Geometria e Algebra Lineare - Forme Quadratiche (+ sintesi)

III Ittiti

Deteriigheritightirittterritttii

Rn IR QUI

IN

detta

è è

FORMA REALE

Un'applicazioneQ se un

QUADRATICA su

reali

di nelle

secondo

polinomio coefficienti componenti

grado a

omogeneo Rn

del vettore X di

in

x di monconi

Un è dalla

dato

secondo di

somma

polinomio grado

omogeneo termine

forma

della

di che essere QUADRATO

2 oppure

grado possono

i termine

j

forma

della con

Xix RETTANGOLARE nel

Qualsiasi

forma in forma

scritta matriciale

può essere

quadratica seguente

ln simmetrica

QQ i

X A

AX della

XTAX.com

modo EMIR coefficienti

e

matrice trovano nel

si modo È

seguente I

III II n n

Q 3yai

5kt

Esempio 4yz

zxz.am

È 1

5 o

1

a

an È

f a

a

3 a 2 02

1

a O

O a

a

canonica

FORMA

Qualsiasi forma detta

forma scritta canonica

in

quadratica può essere una il

matrice

la simmetrica

siccome a è

Infatti teorema

Emir è

per

n spettrale

Qi Xtax

Quindi data forma è

quadratica

la possibile

diagonalizzabile baseortogonale

determinare auto

Rn di

costituita

di A

vettori

da

una e

matrice M tale che scrivere

X

esiste MX si

quindi

quindi una può i

Ita Mta

MX

MX X

X n

a in base

in tale

la è in

QQ X'TAX

forma detta canonica

FORMA quanto

scritta a

fatto è

è XI

XI

Q al che

X t

X come ta

a grazie

ann

matrice diagonale

una

SEGNO

0k reale

sia Rn IR forma quadratica

una QU VX

Q Arn

DEFINITA so

è POSITIVA se

Q è VX

QUI io

DEFINITA se

NEGATIVA Gran

Q

è

Q 1011

semi VX

DEFINITAPOSITIVA X 0

20

se Gran

QQ

Q QlX

VXIO.mn

SEMI

è O

0

c

DEFINITANEGATIVA se i Ovvero

dei

Q si casi

verifica

è INDEFINITA precedenti se

nessuno

se non abbia

Rn si

cui Y

Y

esistono in co

0 e

per

e fan

WAX Rn a

forma sia

sia quadratica e

su in

una or

spec

definita Ki

Q detta positiva

è so

ai Hi

definita

Q detta

è ai co

negativa s ti t.ca

Ki

detta semidefinita positiva

è xiao

s 0

definita Ki