Geometria e Algebra - Soluzioni di un sistema lineare omogeneo

Soluzioni di un sistema lineare omogeneo

Definizione del sistema

Sia S un sistema lineare omogeneo su un campo I_K:

· · · a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

· · · a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

· · · a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

e sia A = · · ·

 a₁₁  a₁₂  ...  a_1n

 a₂₁  a₂₂  ...  a_2n

···

 a_m1  a_m2  ...  a_mn

la matrice associata.

Teorema

L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo S di m equazioni in n incognite, è un sottospazio vettoriale di I_K di dimensione n - ρ(A).

Dimostrazione

Sia l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo S. Sia f l'applicazione lineare associata alla matrice A, ovvero:

f : X ∈ I_Kⁿ → AX ∈ I_K^m

dove X =  x₁ x₂ ... x_n 

Osserviamo che Ker(f) = {X ∈ I_Kⁿ : AX = 0} e dunque è un sottospazio vettoriale di I_Kⁿ.

Inoltre, un sistema di generatori di Im(f) è dato dai vettori A[f(1, 0, ... , 0), f(0, 1, 0, ... , 0), ... , f(0, 0, ... , 0, 1)].

Osserviamo che f(1, 0, ... , 0) =  A₁ 0 ... 0 

Analogamente, f(0, 1, 0, ... , 0) = C₂, ... , f(0, 0, ... , 0, 1) = C_n, dove C₁, C₂, ... , C_n sono le colonne della matrice A.

Ne segue che Im(f) = L(C₁, C₂, ... , C_n), e dunque, per il teorema di Kronecker, dim(Im(f)) = ρ(A).

Dal teorema delle dimensioni, si trae dim(S) + ρ(A) = n, da cui dim(S) = n - ρ(A).