Geometria algebrica

Spazi topologici noetheriani. Fasci e spazi anellati. Insiemi algebrici. Topologia di Zariski. Funzioni polinomiali e funzioni regolari sugli insiemi algebrici. Varietà affini. Prevarietà e loro morfismi: esistenza dei prodotti. Varietà algebriche. Morfismi razionali. Dimensione di una varietà. L'anello locale in un punto di una varietà algebrica: spazio tangente e spazio cotangente. Punti regolari e punti singolari delle varietà algebriche. Varietà algebriche su un campo algebricamente e realmente chiuso. Trasversalità algebrica. Morfismi lisci di varietà algebriche. Varietà proiettive e varietà complete. Fibra di un morfismo di varietà. Morfismi finiti. Complessificazione di insiemi algebrici reali affini e proiettivi. Struttura analitica delle varietà algebriche reali e complesse.

Esame Geometria algebrica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Tancredi Andrea

Università Università degli Studi di Perugia

Publisher el_ces_94

A.A. 2017-2018

154 pagine

3 download

Appunto

Vota 4,0 / 5 (2)

Scarica

Estratto del documento

ELEMENTI DI ALGEBRA E NOTAZIONI

DEFINIZIONE: CATEGORIA

Una categoria C è individuata da:

Ob(C) una classe di oggetti
∀A,B∈Ob(C) un insieme di morfismi Hom_C(A,B) che soddisfano

∀A,B,C∈Ob(C) la funzione composizione

Hom_C(A,B) × Hom_C(B,C) → Hom_C(A,C)

(f,g) ↦ g∘f

Associativa
∀A∈Ob(C) ∃ 1_A∈Hom_C(A,A) identità t.c.
∀f∈Hom_C(A,B) ∀B∈Ob(C) f∘1_A=f e 1_B∘f=f

DEFINIZIONE: SOTTOCATEGORIA

D ⊑ C ⇔ Ob(D)⊂Ob(C) e Hom_D(A,B)⊂Hom_C(A,B)

∀A,B∈Ob(D)

DEFINIZIONE

f: A → B morfismo in C

f è un monomorfismo ⇔ ∀in: C → A f∘u₁=f∘u₂ allora u₁=u₂

f è un epimorfismo ⇔ ∀out: B → C i∘f=k∘f allora i=k

f è un isomorfismo ⇔ ∃g: B → A: g∘f=1_A e f∘g=1_B

ESEMPI

Ens Categoria degli insiemiOggetti = insiemiMorfismi = applicazioni tra insiemi
Gr Categoria dei gruppiOggetti = gruppiMorfismi = omomorfismi di gruppi
V_K Categoria degli spazi vettoriali sul campo KOggetti = sp. vett. su KMorfismi = applicazioni lineari
Top Categoria degli spazi topologiciOggetti = sp. top.Morfismi = applicazioni continue

Nota che un isomorfismo, rispetto alla categoria di riferimento, ad esempio

A - id_A -> A

è l'isomorfismo

(A, 1ᵣ) id_r -> (A, 5ᵣ) con r' meno fine di 5

è continua ma non è isomorfismo!

Def. Funtore

C categoria

F: C^op -> D funtore covariante

∀A∈ C F(A) ∈ D allora è una funtore obj: C -> D(0)
∀A,B∈ C ∀f: A -> B ∃F(f): F(B) -> F(A):

T.c. F(g∘f) = F(f)∘F(g); F(id_A) = id_FArispetta composizione e identità

Esempi

Φ: N_k -> N_k
F -> E^*
F -> E^* dove Φ^*: F^* -> E^*
2√ (g∘f)^* = f^*∘g^*
(1_E)^*(μ) = μ∘1_E = μ∘(1_E)(μ)

Funtore Covariante

Φ: N_k -> N_k
F -> E^**
F -> E^** dove Φ^**: E^** -> F^**
Ƴ: E^* -> K
Ƴ∘ψ = ψ^**∘ƞ∘ƒ: F^* -> K
ƞ: F^* -> K η -> η∘ƞ∘ψ

Nota:

Se dimE < ∞ ⇒ dimE = dimE^*

E=span{e₁,...,e_n}

F^* = span{λ¹,...,λ^m} con λ^j(e_i) = δ_ji

Funct categoria delle varietà puntate

Oggetti: (M,p) manif.diff. pert ψ: (M,p) -> (N,q) app.def

koreeki ψ: (M,p)= (N,q) app.deft.c. ψ(p) = q

Algebra

Consideriamo come anelli gli oggetti della categoria Ring

A anello commutativo unitario
u:A→B omomorf. di anelli: u(1_A) = 1_B

Def A si dice dominio o integro <=> non ha 0-divisori

Def A si dice ridotto <=> non ha elementi nilpotenti

Le unità di un anello sono gli elementi invertibili e 1_A

Def A anello, A ≠ {0}

∃ φ: ℤ → A omomorfismo di anelli

1 → 3_A

m → 3·4·...+3_{A in m volte} Il nucleo è un ideale

Ker(φ) =

Anteprima

Vedrai una selezione di 10 pagine su 154