Geometria e algebra

22/6/2005

Marcare con una crocetta le risposte ritenute corrette e consegnare la scheda al termine della prima ora. Per annullare una risposta già marcata, cerchiarla. Per ogni domanda vi possono essere da 0 a 4 risposte esatte. Per ogni domanda, la somma dei punti per le risposte errate è -2, per le risposte esatte è +2.

1. Date A, B ∈ M₂(R), A = 2 -1 -1 4 , B = 3 4 4 3 ,

   1. esse sono simili e congruenti.
   2. esse sono congruenti ma non sono simili.
   3. esse sono simili ma non sono congruenti.
   4. esse non sono né congruenti né simili.

2. Sia A ∈ M₉(R) la matrice i cui elementi a_ij = -1 e a_gg = 1 e gli altri sono nulli. Allora A

   1. ha un autovalore di molteplicità geometrica 7.
   2. ha solo due autovalori reali.
   3. ha 1 come autovalore.
   4. ha 0 come autovalore.

3. In uno spazio euclideo E³, rispetto ad un riferimento cartesiano, il sottospazio di equazioni

   • x = v - w + 2
   • y = -v + w + 2
   • z = 1
   1. un piano parallelo al piano coordinato xy.
   2. una retta parallela al piano coordinato xy.
   3. una retta parallela all'asse coordinato y.
   4. un piano parallelo all'asse coordinato x.

4. Siano A e B due sistemi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V di dimensione n. Allora è sempre vero che

   1. hanno lo stesso numero di vettori
   2. A è contenuta in almeno una base.
   3. B contiene almeno una base.
   4. D hanno al più n vettori.

22/6/2005

Marcare con una crocetta le risposte ritenute corrette e consegnare la scheda al termine della prima ora. Per annullare una risposta già marcata, cerchiarla. Per ogni domanda vi possono essere da 0 a 4 risposte esatte. Per ogni domanda, la somma dei punti per le risposte errate è -2, per le risposte esatte è +2.

1. Date A, B ∈ M₂(R), A = 2 -1 -1 4 , B = 3 4 4 3 ,
• A) esse sono simili e congruenti.
• B) esse sono congruenti ma non sono simili.
• C) esse sono simili ma non sono congruenti.
• D) esse non sono né congruenti né simili.
2. Sia A ∈ M₉(R) la matrice i cui elementi a_8,9 = -1 e a_9,9 = 1 e gli altri sono nulli. Allora A
   • A) ha un autovalore di molteplicità geometrica 7.
   • B) ha solo due autovalori reali.
   • C) ha 1 come autovalore.
   • D) ha 0 come autovalore.
3. In uno spazio euclideo E³, rispetto ad un riferimento cartesiano, il sottospazio di equazioni {x = v - w + 2y = -v + w + 2z = 1} è
• A) un piano parallelo al piano coordinato xy.
• B) una retta parallela al piano coordinato xy.
• C) una retta parallela all'asse coordinato y.
• D) un piano parallelo all'asse coordinato x.
4. Siano A e B due sistemi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V di dimensione n. Allora è sempre vero che
   • A) hanno lo stesso numero di vettori
   • B) A è contenuta in almeno una base.
   • C) B contiene almeno una base.
   • D) hanno al più n vettori.

22/6/2005

5) Quali dei seguenti sottospazi di E⁴ (in coordinate euclidee x, y, z, u) sono piani?

1. x + y + z = 0.
2. x + 2y - z = 1

1. x = u = 0.
2. x = α + β
3. y = 1α - 1
4. z = β + 2
5. u = 3.

1. x + y = 2
2. y = 1
3. z = 0.

6) La forma quadratica reale q(x,y) = x² + 2xy + 3y² ha segnatura

1. (1, 2).
2. (2, 0).
3. (0, 2).
4. (1, 1).

7) In uno spazio euclideo di dimensione 3 siano date, rispetto ad un riferimento cartesiano, le

equazioni di quattro piani. Se, per il sistema da esse formato, il rango della matrice incompleta è 1 e quello della completa è 2, allora

1. i quattro piani sono paralleli