Geometria algebrica e teoria dei rivestimenti

GEOMETRIA 4

• some calcol
• Claro - "The arithmetic of elliptic curves" - Joseph Silverman

26 Settembre 2014

Introduzione alle categorie

Una categoria è data da:

1. un insieme Ob(c) i cui elementi sono detti gli oggetti di c

2. per ogni X, Y ∈ Ob(c) un insieme Arr_c(X, Y) i cui elementi sono le frecce da X a Y

3. per ogni X, Y, Z ∈ Ob(c) una funzione chiamata composizione

Arr_c(X, Y) × Arr_c(Y, Z) → Arr_c(X, Z)

(f: X → Y, g: Y → Z) → g o f : X → Z

Questi dati devono soddisfare le condizioni seguenti:

1. a) la composizione è associativa

se f ∈ Arr_c(X, Y), g ∈ Arr_c(Y, Z) e h ∈ Arr_c(Z, W) allora (h o g) o f = h o (g o f)

2. b) ∀ X ∈ Ob(c) esiste 1_X ∈ Arr_c(X, X) tale che f o 1_X = f ∀ f ∈ Arr_c(X, Y) e tale che 1_X o g = g ∀ g ∈ Arr_c(Z, X)

Elemento neutro

OSSERVAZIONE Arr_c(X, Y) = Hom_c(X, Y) omomorfismi

ESEMPI

1. La categoria Ab dei gruppi abeliani

Ob(Ab) = {gruppi abeliani}

Arr_Ab(G, G') = {omomorfismi di gruppi abeliani f : G → G'}

La categoria Vec(k) degli spazi vettoriali di dimensione finita sul campo k

Ob(Vec(k)) = { k-spazi vettoriali dim _k ⁿ } { m₁, ..., m_k }, k m.m.m = { Σ (a_i^j) | m righe, n colonne } Arr Vec(k) (V, V') = { applicazioni lineari V -> V' } f : V -> V' f(λx) = λf(x) f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂) ∀ λ ∈ k , x₁, x₂ ∈ V

Una sottocategoria di E è una categoria E' tale che:

• Ob(E') ⊆ Ob(E)
• ∀ X, Y ∈ Ob(E) Arr_E'(X,Y) ⊆ Arr_E(X,Y)
• La composizione di E' è indotta dalla composizione di E
• Le frecce identità di E' sono frecce identità di E

Esempio: Se Vec^m(k) è la categoria degli spazi vettoriali di dim m su k, allora Vec^m(k) è una sottocategoria di Vec(k)

Siano E e E' due categorie. Un funtore F: E -> E' è dato da

• (a) una mappa F : Ob(E) -> Ob(E') X |-> F(X)
• (b) una mappa F : Arr_E(X,Y) -> Arr_E'(F(X),F(Y))

(X -> f ) |-> (F(X) -> F(Y)) ∀ X,Y ∈ Ob(E) tali che F(1_X) = 1_F(X) ∀ X ∈ Ob(E) e F(f ⚬ g) = F(f) ⚬ F(g) ∀ f : X -> Y, g : Z -> X

(deve rispettare l'identità e la composizione)

ESEMPI

1. Il funtore "prendere il duale"

   • Vec(k) → Vec(k) è contravariante
   • V ↦ V^* = Hom_k(V, k)
   • (V ↦ W) ↦ (W^* ← V^*) (α ↦ αf)

2. Sia C una categoria, X ∈ Ob(C)

   • Il funtore Arre_C(X, -): C → Set (categoria degli "insiemi")
   • Y ↦ Arre_C(X, Y)
   • (X, g: fфицz) ↦ (Arre_C(X, Y) → Arre_C(X, Z))
     • g_* = f•α

3. Il funtore Arre_e(-, X): C → Set

   • Y ↦ Arre_e(Y, X)
   • (Y, ფ⁣_xზ)↪Arre_e(ზ)_⇣ Арρ_e(Y, X)
     • g ↦ g•f

Sono S, T : C → D due funtori. Un morfismo naturale

τ: S ⇒ T è una trasformazione naturale tale

che ∀X ∈ Ob(C) τ(X): S(X) → T(X) è invertibile

Sono C, D due categorie. Un funtore S: C → D è

un'equivalenza di categorie se esiste un funtore

T : D → C e due isomorfismi naturali

τ: S ∘ T → Id_D e S ∘ T : T ∘ S → Id_C

∀X ∈ Ob(C) τS(X) ≃ Id_C(X) = X

∀Y ∈ Ob(D) Sη(Y) ≃ Id_D(Y) = Y

L'm-spazio proiettivo P^m è l'insieme delle (m+1)-uple (x₀, x₁, ..., x_m) ∈ /Δ^m+1 tale che almeno uno degli x_i ≠ 0 modulo la relazione di equivalenza

(x₀, x₁, ..., x_m) ∼ (y₀, y₁, ..., y_m) se esiste Δ ∈ F, Δ ≠ 0, tale che x_i = Δy_i con i=0, ..., m

Indichiamo (x₀: x₁: ... : x_m) = [x₀, ..., x_m] la classe di equivalenza

{(λx₀, ..., λx_m) | λ ∈ F, h Δ y}

L'insieme dei punti k-razionali di P^m è l'insieme

P^m(k) = {η | (x₀: x₁: ... : x_m) ∈ P^m, x_i ∈ k, ∀i}

Come prima visto che P(C)^m ∩ P^m(C)

Un polinomio f ∈ F[x] = F[x₀, ..., x_m] è detto omogeneo di grado d se f(λx₀, λx₁, ..., λx_m) = λ^df(x₀, x₁, ..., x_m) ∀ λ ∈ F, λ ≠ 0

ESEMPIO x⁵ + x₂³ + x₄² omogeneo di grado 5

Un ideale I ⊂ F[x] è detto omogeneo se è generato da polinomi omogenei

Se f è un polinomio omogeneo e P ∈ P^m ha senso scrivere f(P) = 0 perché quell'uguaglianza non dipende dalle coordinate omogenee di P

ESEMPIO P = [x₀, x₁, ..., x_m] = [λx₀, ..., λx_m]

0 = f(P) = f(x₀, ..., x_m) = f(λx₀, ..., λx_m) = (λ^df(x₀, ..., x_m)) ⇔ f(x₀, ..., x_m) = 0

Mappe tra varietà proiettive

Siano V₁ e V₂ due varietà di P^m. Una mappa razionale da V₁ a V₂ è una mappa: ϕ: V₁ → V₂ determinata da ϕ = [f₀, ..., f_m] con f_i ∈ k(V₁) tale che per ogni punto P ∈ V₁ in cui le funzioni f₀, ..., f_m sono tutte regolari, abbiamo: ϕ(P) = [f₀(P), ..., f_m(P)] ∈ V₂

Osservazione

Una mappa razionale ϕ: V₁ → V₂ non è necessariamente ben definita in ogni punto P ∈ V₁ Se P è un punto di V₁ in cui qualche f_i non è definita, posso calcolare ϕ(P) moltiplicando f_i con g_i per qualche g ∈ k(V₁) ∀ i = 1, ..., m

Una mappa razionale ϕ = [f₀, ..., f_m]: V₁ → V₂ è regolare in P ∈ V₁ se esiste una funzione g ∈ I(V₁) tale che: (i) g·f_i è regolare in P ∀ i = 0, ..., m (ii) esiste un i per cui (g·f_i)(P) ≠ 0 Se un tale g esiste poniamo: ϕ(P) = [(g·f₀)(P), ..., (g·f_m)(P)] ∈ P^m

Un morfismo ϕ: V₁ → V₂ è una mappa razionale che è regolare in ogni punto di V₁