Geometria e Algebra Lineare - Autovalori e Diagonalizzazione

Proprietà delle matrici quadrate di ordine reale

Una matrice quadrata di ordine reale è una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne.

La matrice A è di ordine n.

Il polinomio caratteristico di una matrice t è una funzione detta polinomio caratteristico che si ottiene equagliando a zero il determinante della matrice A - λE, dove E è la matrice identità di ordine n.

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Valgono le seguenti affermazioni:

1. Il grado del polinomio caratteristico di A è n.
2. Il termine di grado massimo del polinomio caratteristico è 1.
3. Il termine di grado n-1 del polinomio caratteristico è noto come termine dominante.
4. La matrice A ammette n autovalori reali distinti.
5. Le radici del polinomio caratteristico sono i valori degli autovalori della matrice A.
6. La matrice A ammette al massimo n autovalori reali distinti.

Esercizio: Calcoliamo i valori degli autovalori della matrice A e determiniamo il polinomio caratteristico.

Soluzione:

Il polinomio caratteristico è dato da:

p(λ) = (λ - z)(λ - z1)(λ - z2)...(λ - zn)

dove z, z1, z2,..., zn sono gli autovalori della matrice A.

Calcoliamo i valori degli autovalori:

z = 1

z1 = 3

z2 = 2

Il polinomio caratteristico è quindi:

p(λ) = (λ - 1)(λ - 3)(λ - 2)

La matrice A ha quindi tre autovalori: 1, 3 e 2.

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