Geometria e Algebra Lineare - Autovalori e Diagonalizzazione

5 AUTOVALORI E DIAGONALIZZAZIONE

In tutto il capitolo si lavora su matrici quadrate A ∈ M_IR(n) e su operatorilineari (o endomorfismi), quindi su applicazioni lineari del tipo: L: U → Uo L: IRⁿ → IRⁿ.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali IR e sia L: U → U un operatore lineare:

• un vettore non nullo y ∈ U è detto autovettore di L se L(y) ∈ span(y);
• un numero reale λ ∈ IR è detto autovalore di L se esiste un autovettorey ∈ U tale che L(y) = λy, y è detto autovettore relativo all'autovalore λ.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo IR e sia L: U → U un operatore lineare.Viene detto SPETTRO di L l'insieme di tutti gli autovalori di L, ossia:Spec(L) = {λ ∈ IR|∃ y ∈ U, y ≠ 0, L(y) = λy}.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo IR e L: U → U un operatore lineare. Siaλ ∈ IR un autovalore di L, l'insieme U_λ = {y ∈ U| L(y) = λy} è detto autospaziorelativo all'autovalore λ, l'equazione vettoriale L(y) = λy è detta equazionedegli autospazi U_λ.

In FORMA MATRICIALE tutto si traduce in:

• A ∈ M_IR(n) una matrice quadrata a entrate reali;
• un vettore non nullo X ∈ IRⁿ è detto AUTOVETTORE di A se Ax ∈ span(X);
• un numero reale λ ∈ IR è detto AUTOVALORE di A se esiste un autovettore X ∈ IRⁿtale che Ax = λX, X è detto autovettore relativo all'autovalore λ;
• sia λ ∈ IR un autovalore di A, l'insieme V_λ = {X ∈ IRⁿ | Ax = λX} è dettoAUTOSPAZIO di A relativo all'autovalore λ, l'equazione Ax = λX è dettaequazione dell'autospazio V_λ di A.

Esempio: A = ^{(1 3 2)}_{(2 4 2)} e il 5 è autovalore di A?5 è autovalore di A se e solo se esiste un vettore X =^(x)_(y) ∈ IR², X ≠ 02tale che A x = 5x:AX = ^{(1 3)}_{(2 4)}^(x)_(y)= X = A X = X = 5X =^(5x)_(5y)quindi l'equazione Ax = 5X si traduce nel sistema di due equazioniin due incognite:x + 3y = 5x2x + 4y = 5y^{(-4 3)}_{(2 -3)}la cui matrice deicoefficienti è A - 5I₂.l'equazione è verificata se e solo se il determinante della matricedei coefficienti del sistema è nullo: | -4 3 | ≠ 0, il sistema | 2 -3 | ammette solo soluzione banale, quindi 5 non è autovalore di A.

Esempio: A =^{(0 1)}_{(1 0)}X =⁽¹⁾₍₁₎è autovettore di A ?

AX = λX → ^{(0 1)}_{(1 0)}⁽¹⁾₍₁₎ = ⁽¹⁾₍₀₎= ⁽¹⁾₍₁₎e autovalore di Arelativo a λ = 1.

5 AUTOVALORI E DIAGONALIZZAZIONE

In tutto il capitolo si lavora su matrici quadrate A ∈ M_R(n) e su operatori lineari (o endomorfismi), quindi su applicazioni lineari del tipo: L: U -> U o L: Rⁿ -> Rⁿ.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali R e sia L: U -> U un operatore lineare:

• un vettore non nullo y ∈ U è autoautovettore di L se L(y) ∈ span(y);
• un numero reale λ ∈ R è detto autovalore di L se esiste un autovettore y ∈ U tale che L(y) = λy, e y è detto autovettore relativo all'autovalore λ.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo R e sia L: U -> U un operatore lineare. Viene detto SPETTRO di L l'insieme di tutti gli autovalori di L, ovvia: Spec(L) = {λ ∈ R|∃y ∈ U, y ≠ 0, L(y) = λy}.

Sia U uno spazio vettoriale sul campo R e sia L: U -> U un operatore lineare. Sia λ ∈ R un autovalore di L, l'insieme U_λ = {y ∈ U|L(y) = λy} è detto autospazio relativo all'autovalore λ; l'equazione vettoriale L(y) = λy è detta equazione dell'autospazio U_λ.

In FORMA MATRICIALE tutto si traduce in:

• A ∈ M_R(n) dove una matrice quadrata a entrati reali;
• un vettore non nullo x ∈ Rⁿ è detto AUTOVETTORE di A se Ax ∈ span(x);
• un numero reale λ ∈ R è detto AUTOVALORE di A se esiste un autovettore x ∈ Rⁿ tale che Ax = λx, x è detto autovettore relativo all'autovalore λ;
• sia λ ∈ R un autovalore di A, l'insieme U_λ = {x ∈ Rⁿ|Ax = λx} è detto AUTOSPAZIO di A relativo all'autovalore λ, l'equazione Ax = λx è detta equazione dell'autospazio U_λ di A.

Esempio: A = (1 3 / 2 2) λ = 5 è autovalore di A?

5 è autovalore di A se e solo se esista un vettore x ≠ 0 tale che Ax = 5x:Ax = (1 3 / 2 2)(x / y) = x + 3y / 2x + 2y = (5x / 5y)quindi l'equazione Ax = 5x si traduce nel sistema di due equazioni in due incognite: x + 3y = 5x | -4x + 3y = 02x + 2y = 5y | 2x - 3y = 0 la cui matrice ai coefficienti è A - 5I₂:l'equazione è verificata se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è nullo: |-4 3| = 0, il sistema ridottoalmette solo soluzioni banali, quindi 5 non è autovalore di A.

Esempio: A = (0 1 / 1 0) λ = (y / 1)x = (y / 1) è autovettore di A?Ax = λx -> (0 1 / 1 0)(1 / 0) = (0 / 1) = (0 / 1).1 1 1 è autovalore di A relativo a λ = 1.

Siano A∈ℳ_ℝ(n) una matrice reale quadrata di ordine n ≥ 2 e λ∈ℝ:

λ è un autovalore di A ⇔ |A-λI_n| = 0.

POLINOMIO CARATTERISTICO

Sia A∈ℳ_ℝ(n) una matrice reale di ordine n≥2. L'equazione nell'incognita t che si ottiene eguagliando a zero la funzione p_A(t): | A-tI_n | = 0 è detta EQUAZIONE CARATTERISTICA della matrice A.

Sia A∈ℳ_ℝ(n) una matrice quadrata reale di ordine n. Valgono le seguenti affermazioni: - la funzione p_A(t) = det(A-tI_n) è un polinomio in t (t∈ℝ[t]) di grado n; - il termine di grado massimo di p_A(t) è (-1)ⁿtⁿ; - il termine di grado n-1 è (-1)^n-1t^n-1+tr(A); - il termine noto di p_A(t) è det A.

Sia A∈ℳ_ℝ(n) una matrice reale quadrata di ordine n. Il polinomio p_A(t) = det(A-tI_n) è detto POLINOMIO CARATTERISTICO della matrice A. Gli autovalori di A sono tutte e sole le radici del polinomio caratteristico p_A(t) = 0. La matrice A ammette al massimo n autovalori reali.

Esercizio: A = 0-12121313 per determinare gli autovalori di A, calcoliamo

il polinomio caratteristico di A: p_A(t) = |A-tI₃| = -t-1212-t1313-t

= (t-1)² (t-3) = 0.La matrice ha autovalori λ₁ = 1, λ₂ = 3.

Sia A∈ℳ_ℝ(n) una matrice reale quadrata di ordine n con polinomio caratteristico p_A(t)∈ℝ[t]. Sia λ∈ℝ un autovalore di A: si chiama MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA di λ la molteplicità μ di λ come radice del polinomio caratteristico p_A(t), e scriveremo in simboli μ(λ) = μ.Un autovalore di molteplicità algebrica 1 è detto SEMPLICE.Nell'esercizio precedente μ(1) = 2 e μ(3) = 1.

Proprietà: sia A∈ℳ_ℝ(n) una matrice reale triangolare di ordine n, gli autovalori di A sono gli n-elementi sulla diagonale principale di A.

Siano A e B due matrici simili di ℳ_ℝ(n). Le matrici A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico: p_A(t) = p_B(t).Se le matrici A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico, allora hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità algebriche. La condizione tuttavia è solo necessaria ma non sufficiente a garantire che le matrici A e B siano simili.

Siano A∈ℳ_ℝ(n) una matrice quadrata reale di ordine n e λ∈ℝ un autovalore di A. Viene detto MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA di λ la dimensione dell'autospazio associato a λ: m(λ) = dim(ℰ_λ) = n-rg(A-λI_n).