Geometria 2, appunti ed esercizi

GEOMETRIA 2

1. TOPOLOGIA capire il significato della continuità
2. OMOTOPIA studiare le deformazioni continue
3. CLASSIFICAZIONE delle SUPERFICI
4. FORMA CANONICA di JORDAN
5. GEOMETRIA PROIETTIVA

Marco Manetti - Topologia (psh 1 e 2)

3 su Moodle 4 su Moodle

TOPOLOGIA

Scopo della topologia è dare un senso del concetto di continuità.

Tutta la teoria degli insiemi nasce grazie a Cantor

Dati X e Y e cioè due insiemi & e < INB: una scelta unica che dipende è una mappatura. per il fatto via via di nulle ne viva (la nozione di limite è essenzialmente libera)

Una funzione f è continua in a se ∀ intorno V di f(a) ∃ intorno U di a f(U) ⊆ V

quando siamo nei dopi di limite comune sono f(a) e a come < (nello spazio) mentre   < — — come funzione. In fatto di alcune ƒ che nel are the si formo conservato la quantità di (perché sono alcuni che esiste un numero) sono alcuni ∃ un numero 0 · δ>0 & ∈

La continuità di una funzione < è globale a∈A ⊥ ♯∑

{* ∀x∈A, A∈ un intorno a x * ∀x∈A, ∀U intornoƒ·x⊆A

Funzione insieme ∈ R a un open che chius φe iR

GEOMETRIA 2

1. TOPOLOGIA capire il significato della continuità
2. OMOTOPIA studiare le deformazioni continue
3. CLASSIFICAZIONE delle SUPERFICI
4. FORMA CANONICA di JORDAN
5. GEOMETRIA PROIETTIVA

Macro Manetti - Topologia (p. 1 e 2)

Su Moodle

TOPOLOGIA

Scopo della topologia: dare un senso accurato di continuità.

Tutta la teoria degli insiemi usata grazie a Cantor.

• Dato X e Y insiemi e una funzione f: X → Y
• Una funzione f è continua in a se ∀ intorno V di f(a) ∃ intorno U di a f(U) ⊆ V
• La continuità di una funzione g : (A, R) → (A, S) dice aperto se
• ∀x ∈ A, A è un intorno di x
• ∀x ∈ A, ∃ U intorno di x (f(x) ∈ A)

Teorema

f: ℝ→ℝ è continua su ogni punto <=> ∀ A aperto f^-1(A) è aperto.

Dim

Sia a ∈ f^-1(A). Scopo della dimostrazione è trovare un intorno di a che era contenuto in A.

Sia V un intorno di f(a) con V ⊂ A (intorno esiste perché A è un aperto)f continua => ∃ U intorno di a: f(U) ⊂ Vf(U) ⊂ V ⊂ A => U ⊂ f^-1(V) ⊂ f^-1(A)

↔

Intorno di f(a): ∃δ talo chef(a) ∈ f(x)_-ε+ε ⊂ V => trovo U = (a-δ, a+δ)f(U) ⊂ (f(a)-ε, f(a)+ε) ⊂ V=> f(U) ⊂ V ■

⊂: ℝ = A aperto sse ∀ x ∈ A ∃ ε > 0: (x-ε, x+ε) ⊂ A- Intorno ai x se ∃ ε > 0, (x-ε, x+ε) ⊂ I

1. A aperto se è intorno ai qui suoi punti
2. Intorno ai x se intorno in aperto A che contiene x x ∈ A ⊂ I

✫ Abbiamo che le due definizioni sono equivalenti prima della lettera

✫ Se X insieme (insieme generico ambiente)P(x) = insieme delle parti di X ovvero tutti i sottoinsiemi di X

Dalla teoria degli insiemi deriva che esiste sempre l’insieme delle parti.Gli aperti su X appartengono a P(X). Vogliamo selettare il sottoinsieme degli aperti.Una topologia per X è un insieme τ⊂ P(X) con questa proprietà:

1) φ ∈ X ∈ T

2) A_i ∈ i sono aperti ⇒ ⋃A_i è aperto

3) A, B aperti ⇒ A ∩ B è aperto (intersezione finita)

1️⃣ A_i = (−₁/ⁱ, 1/ⁱ) ⊂ ℝ ⋃_−∞⁻¹A_i = ℝ \ {0} ⇒ esempio di

2️⃣ X = ℝ

A è aperto (⇔) X \ A è finito oppure A = X, A = φ

(topologia dei complementari finiti)

✳️ C ⊆ X è chiuso se X \ C è aperto

(Qundo abbiamo la famiglia degli aperti abbiamo anche dato quella dei chiusi)

I) φ e X sono chiusi

II) ∩ C_i è chiuso

III) C₁ ∪ C₂ = chiuso (finita)

⋃_n = [−₁/ⁿ, −₁/ⁿ] = (0, 1) aperto

X = topologia dei complementari finiti

C è chiuso (=>) C è finito (oppure C = X)

✳️ Uno spazio topologico è un insieme con 2 proprietà in più

ovvero che l'insieme aperto è chiuso

X = ℝ² (ℝⁿ)

A ✳️ punti che stanno ad pinto meno un

A aperto se ∀ x ∈ A ∃ ε A_ε... B(x, ε)

x ∈ ℝⁿ ||x−q|| ≤ ε e contineuto in A

Abbiamo due B(x,