, R B associati con riga triangolare rispettivamente e ogni moltiplicazione dagli scalari basi b.

Linearmente indipendenti

Vettori U V W al termine di assiemi.

Teorema: dati n vettori V₁, V₂, V_h di uno spazio vettoriale V, l'insieme W (contenente soltanto S con tutte le possibili combinazioni lineari e tutti i multipli dei singoli vettori) è un sottospazio vettoriale.

Questo sottospazio è detto GENERATORE DI W. Il numero complessivo dei vettori è detto ordine del sistema, mentre noi usiamo una l'essenza del capitolo (unità), su cui si basa se la risposta ammette un numero finito di generazione.

Base: S'è V è uno spazio vettoriale finitamente generato e β (numeri base), W con dimensioni base contenente generatori, V₁, V₄, V_n, V un elementi linearmente indipendenti, il cui V_n è V, solo multipli lineari se una base E stesso numero di contamini simmetrici sull'asse R. Ammette una base.

Dimensione: Sia la dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato V, il numerica d

(V)

Disuguaglianza Fondamentale: Sia V uno spazio vettoriale, I un numero insieme protutti ⇒ ind_dim T con n dei vettori IN denudamente interpolari I - dim V. Il vettorii generatore di V (di un generatore ind V)

Ogni applicazione lineare: - simetria ⇔ dato, dim F ⇒ dim Fx ≡ dim Fy x il valore.

Ogni input come V: N⋅V nulla due teoremi sono di N minima E infinitiva ed ^dim.

Disuguaglianza Fondamentale: due elementi vettoriali, un'uniό incompetenza, T difficile. Ammette, il dim V = dim K ker it finito, M π dim Y ne finisse elementi - quantomeno ipotizzarsi tutte.

Applicazioni Lineari: Dicesi applicazione tale implica tutte imponenti. S una legge è che operato dal con complemento suss Y ossa pez denominato esiste I degli immaginali parabole di ----.

1. Applicazione, S T: A è iniettiva A V stessa S-Σ ^S’immian T - S’fiz I puss

Mentre un'applicazione A che è suriettiva de essere: E T (comp ≠ D)

Aplomità: in R eruzione nulla quella tenale resta E V

Definizione: - Funzioni in ogni banco devi creare uno minimali infilatura avveniganta con altri unica di questo nel vettivi.

Immagine: Dicesi immainu di sull'applicazione il contatore di qui V sottoion per uno in complemento V: V hampa talmente la a₁ w_s (V / s)(V ⋅ V T(Kerφ), T=(Kerφ) numero di Tues

dim= dim’immagine di B’+1 infiniti

dimK + dimW = dimV

MATRICE ASSOCIATA AD UN'APPLICAZIONE LINEARE

if V1 V2 (a b) W1 che (a1 a2) con V1 V2 come Δ + 1 … -1 anche base di x1 x2 V

vi = vj xi xj yijkn

operate xj + xij xsdf …

frequente tre coordinate ai ve V

vij_a12

φ(vi) = Amn= (Ami= Am(n-k))

A= produzione dell'applicazione lineare φ come s).

V2n Am1x1 A+mh

V= Kan1 + Kiantz scaler d

• Il vettore sulla quale si divide una matrice fra colonne dei vettori coordinati del termine prolunghe ke = V1 W punti
• ex b + nth appeber frank? Matrice...

MATRICE INVERSA

comep: L’unica Matrice che può trovare il termine di 9x1 numero ordini = V1

AM = V(12) W1 |x(-1)

TEOREMA DI COUCHEY CAFFLET

Δ x = b

A ∈ R

b ∈ R

A ∈ il matrici di cefenkap incompleta

(Δ-x=b pistituito) se produce

[CAIIV] è se il matricer cambia riunio Δai-1

... colonna de infini iterazioni nabh

Se il rankche non possessivo del calcolo retiche lo dimhe. Rm nb.

ENDTOPRESMO

A = (n-l) crude riceva felot bre

Alle masnel gielene olette

AUTOVETTORE e AUTOVALORE

(φ1)V= V edendropresismo) aggi autovettore a seconda sulla variabile interamente

Minimato e deniiol varietto

Autovalore = delta risolta colde idutin *Z

rank A compiuto

Autovettore del albergismo che operato trans del delti renialle dipense gnudere ralt col l’ →

sied v colto

• aX= Oy thudning + nessun
• A2+λ
• 236 vector prime x26 + supin - t8 +
• quale technician separatis (1,5) resulta in una ronzocchio x elbi

Rifinitura di un postovale sindforme exar buggin ricresso nviri νs Istante 1 pair, conver quae

Polinomio caratteristico Q_n di un endomorfismo: ρ(λ) = det(A - λi) ε n

• A è matrice associata, λ è numeri ipotetici arbraici (soluzioni delle equazionialgebriche
• Relazione: polinomi annullatori ad ogni endomorfismo di ordine finito al

Teorema fondamentale dell'algebra:

Un polinomio D grado n + unitari εcomplesse ammette esattamente n radici complesse (non tutte distinte)

• Polinomio D ordine n scomposizione in n fattori lineari
• Multiplicità radice: alfa_k multipiedù delta derivata —> cerca radici numero Δ volte —> E moltiplicità di alfa_k è k — alfak → polinomio caratteristico tecnica Che
• Idea che si ottiene la di ordine n

Molteplicità geometricà = r T - g molteplicità C continua tra autospazi relativi ai λ

• Molt ¹ T = λ7L_n. Con autovalutore dipende chipgrado t'auto

Forme quadratiche:

• Polinomio omogeneo di 2° grado in una o più variabili
• Esempio: Ax₂ + Bxy + Cy₂ forma quadratica ε forme quadrata matrice simmetrica a A.
• Forme associate c ⌘ l
• X^t A
• Usign = ε X rende
• Negativo: ┌ A fettoremente il numero di autovalore positivi e negativi - P - P

Coniche:

Leggo teoreti il polinomio di secondo grado due variabili composta U equazione quadratica esprime la Def marocchina di oblunga

• Degenerazione:
• Forma nella propia di grado

Formula delle coniche poste

Coniche lias zorra caratterizzate - Date una matrice associata quad tralu 3matmi formata da una daisport di fratte l'insinuato fig chiamato deside degli il quail identificódalla lorma quadratiche il graph discol baldire

Asso lo port s fig nel det

• Segnante alle due matrici c alla l' degli Ρ ranguilder 2
• Aunpo_proe dipendente -> rangde 5 {d
• Non
• Va parabola B_aC^o Dereclot li ls E'A₃oso/c ¬ CC glso

Inverso di una matrice

• Analizzare se una matrice è invertibile: È invertibile se il detA ≠ 0
• Per risolvere il problema A^-1 possiamo utilizzare due metodi per individuare l'inverso della matrice A
  • METODO 1:Alla matrice A data, viene accodata la matrice identità, eseguendo opportunamente ed iterativamente la matrice A per ridurla dal questa a una matrice identità, anche la matrice accodata inizialmente cambierà di configurazione. Riusciremo da questa la matrice inversa di A.
  • METODO 2:. Si calcola la matrice dei cofattori (sostituire agli elementi di A con i suoi cofattori): C_ij = (-1)^i+j · C_ij dove ciascun C_ij è il determinante della matrice che rimane togliendo la riga i e la colonna analizzate in C_ij.
  Si calcola la matrice trasposta della matrice formata dai cofattori (Scambio delle righe con colonne) a bc d↓a cb d

Infine si calcola la matrice inversa di A:A^-1 = 1 / Det(A) · [trasposta dei cofattori]

Esempio: Calcolare l'inverso ed esente della matrice:

Det A = 1 · 2 - 0 · 2 = 4 ≠ 0 → A è invertibile

METODO 1: (Ricavo la matrice inversa)