Algebra e Geometria Teoria

03/12/2018

OSSERVAZIONI

1) P conica generale FT. P → p POLARITÀ associata a C

2) p p' coniugat: x'Ax' = 0

P ∉ C ⟶ x'Ax ≠ 0 ⟶ P è coniugato con l.i. stesso AUTOCONIUGATO

I punti di C sono tutti e soli: punti autoconjugati del piano

3) p p' coppia poli-polire P ∈ p? ↔ P è coniugato ↔ P ∈ C

Teorema (principio di reciprocità)

Siano C una conica generale e P un punto e p una sua polare, allora:

1) le polari dei punti di p passano per P

2) i pol. delle rette passanti per P stanno su p

Dim

1) Sia Q ∈ p=p polare di P luogo dei coniugati di P

⟶ Q è coniugato di P

⟶ P è coniugato di Q

⟶ P ∈ luogo dei coniugati di Q = retta polare di Q

2) (Analogo)

Teorema (caratterizzazione geometrica della polare)

Sia C una conica generale e P un punto

1) Se P ∈ C, allora la polare p di P è la retta tangente a C in P

2) Se P ∉ L allora la sua polare p è la retta congiungente i punti di

tangenza con L delle rette tangenti la conica condotta da P.

Dim.

2) t₁, t₂ tangenti:

chi è il polo di t₁?

→ polo = T₄

P ∈ t₄ → per il principio di reciprocità T₄ ∈ p

Analogamente per t₂: il suo polo è T₂

↓

Da t₂ su p: per il principio di reciprocità T₂ ∈ p

↓ T₄∉ T₂ perché P ∉ L ⇒ p = T₁ T₂

PROPRIETÀ DELLE CONICHE GENERALI

Def

si chiama CENTRO di una conica generale L il polo della retta impropria nella

polarità definita da L; si chiamano DIAMETRI le polari dei punti della retta

impropria.

C e iperbole

P_∞, Q_∞ reali e distinti

2 asintoti reali e distinti.

C e ellisse

P_∞, Q_∞ immaginari e coniugati

2 asintoti immaginari e coniugati.

C e parabola

P_∞, Q_∞ reali e coincidenti

l'unica tangente è r_∞, ma non è un asintoto di definizione

⇒ C e priva di asintoti

Esempio

C : x₁² + y₁² + 2x₁y₁ - 4y₁ = 0

A = ^{1 1 0}     -1 2     0 -2

|A| = 4 ≠ 0 ⇒ C generale

|A*| = ^{1 1 2}     -2 •      1 1

x₁ + x₂ = 0, x₃ = 0

C proprio

{ x + y = 0 {x - y = -2

C = (4,1,-1)

Asintoti: 2 reali e distinti:

x₁² +y₁² + 2x₁y₁ = 0x₃ = 0

Centro:

{_{x1² + x2² + 2x1x2 = 0}

{_{x1 + x2}² = 0}

C_∞ = [< 1, 1, 0 >]

C_∞^⊥ = [< 1, 1, 0 >]

asse a — polare di: C_∞^⊥

{^{(1 1 0)}

{_(X1)

{_{(X2) = 0}

{_(X3)

{

(2 2 -1) {^{(X₁) = 0}

X^{a: 2x₁ + 2x₂ - x₃ = 0}

a: 2x + 2y - 1 = 0

V = ℒ ∩ a :

({_{(x + y)² - 2y = 0};

2x + 2y - 1 = 0)

{¹ {_{- 2y = 0}

{x + y = {^1/2

({y = {^1/8

({x = {^3/8

V = C [<{^3/8_1/8>]

AMPLIAMENTO E COMPLESSIFICAZIONE DI A₃(R₂)

Def

Lo spazio affine ampliato A₃(R₂) è la struttura geometrica così composta:

1. L'insieme dei punti Ω a cui dare A è l'insieme dei punti di A₃(R₂) (PUNTI PROPRI) e Ω∞ è l'insieme dei PUNTI IMPROPRI, ovvero delle rette ove giacciono i vettoriali di dimensione 1.
2. Alle rette di A₃(R₂), ciascuna ampliata con l'aggiunta del punto improprio che corrisponde alla sua direzione, si aggiungono le RETTE IMPROPRIE, ovvero, le giaciture dei piani, ovvero, i sottospazi vettoriali di dimensione 2.
3. A piani già esistenti in A₃(R₂), ciascuno ampliato con la retta impropria corrispondente alla sua giacitura, si aggiunge un'ulteriore piano α∞, chiamato PIANO IMPROPRIO, formato da tutti i punti impropri.

hanno in comune la stessagiaciturasono paralleli

SUPERFICI ALGEBRICHE REALI

DefUna SUPERFICIE ALGEBRICA REALE di A₃(_C) è il luogo dei punti le cui coordinate omogenee sono classi di equivalenza complesse di un'equazione F (x, x₁, x₄) = 0 dove F è un polinomio omogeneo non costante a coeff. non reali.

esempio:

1. 2x₁ + 3x₂ - x₃ - 4x₄ = 0
2. Σ⁴y⁴ + x² - 2x + 4y - 3 = 0

x₁ + x₂⁴ + x₃ - 2x₁ + 4x₃x₄ - 3x₄² = 0

Def Una superficie alg. reale si dice RIDUCIBILE se il polinomio F(x₁, x₂, x₃, x₄) che la rappresenta è fattorizzabile nel prodotto di grado positivo. IRRIDUCIBILE in caso contrario.

esempio

• x₁² - x₂² = 0 → (x₁ - x₂) (x₁ + x₂) = 0

Def Una curva algebrica reale di A₃(_C) è il luogo dei punti di intersezione di due superfici algebriche reali distinte e non contenute una dentro l'altra.

=>" Ip: Q riducibile

Ts: Q ammette almeno 2 pti. doppi. distinti.

Q = α ∪ β

Sia P ∈ X ∩ β; dimostriamo che P è doppio: supponiamo per assurdo che P sia semplice; sia r una generica retta passante per P

r ∩ Q = {P, H}

con H ≠ P

H ∈ Q = α ∪ β

H ∈ α

H ∈ β

Supponiamo H ∈ α

P ∈ α ∩ β ⇨ Pv r ⊆ α

(r è una retta generica)

e non una retta contenuta

in Q

=> Pv H ovvero P è un punto doppio.

se x ≠ β p = retta; tutti i punti di tale retta sono doppi.

se x = β

x ∩ β = x β;

tutti i punti di x sono doppi.

∞² punti doppi

∞¹ punti doppi

∃! pto doppio

∄ pti doppi

Q irriducibile

Quadriche Generali

Q riducibile → tutte le sue sezioni piane sono riducibili.

Proposizione

Sia Q una quadrica irriducibile, \( P \in Q \) e α un piano passante per P.

1. Se P è doppio per Q allora P è doppio anche per la conica \( Q \cap \alpha \) e dunque tale conica è riducibile.
2. Se P non è doppio Q; P è doppio per \( \ell = Q \cap \alpha \) (e quindi tale conica è riducibile) se e solo se α è il piano tangente a Q in P.

OSS

1. Se Q = cono o cilindro di vertice Vα = piano passante per V ⇒ \( \ell = Q \cap \alpha \) è riducibile
2. Q = cono o cilindro di vertice Vα = piano t.c. \( Q \cap \alpha = \ell \) riducibile ⇒ \( \ell = r \cup s \subseteq Q \Rightarrow \begin{cases} V \in r \\ V \in s \\ \end{cases} \Rightarrow V \in \alpha \)