Algebra e Geometria Teoria

Osservazioni

1) La conica generale   ∏: P ⟼ p polarità associata a ℒ

2) p^⊥: coniugati   X^TAX = 0

3) P ∈ ℒ   ⟹   X^TAX = 0   ⟺   P è coniugato con P: stesso   autoconugato

I punti di sezione tutti e soli i soli: punti autoconugati del piano

3) P_p coppia polo-polore   P ∈ p ?   ⟺   P è coniugato   ⟺   P ∈ ℒ

Teorema (principio di reciprocità)

Siano ℒ una conica generale e P un punto e p una sua polare, allora:

1. Le polari dei punti di p passano per P
2. i pol: delle rette passanti per P stanno su p

Dim

1. Sia Q ∈ p = polare di P, luogo dei coniugati di P ⟹ Q è coniugato di P ⟹ P è coniugato di Q ⟹ P ∈ ℒ luogo dei coniugati di Q = retta polare di Q
2. (Analogo)

Teorema (caratterizzazione geometrica della polare)

Sia ℒ una conica generale e P un punto

1. Se P ∈ ℒ, allora la polare p di P è la retta tangente a ℒ in P

03/12/2018

OSSERVAZIONI

1. La conica generale π: P ↔ p POLARITÀ associata a C
2. P p coniugati ↔ X^TAX = 0

P ∉ ⇒ X^TAX ≠ 0 ⇔ P è coniugato con P_i stesso AUTOCONIUGATO

I punti di sono tutti e soli punti autoconugati del piano

3. P_i coppia polo-polare P ∈ , p ∉ ⇔ P è coniugato ⇔ P ∈

Teorema (principio di reciprocità)

Siano una conica generale e P un punto e p una sua polare, allora:

1. le polari dei punti di p passano per P
2. i poli delle rette passanti per P stanno su p

Dim

1. Sia Q ∈ p = polare di P luogo dei coniugati di P
   • ⇒ Q è coniugato di p
   • ⇒ p è coniugato di Q
   • ⇒ P ∈ luogo dei coniugati di Q = retta polare di Q
2. (Analogo)

Teorema (caratterizzazione geometrica della polare)

Sia una conica generale e P un punto

1. Se P ∈ , allora la polare p di P è la retta tangente a in P

2) Se P ∉ L allora la sua polare p è la retta congiungente i punti di tangenza con L delle rette tangenti la conica condotte da P.

Dim

2) t₁, t₂ tangenti:

chi è il polo di t₁?

→ polo = T₄

P ∈ t₄ => per il principio di reciprocità T₄ ∈ p

Analogamente per t₂: il suo polo è T₂

Da t₁ => per il principio di reciprocità T₂ ∈ p

t₁ ≠ t₂ perchè P ∉ L => p = T₁T₂

PROPRIETÀ DELLE CONICHE GENERALI

Def

Si chiama CENTRO di una conica generale L il polo della retta impropria nella polarità definita da L; si chiamano DIAMETRI le polari dei punti della retta impropria.

OSS.

1) Per il principio di reciprocità i diametri sono tutte le rette che passano per il centro

2) Se C è una parabola ⇒ ℓ tangente a r_∞

Se il centro è C_∞, unico punto improprio della conica

I diametri di una parabola passano tutti per C_∞, sono paralleli tra loro

C parabola ⇔ C_∞ ∈ C ℓ

3) C = ellisse o iperbole r_∞ non è tangente a ℓ

⇒ C ∉ ℓ r_∞ ovvero C è un punto proprio

⇒ C ∉ ℓ poiché r_∞ non è tangente

Def

Ellisse e iperbole si dicono CONICHE A CENTRO, mentre le parabole si dice CONICHE NON A CENTRO.

Come si determina il centro di una conica? E i suoi diametri?

C : XAX = 0

C parabola ⇒ C_∞ unico pto improprio di C C_∞:

• XAX = 0
• X₃ = 0

C ellisse o iperbole

X_∞0 = [(1,0,0)]   [(0,4,0)]

Y_∞0 = [(0,1,0)]

calcoliamo le loro polari:

P_z [ x, x₁, x₂, x₃ ]

(1 o o)

( a₁ a₂ a₃ )

( a₂ a₂₂ a₂₃ )

( a₃ a₂₃ a₃₃ )

( a_n a₁₂ a_n )

Y_∞

( 0 1 a )

.

d_x: a₁ x + a₂ x₁ + a₃ x₃ = 0

C.

Equazione del fascio di diametri:

C . [...]

d₁: a₂ x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ = 0

( a_n x₁ + a₂) x₂ + a₃ x₃ = 0

a₁₂ x₁ + a₂