Geometria - Domande e risposte

1. Coordinate cartesiane e polari del piano

PH = ρ · sinϑOH = ρ · cosϑ

ϑ = arctan y/xρ = √(x² + y²)

2. Vettori liberi dello spazio con somma, prodotto e proprietà

Somma: v + w - metodo punta-coda

Prodotto:αv - verso, modulo, direzione

Proprietà della somma

1. Commutativa: v + w = w + v il risultato non cambia
2. Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Elemento neutro: esiste un vettore nullo tale che v + 0 = 0 + v = v
4. Esistenza dell'opposto: v + ( -v ) = -v + v = 0

Proprietà del prodotto

1. Associativa: α (β v) = (α · β) v
2. Distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori: α (v + w) = αv + αw
3. Distributiva del prodotto rispetto alla somma di numeri: (α + β) v = αv + βv
4. Unità: 1 · v = v

Prodotto scalare. Definizione, proprietà, ortogonalità, formula per componenti ortogonali, applicazioni.

\[\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos{\theta}\]

Proprietà

1. Commutativa. \(\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}\)
2. Distribuiva. \(\vec{v} \cdot (\vec{u} + \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{w}\)
3. Omogeneità. \(\alpha (\vec{v} \cdot \vec{w}) = (\alpha \vec{v}) \cdot \vec{w} = (\alpha \vec{w}) \cdot \vec{v}\)

Ortogonalità

\(\vec{v} \perp \vec{u} \Leftrightarrow \vec{v} \cdot \vec{u} = 0\)

Formula per componenti ortogonali:

\[\vec{v_1} = (x_1, y_1)\]

\[\vec{v_2} = (x_2, y_2)\]

\[\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2\]

Dimostrazione:

\[\vec{v_1} = x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j}\]

\[\vec{v_2} = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}\]

\[\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (x_1\vec{i} + y_1 \vec{j}) \cdot (x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}) = x_1x_2 \vec{i} \cdot \vec{i} + x_1y_2 \vec{i} \cdot \vec{j} + y_1x_2 \vec{j} \cdot \vec{i} + y_1y_2 \vec{j} \cdot \vec{j} = x_1x_2 + y_1y_2\]

Prodotto vettoriale. Definizione, proprietà, formula per componenti ortogonali, significato della lunghezza

\[\vec{v} \land \vec{w} = \vec{u}\]

Proprietà

1. Anticommutativa
2. Distributiva
3. Omogeneità

Formula per componenti

\[\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\\end{vmatrix}\]

9) Teorema delle radici di un polinomio a coefficienti reali

Sia P(x) un polinomio reale e sia z ∈ ℂ una radice complessa di P.

Allora ŷ è ancora una radice di P. z e ŷ hanno la stessa molteplicità.

10) Scomporre nei suoi fattori irriducibili, sia in campo reale che complesso P(x) = x³ - 4x² + 6x - 4

x³ - 4x² + 6x - 4 = (x - 2)(x² - 2x + 2)

x₁/₂ = 1 ± √1-2₁ = 1 ± √1·i = 1 ± i

x³ - 4x² + 6x - 4 = (x-2)(x - 1 - i)(x - 1 + i)

11) Spazio vettoriale reale, assiomi di definizione, unicità vettore nullo, unità, opposto e regola dell’annullamento del prodotto

Uno spazio vettoriale è una terna ordinata (V, +, ·) dove “V” è l’insieme dei vettori, “+” è un’operazione interna detta “somma” e “·” è un’operazione esterna detta “prodotto esterno”.

La terna ordinata verifica 8 assiomi:

• Somma → proprietà:
  • commutativa
  • associativa
  • elemento neutro
  • opposto del vettore
• Prodotto → proprietà:
  • associativa
  • distributive del prodotto rispetto alla somma di vettori
  • distributiva rispetto alla somma di numeri
  • unità

Generalita' sui sistemi lineari

Rappresentazione mediante matrici

Condizione di risolubilita'

Insieme di equazioni di 1° grado

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁)

(a₂₁x₁ + ... + a_2nx_n = b₂)

(a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_n)

Un sistema lineare si dice omogeneo quando ha tutti i termini noti uguali a zero. Si dice compatibile se ammette almeno una soluzione.

Rappresentazione mediante matrici:

(a₁₁a₁₂ ... a_1n)(x₁) (b₁)

(.......... )(x₂) = (..)

(a_m1a_m2 ... a_mn)(x_n) (b_n)

A X = B

(a₁₁a₁₂ ... a_1nb₁)

(..........)

(a_m1a_m2 ... a_mnb_n)

matrice completa

Risolubilita':

La risoluzione e’ una colonna che sostituita alla colonna delle incognite rende la matrice un’identita’ di matrici.

Teorema di Rouche’-Capelli:

Un sistema lineare e’ compatibile se e solo se il rango della matrice completa e’ uguale al rango della matrice dei coefficienti.

Se r = n → la soluzione esiste ed e’ unica

Se r < n → vi sono ∞^n-r soluzioni

Teorema di Cramer:

Un sistema lineare quadrato ha un’unica soluzione se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti e’ diverso da zero.

Tale soluzione e’ A^-1B

27) Molteplicità algebrica e geometrica. Autovalori ripetuti. Diagonalizzazione, Teorema di caratterizzazione degli endomorfismi (matrici) diagonalizzabili

Molteplicità algebrica:

È il numero di volte con cui l'autovalore è soluzione dell'equazione caratteristica.

Molteplicità geometrica:

La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione del suo autospazio.

Autovalori ripetuti:

se mult(λ) = mult_g(λ) → autovalori regolari

Diagonalizzazione

Diagonalizzare A vuol dire trovare P tale che P^-1AP sia diagonale e calcolare P^-1AP in modo da diagonalizzare A

Teorema:

A è diagonalizzabile se e solo se ci sono tanti autovalori reali quanti è l'ordine di A

28) Matrici ortogonali e caratterizzazione

Una matrice A è ortogonale se A^-1 = A^T

Caratterizzazione:

P è ortogonale se e solo se le colonne e le righe di P formano una base ortonormale di Rⁿ euclideo.

29) Teorema fondamentale sugli endomorfismi autoadjoint e la diagonabilizzazione delle quadratrici reali e simmetriche

• Sia V uno spazio vettoriale reale con prodotto scalare dim n. Sia F: V → V un endomorfismo. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
• F è autoadgiunto
• F è semplice e gli autospazi di F sono a due a due ort.
• Esiste una base ortonormale di V formata da autovettori.
• A è simmetrica reale con A^T = A

Retta nel piano, Rappresentazione analitica

• VETTORE NORMALE ed EQUAZIONE CARTESIANA Luogo geometrico dei punti costituito da P₀ e da qualunque punto P tale che _P₀P ⟂ (a,b) - un dato vettore. P₀(x₀, y₀) P(x, y) (a, b)(x-x₀, y-y₀) = 0 r: a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0 → equazione cartesiana della retta
• VETTORE PARALLELO ed EQUAZIONI PARAMETRICHE Luogo geometrico dei punti: _P₀P // (l, m) (x-x₀, y-y₀) = t(l, m)
  • x-x₀ = lt
  • y-y₀ = mt
  or
  • x = x₀ + lt
  • y = y₀ + mt
  → equazione parametrica della retta
• RETTA PER DUE PUNTI \( \frac{x-x1}{x2-x1} = \frac{y-y1}{y2-y1} \)
• ALLINEAMENTO DI 3 PUNTI \(\begin{vmatrix} x₁ & y₁ & 1 \\ x₂ & y₂ & 1 \\ x₃ & y₃ & 1 \end{vmatrix} = 0\) P₁ ∈ P₂ P₃
• EQUAZIONE SEGMENTARIA DELLA RETTA
  • ax + by + c = 0
  • ax + by = -c