Geometria e algebra

22/6/2005

Marcare con una crocetta le risposte ritenute corrette e consegnare la scheda al termine della prima ora. Per annullare una risposta già marcata, cerchiarla. Per ogni domanda vi possono essere da 0 a 4 risposte esatte. Per ogni domanda, la somma dei punti per le risposte errate è -2, per le risposte esatte è +2.

1. Date \( A, B \in M_2(R), A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \),

   • A) esse sono simili e congruenti.
   • B) esse sono congruenti ma non sono simili.
   • C) esse sono simili ma non sono congruenti.
   • D) esse non sono né congruenti né simili.

2. Sia \( A \in M_9(R) \) la matrice i cui elementi \( a_{88} = -1 \) e \( a_{99} = 1 \) e gli altri sono nulli. Allora A:

   • A) ha un autovalore di molteplicità geometrica 7.
   • B) ha solo due autovalori reali.
   • C) ha 1 come autovalore.
   • D) ha 0 come autovalore.

3. In uno spazio euclideo \( E^3 \), rispetto ad un riferimento cartesiano, il sottospazio di equazioni

   \[ \begin{cases} x = v - w + 2 \\ y = -v + w + 2 \\ z = 1 \end{cases} \]

   • A) un piano parallelo al piano coordinato xy.
   • B) una retta parallela al piano coordinato xy.
   • C) una retta parallela all’asse coordinato y.
   • D) un piano parallelo all’asse coordinato x.

4. Siano A e B due sistemi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale reale V di dimensione n. Allora è sempre vero che

   • A) hanno lo stesso numero di vettori
   • B) A è contenuta in almeno una base.
   • C) B contiene almeno una base.
   • D) hanno al più n vettori.

22/6/2005

5) Quali dei seguenti sottospazi di ℝ⁴ (in coordinate euclidee x, y, z, u) sono piani?

A) x + y + z = 0.

B)

• x + 2y – z = 1
• x = u = 0.

C)

• α + β
• y = 1
• z = β + α – 1
• u = 3.

D) y = 1

   z = 0.

6) La forma quadratica reale q(x, y) = x² + 2xy + 3y² ha segnatura

A) (1, 2).

B) (2, 0).

C) (0, 2).

D) (1, 1).

7) In uno spazio euclideo di dimensione 3 siano date, rispetto ad un riferimento cartesiano, leequazioni di quattro piani. Se, per il sistema da esse formato, il rango della matrice incompletaè 1 e quello della completa è 2, allora

A) i quattro piani sono paralleli.

B) hanno solo una retta di vettori liberi in comune.

C) sono paralleli ad una stessa retta.

D) non hanno né punti né direzioni in comune.

8) Sia A una matrice reale quadrata di ordine 7.

A) Se det(A) = 0 allora i complementi algebrici degli elementi della sesta riga sono nulli.

B) Se det(A) = 0 allora in A esiste una riga che è combinazione lineare delle altre righe.

C) Se det(A) = 0 allora in A non esiste alcun minore di ordine 6 avente determinante non nullo.

D) Se det(A) = 0 allora gli elementi della diagonale principale di A devono essere nulli.

9) In uno piano euclideo ℝ², rispetto ad un riferimento cartesiano, l’ equazione 2x – 7y = 0rappresenta

A) una retta non passante per l’ origine.

B) una retta parallela all’ asse y.

C) un retta non parallela all’ asse x.

D) un retta non ortogonale agli assi coordinati.

SOLUZIONI: 1D 2AD 3B 4BD 5BC 6B 7AC 8B 9CD

COMPITO DEL 24/06/2005

ESERCIZIO 1

A =

| 13 -16 -32 |

| -16 -11 16 |

| -32 16 13 |

Δ = -121 -28 -3 = -43

56x - 16y - 32z = 0 → 7x - 2y - 4z = 0

x = ^{2y - 4z} / ₇

| x | | 0 |

| y | = | 0 |

| z | | 0 |

y = 1, z = 0 → ( ² / ₇, 1, 0 ) = v₁

y = 0, z = 1 → ( ⁴ / ₇, 0, 1 ) = v₂

un certo vettore x r¹ e

v₂ + b₁v₁ = ( -⁶ / ₄₉, ² / ₉, ² / ₉ ) = w₂

w₁ = ( -⁴ / ₉, 16, ⁸ / ₅₃ )

(-196 / 56, 379) · u₂

{ v₁, w₁, w₂ }

è una base ortonormale

λ_n = 23

{

}

x₁ + x₃ = 0

{

}

x₁ = α

x₂ = 0

x₃ = -α

BASE

BASE SPETTRALE

SEGNATURA û = (3, 0)

ESERCIZIO (5/7/2004)

{

}

(x - y, -z)

y = -1

y - 1 = 0

x y z 1 -8 00 1 01 00 8 -1 -1

x 1 -8 0x = - R 11 -1 -10 00 01 8 -1 -1

NOTE INCIDENTI IN UN PUNTO

d: y = x

d2: y = 2

DISTANZA di S

x y z-x + y - 8z = 0x + y + z = 0

S {

x y zx + y + z + y = 0x + 8y + z = 1

x - z-y + 8y + z = 0

x 1 -8 01 1 0S: x = 3z + y5x - y + z = 0

x = z, yx = -y, z, x = ay = x, zb = 0z = a

deb { x - z -1 -1

(

(y -1) -1 0

z -2) 0 1

II1 PIANO EQUATORE ax + by + cz + 0I = 0

//n -la -1b + 0c = 0

-la -0b+1

13/7/2005

Sostituire ai parametri a e b rispettivamente la penultima e l’ultima cifra del proprio numero di matricola(es.: numero 63571; a = 7, b = 1). Rispondere UNICAMENTE su questo foglio, sintetizzando primalo svolgimento e poi i risultati ottenuti, esclusivamente negli spazi appositamente predisposti.I risultati senza svolgimento non saranno considerati. Non consegnare alcun altro foglio.

1. Sia T l’endomorfismo di R³ tale che

T(1,0,0) = (−b+1, 0, 0), T(0,−1,0) = (0, −(a+2), (a+b+3)), T(0,0,1) = (0, −(a+b+3), (a+2)).

2. Dare la matrice A di T rispetto alla base naturale (1 pt) ed una base spettrale rispetto a T (4 pt).

3. Sia T zero la segnatura di A (2 punti) e l’equazione canonica euclidea della conica avente matrice A (2 pt).

   Sia dato il sistema lineare nelle incognite reali x, y, z:

(t−2)x + (b+1)y = ax + 1      q ~ 6

x − (b+1)y + tz = t − a − 3      q ~ 7

3. Si discutano, al variare del parametro t in R, parallelismo ed incidenza tra la retta r data dalle primedue equazioni ed il piano π dato dall’ultima equazione (4 punti).

4. Per t = 1, si trovino le distanze di r dall’origine O (3 punti) e di r da π (2 punti).

14/4/2008

Sostituire ai parametri a e b rispettivamente la penultima e l’ultima cifra del proprio numero di matricola(es.: numero 63571; a = 7, b = 1). Rispondere UNICAMENTE su questo foglio, sintetizzando prima lo svolgimentoe poi i risultati ottenuti, esclusivamente negli spazi appositamente predisposti.I risultati senza svolgimento non saranno considerati. Non consegnare alcun altro foglio.

1. Sia T l’endomorfismo di R³ tale che

   T(1, 0, 0) = (−b + 1, 0, 0), T(0, 1, 0) = (0, −(a + b + 3), (a + 2)), T(0, −1, 0) = (0, −(a + 2), (a + b + 3)).

   1. Trovare la matrice di A di T rispetto alla base naturale (1 pt) ed una sua base spettrale (3.5 pt).

   2. Si trovi la segnatura di A (1.5 punti) e l’equazione canonica della conica di matrice A (3 punti).

2. In uno spazio euclideo E³, rispetto ad un riferimento cartesiano, siano r ed s le rette di equazioni cartesiane:

   • ((a + 1)x + (a + 1)y + (b + 1)z = u + 1
   • (a + 1)x + (a + 1)y + (b + 2)z = u + 1
   • u(x − y + (u + 1)z = 1
   • (u + 1)x + z = 0
   1. Discutere l’incidenza ed il parallelismo tra r ed s al variare di u ∈ R (4 pt).
   2. Trovare la distanza tra r ed s per u = 0 (3 pt) e per u = −1 (2 pt).

1a₁) Svolg. + Risult.

1a₂) Svolg. + Risult.

1b₁) Svolg. + Risult.

1b₂) Svolg. + Risult.