Geometria algebrica e teoria dei rivestimenti

Geometria 4

Introduzione alle categorie

Una categoria è data da:

1. Un insieme Ob(C) i cui elementi sono detti gli oggetti di C.
2. Per ogni X, Y ∈ Ob(C), un insieme Arr_C(X,Y) i cui elementi sono le frecce da X a Y.
3. Per ogni X, Y, Z ∈ Ob(C), una funzione chiamata composizione.

Arr_C(X,Y) x Arr_C(Y,Z) → Arr_C(X,Z)

(X_fY, Y_gZ) → g°f: X → Z

Questi dati devono soddisfare le condizioni seguenti:

1. La composizione è associativa: se f ∈ Arr_C(X,Y), g ∈ Arr_C(Y,Z) e h ∈ Arr_C(Z,W), allora (h°g)°f = h°(g°f).
2. ∀ X ∈ Ob(C) esiste 1_X ∈ Arr_C(X,X), tale che f ° 1_X = f ∀ f ∈ Arr_C(Y,X) e tale che 1_X ° g = g ∀ g ∈ Arr_C(X,Y).

Osservazione: Arr_C(X,Y) = Hom_C(X,Y) (omomorfismi).

Esempi

1. La categoria Ab dei gruppi abeliani:

Ob(Ab) = {gruppi abeliani}.

Arr_Ab(G,G') = {omomorfismi di gruppi abeliani f: G → G'}.

Geometria 4some aule

Libro "The arithmetic of elliptic curves" - Joseph Silverman 26 Settembre 2014

Introduzione alle categorie

Una categoria è data da analisi:

1. Un insieme Ob(C) i cui elementi sono detti gli oggetti di C.
2. Per ogni X, Y ∈ Ob(C), un insieme Arr_C(X,Y) i cui elementi sono le frecce da X a Y.
3. Per ogni X, Y, Z ∈ Ob(C), è data una funzione chiamata composizione.

Arr_C(X, Y) x Arr_C(Y, Z) ⟶ Arr_C(X, Z)

(f, g) ⟼ g ◦ f, X ⟶ Y ⟶ Z

Questi dati devono soddisfare le condizioni seguenti:

1. La composizione è associativa: se f ∈ Arr_C(X, Y) e g ∈ Arr_C(Y, Z) e h ∈ Arr_C(Z, W), allora (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
2. ∀ X ∈ Ob(C) esiste 1_X ∈ Arr_C(X, X) tale che f ◦ 1_X = f ∀ f ∈ Arr_C(X, Y) e 1_X ◦ g = g ∀ g ∈ Arr_C(Y, X).

Osservazione: Arr_C(X, Y) = Hom_C(X, Y) (omomorfismi).

Esempi

1. La categoria Ab dei gruppi abeliani:

Ob(Ab) = {gruppi abeliani}.

Arr_Ab(G, G') = {omomorfismi di gruppo abeliani f: G ⟶ G'}.

2. La categoria Vec(k) degli spazi vettoriali di dimensione finita sul campo k:

Ob(Vec(k)) = {k-spazi vettoriali, dim x < ∞}, {m: c₁m[x₁], k m, m =... (m riga, m colonna)}.

Arr Vec(k)(V, V') = {applicazioni lineari V → V'}.

f: V → V'

f(λx₂) = λf(x₂), f(x₂₁ + x₂₂) = f(x₂₁) + f(x₂₂) ∀λ ∈ k, x₁, x₂ ∈ V.

Una sottocategoria di C

Una sottocategoria di C è una categoria C' tale che:

• (a) Ob(C') ⊆ Ob(C).
• (b) ∀ X, Y ∈ Ob(C'), Arr C'(X, Y) ⊆ Arr C(X, Y).
• (c) La composizione su C' è indotta dalla composizione su C.
• (d) Le frecce identità su C' sono frecce identità su C.

Esempio: Se Vecⁿ(k) è la categoria degli spazi vettoriali di dim n su k, allora Vecⁿ(k) è una sottocategoria di Vec(k).

Funtore

Siano C e C' due categorie. Un funtore F: C → C' è dato da:

• (a) una mappa F: Ob(C) → Ob(C').

X |= ⟼ F(X)

• (b) una mappa F: Arr C(X, Y) → Arr C'(F(X), F(Y)).

(X |= ⟼ X' |= ⟼ F(X') |= F(f) ∀ X, Y ∈ Ob(C).

Tali che: F(1_X) = 1_F(X) ∀ X ∈ Ob(C) e F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) ∀ f: X → Y, g: Y → Z ∈ X (deve rispettare l'identità e la composizione).

Esempio

Sia CRing la categoria degli anelli commutativi con identità.

Sia Grp la categoria dei gruppi.

∀ m &in; N abbiamo il funtore:

GL_m: CRing → Grp.

R |→ GL_m(R) = GL(R,m) gruppo lineare generale/gruppo delle matrici M x M(R → R₁) |→ (GL_m(R) → GL_m(R₁)).

Trasformazione naturale

Siano S,T: A → B due funtori. Una trasformazione naturale η: S → T F(S → T) è una mappa che associa ad ogni oggetto X ε Ob(A) una freccia η_X: S(X) → T(X) di Arr.