Geometria e Algebra - Soluzioni di un sistema lineare omogeneo

Soluzioni di un sistema lineare omogeneo

Sia S un sistema lineare omogeneo su un campo IK:

· · ·

 a x + a x + + a x = 0

11 1 12 2 1n n



 · · ·

a x + a x + + a x = 0



 21 1 22 2 2n n

···





 · · ·

a x + a x + + a x = 0

 m1 1 m2 2 mn n

e sia · · ·

a a a

 

11 12 1n

· · ·

a a a

 

21 22 2n

A =  

··· ··· ··· ···

 

 

· · ·

a a a

m1 m2 mn

la matrice associata.

Teorema. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo S di

n

m equazioni in n incognite, è un sottospazio vettoriale di IK di dimensione

−

n ρ(A). S

Dimostrazione. Sia l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo

S. Sia f l’applicazione lineare associata alla matrice A, ovvero

A n m

∈ −→ ∈

f : X IK AX IK

A

 

x 1

x

 

2 n

  ∈

dove X = IK .

..

 

.

 

 

x n n

{X ∈ S, S

Osserviamo che Kerf = IK : AX = 0} = e dunque è un

A n

sottospazio vettoriale di IK .

Inoltre una sistema di generatori di Imf è dato dai vettori

A

[f (1, 0, . . . , 0), f (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , f (0, 0, . . . , 0, 1)]

A A A

 

1

0

 

 

Osserviamo che f (1, 0, . . . , 0) = A = C .

..

A 1

 

.

 

 

0

Analogamente f (0, 1, 0, . . . , 0) = C , . . . , f (0, 0, . . . , 0, 1) = C , dove C , C , . . . , C

A 2 A n 1 2 n

sono le colonne della matrice A.

L(C

Ne segue che Imf = , C , . . . , C ), e dunque, per il teorema di Kro-

A 1 2 n

necker, dim(Imf ) = ρ(A).

A

Dal teorema delle dimensioni si trae dimS + ρ(A) = n, da cui 2

−

dimS = n ρ(A).