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  1. Coordinate cartesiane e polari del piano

PH=y=p sinϑ

OH=x=pcosϑ

  • ϑ = arctan y/x
  • p = √x2 + y2
  1. Vettori liberi dello spazio con somme, prodotto e proprietà

somma

  • v + w Metodo punta - coda

prodotto

  • αv verso, modulo, direzione

PROPRIETÀ DELLA SOMMA

  1. commutativa: v + w = w + v il risultato non cambia
  2. associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Elemento neutro: esiste un vettore nullo tale che v + o = v, v̅ = v
  4. Esistenza dell'opposto: v + (- v) = - v + v = o

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO

  1. associativa: α (βv) = (αβ) v
  2. Distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori: α (v + w) = αv + αw
  3. Distributiva del prodotto rispetto alla somma di numeri: (α+β)v = αv + βv
  4. Unità: 1v = v

  1. Coordinate cartesiane e polari del piano

    1. ϑ = arctan y/x

      ρ = √(x2 + y2)

  2. Vettori liberi dello spazio con somma, prodotto e proprietà

    • somma
    • prodotto
    • αᵥ → verso, modulo, direzione

    Proprietà della somma

    1. commutativa
    2. associativa
    3. elemento neutro
    4. esistenza dell'opposto

    Proprietà del prodotto

    1. associativa
    2. distributiva del prodotto rispetto alla somma di vettori
    3. distributiva del prodotto rispetto alla somma di numeri:
    4. unità

Prodotto scalare. Definizione, proprietà, ortogonalità, formula per componenti ortonormali, applicazioni.

v · w = |v| · |w| · cosθ

Proprietà

  1. Commutativa. v · w = w · v
  2. Distributiva. v · (u + w) = vu + vw
  3. Omogeneità. α(v · w) = (αv) · w = (αw) · v

Ortogonalità

v ⊥ w ⇔ v · w = 0

Formula per componenti ortonormali:

  • V1 = (x1, y1)
  • V2 = (x2, y2)

V1 · V2 = x1x2 + y1y2

Dimostrazione:

  • V1 = x1i + y1j
  • V2 = x2i + y2j

V1 · V2 = (x1i + y1j) · (x2i + y2j) = x1x2 i·i + x1y2 i·j + y1x2 j·i + y1y2 j·j = x1x2 + y1y2

Prodotto vettoriale. Definizione, proprietà, formula per componenti ortonormali, significato delle lunghezze

v ∧ w = u

Proprietà

  1. Anticommutativa
  2. Distributiva
  3. Omogeneità

Formula per componenti

  • | i j k |
  • | x1 y1 z1 |
  • | x2 y2 z2 |

5)

Prodotto misto. Definizione, proprietà, formula per componenti ortonormale, significato della lunghezza.

⃗ . (⃗ ∧⃗ ) = α

  • si mantiene per permutazioni circolari dei fattori
  • ≠ 0 ⟷ vettori linearmente indipendenti

volume

6)

I numeri complessi: Rappresentazione algebrica, somma e prodotto, l'inverso, coniugato. Rappresentazione geometrica e trigonometrica.

Rappresentazione algebrica

∈ ℂ

= + unità immaginaria

Somma

1 = 1 + 12 = 2 + 2

(1 + 2) = (1 + 1) + (2 + 2) = (1 + 2) + (1 + 2)

Prodotto

1 . 2 = (1 + 1) . (2 + 2) = 12 + 12 + 21 + 122 =

=(12 − 12) + (12

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher camillamarchetti di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di algebra lineare e geometria analitica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di L'Aquila o del prof Innamorati Stefano.
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