Geometria 2, appunti ed esercizi

GEOMETRIA 2

1. TOPOLOGIA capire il significato della continuità
2. OMOTOPIA studiare le deformazioni continue
3. CLASSIFICAZIONE delle SUPERFICI
4. FORMA CANONICA di JORDAN
5. GEOMETRIA PROIETTIVA

6 crediti

3 crediti

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Marco Manetti - Topologia (punto 1 e 2)

1. su Moodle
2. su Moodle

TOPOLOGIA

Scopo della topologia dare un senso accurato al concetto di continuità.

Tutta la teoria degli insiemi nasce grazie a Cantor

Dati X e Y insiemi e arco due assi f: X → Y

Una funzione f è continua in a se ∀ intorno V di f(a) ∃ un intorno U di a f(U) ⊆ V

La continuità di una funzione globale

Funzione questo e R sono sa open che chiusi ∅ e R

Teorema

f: ℝ → ℝ è continua su ogni punto ⟺ ∀ A aperto f^-1(A) è aperto.

Dim

Sia a ∈ f^-1(A). Scopo della dimostrazione è trovare un intorno di a che sia contenuto in A.

Sia V un intorno di f(a) con V ⊂ A (intorno esiste perchè A è (in aperto))

f continua ⟹ ∃U intorno di a: f(U) ⊂ V

f(U) ⊂ V ⊂ A ⟹ U ⊂ f^-1(V) ⊂ f^-1(A)

⇐

Vi torno a f(a). ∃ε: f(a) ∈ [f(a) - ε, f(a) + ε] ⊂ V

- trovo U = (a - δ, a + δ):

f(U) ⊂ (f(a) - ε, f(a) + ε) ⊂ V

⇒ f(U) ⊂ V

⇨ U ⊂ f^-1(V)

Sia ℝ - A aperto se ∀ x ∈ A ∃ ε>0: (x - ε, x + ε) ⊂ A

• Intorno a x se ∃ε>0: (x - ε, x + ε) ⊂ I

1) ⇨ A aperto se è intorno a x qui il suo punto

2) ⇨ I intorno a x se x Ūniens un aperto A che contiene x

x ∈ A ⊂ I

* Abbiamo che le due definizioni sono definirne prima della lettera

Sia X un insieme (insieme generico ambiguo)

• P(X) = insieme delle parti di X avere tutti i sottoinsiemi x delle tenti degli insiemi perché ciò esiste sempre l’insieme delle parti.
• Gli aperti in X appartenere a P(X), (scelto tre il sott’insieme degli aperti).

Una topologia per X è un insieme T ⊂ P(X) con queste proprietà.

A, B aperto → A ∩ B aperto

a ∈ A ∩ B → a ∈ A ∈ B ∀ &exists; ∈ B(a, ∈) ⊆ A e &exists; ∈: B(a, ∈) ⊆ B ∈ = min ∈ ∈γ_B

B(a, ∈) ⊆ A e B(a, ∈) ⊆ B

⇒

Correzione dell'esercizio

X₂ = ℜ² con la topologia indotta da d₂ dove d₂(x,y) = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)²) B₂(0,1) interno del disco unitario

d∞ = max {|x₁-y₁|, |x₂-y₂|} B∞ (a) = {x | max {|x₁|, |y₂|} ≤ ∈} X∞ = ℜ²

A ⊆ ℜ² è aperto in X&sub2; ⇔ è aperto in X∞

⇔ nel quadrato possiamo sempre iscrivere un cerchio ⇒ nel cerchio è sempre possibile iscrivere un quadrato

a₁ (x,y) = |x₁ - y₁| + |x₂ - y₂|

Base di una topologia

X insieme T ⊆ P(X), l'insieme di aperti

β ⊆ P(X) è una base per T sse

1. A ∈ γ → A = ⋃β i B_i ∈ β cioè ogni aperto è unione di elementi della base

1 Eserczio

X = ℜ con la topologia euclidea

β = {(a,b) | a,b ∈ ℜ} è una base per la topologia euclidica

2 Eserczio

X =

β = {(a,b) | a,b ∈ ℜ} &exists;

β è una base per la topologia euclidea

EX

Id: ℝ²ₔ → ℝ²ₑ, no isometria, si isomorfismo

★ dal topologia discreta, è definita dallo assioma definita da

d : X × X → ℝ

d(x,y) = 1 x ≠ y

0 x = y

d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

⊣ soddisfa quindi assioma metrica

se considero un angolo < 1 allora non contiene altri

punti che non le primo stesso B(x, ½) ⊇ X

● p : ℝ² → ℝ

    (x,y) ↦ x

è continua?

con la topologia euclidea

C = { (x,y) ∈ ℝ² | xy = 1 }

p(C) = (-∞,0) ∪ (0,+∞)

la controimmagine di un chiuso di un chiuso

    ☛ C è un chiuso

★ Sia X insieme T , R, due topologie su X. T è più fine di R se

    R ⊆ T, vice versa aperto in R è anche aperto in T

ESEMPIO :

• T discreta, R qualunque, T è più fine di R
• T banale, R qualunque, T è meno fine di R

⊃ soddisfa di una relazione di ordine

           (riflessività, antisimettrica, transitiva)

★ Non è detto che due topologie siamo confrontabili

ESEMPIO :

• T complementari infini, R topologia euclidea

R ∪ è più fine dello T

PROPRIETÀ TOPOLOGICHE

Proprietà di separazione

T1 Una topologia in cui i punti sono chiusi, viene chiamata T1

T2 o Hausdorff Sia (X, τ) uno spazio topologico. X si dice di Hausdorff se ∀ x, y ∈ X con x ≠ y ⇒ ∃ U ∈ τ(x) e V ∈ τ(y) U ∩ V = ∅

Ogni spazio metrico è di Hausdorff

[DIM] Siano x ≠ y, d(x, y) = δ > 0

Sia B(x, _δ/4) ∈ B(y, _δ/4)

Se x assurdo z ∈ B(x, _δ/4) ∩ B(y, _δ/4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ _δ/4 + _δ/4 = _δ/2

È come dire che la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi allora le due circonferenze deve intersecano.

Se X = ℕ (oppure qualunque superset infinito) con la topologia dei complementari fini, allora X non è di Hausdorff

[DIM] x ≠ y ∀x ∈ τ(x) U = x... 1 = ℕ ∪ U è finito V ∈ π(y), V = 1 ∀ y, 1 = ℕ ∪ V è finito

è possibile V ⊂ ℕ ∪ ? (sotto così quanto in uno finito)

ESERCIZI - DIMOSTRARE CHE...

• T2 ⇒ T1 cioè se uno spazio è Hausdorff i punti sono chiusi
• Sottoinsiemi di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff
• Prodotto di spazi di Hausdorff è di Hausdorff

Corollario

Se I ⊂ R con la topologia euclidea, sono equivalenti

1. I è connesso cioè I = intervallo
2. I è connesso per archi
3. I è connesso

Dim

1. ⇒ 2 ⇒ 3
2. 3 ⇒ 1

X assurdo

se I non è un intervallo

Intervallo: ∀ a,b∈I a < x < b ⇒ x ∈ I

∃ a,b a < x < b e x ∉ I

allora sia A = ∩ (−∞,x), B = ∩(x, ∞)

quindi A e B sono aperti e A ∪ B = I, A, B non vuoti e disgiunti ⇒ I non connesso

Ripasso di Analisi Uno

f:R→R continua. L'immagine di un intervallo e un intervallo

conseguenza teorema degli zeri

Esercizio 1

X = Z a,b ∈ Z, b > 0

N_ab = {a + bk / k ∈ Z} progressione aritmetica

1. β = {N_ab} è una base per una topologia per dimostrare questo N_ab ∩ N_c,a = unico o N_ab

dimostrate a casa(con il teorema cinese dei resti)