04 - gasdinamica

Esercitazione 3, 8 maggio - ore 15 - Inizio della Gasdinamica

(fino ad ora era termodinamica dei gas), ora faremo lo studio proprio del moto dei gas. Gli vapori e salteremo per quest'anno. Avendo abbiamo studiato l'idrodinamica. abbiamo studiato le equazioni, ora scriveremo due equazioni:

1. equazione di conservazione dell’energia meccanica
2. equazione di stato dei gas perfetti
3. equazione di continuità massica
4. espressione del teorema delle quantità di moto

Per indicare le velocità locali del fluido, d'ora in poi, useremo U e non c, perché sarà la velocità del suono perfetta ed è una notazione diffusa. Introdurremo alcuni parametri:

• modulo di elasticità e comprimibilità di un fluido, si tratta del rapporto tra sforzo e deformazione, che nei liquidi ⇒ c = ∞, perciò incomprimibili.

nei casi particolari di pressione [ p₀ ]

1. ci possiamo aggiustare E_T, ricordando che PV = cost ⇒ p = ^cost/_V
2. v = √(_dp/_dρ) _s=cost

dunque

E_r = -v · ΘV = ^cost/_V = [ ρ

• velocità del suono: che si trasmette in tutti i mezzi e definibile come la velocità di propagazione di una perturbazione infinitesima di pressione. Possiamo individuare una sua espressione calcolata nel caso dei gas usando equazioni di continuità e variazioni delle quantità di moto

Proposizione di una perturbazione infinitesima di pressione

• Rispetto un osservatore in quiete
• Rispetto un osservatore selezionato col fronte d'onda

(del moto stazionario permanomio monodimensionale)

a) Fluido in quiete, ha una certa

pressione p e densità ρ non ha velocità.

Se offro al pistone una azione, imprimendo

il pistone muove un onda e la pos. e la pres.

del quale una velocità ν₀. Il pistone

si muove con ν₀ e la pos. e la pres.

di quest'onda, il fluido

d'osservatore sal delle col fronte d'onda

λ = sistema di riferimento mobile

solidale alla onda, (velocità d'onda)

L'osservatore vede il fluido avvicinarsi a

velocità ν₁ successivamente il superto il

volume di controllo il suo osservatore si

volta verso valle vede il fluido allontanarsi

con velocità ν₂ aumentata la pressione aumentata.

Determinazione della velocità del suono:

Quantità di moto - governo

① ΣF_x = ṁ (ν₂ - ν₁) lato sinistro dell'equazione dobbiamo mettere le forze di pressione (condotto orizzontale)

② Ap - (A(p + dp)) = ṁ[(c - dν) - c]

A/p - Ap - Δp = -ṁdν ⇒ Δp = ṁdν

③ dp = ρλdν;

dp = ρc_du (A)

④ conservazione portata massica

ρλ/c = (ρ + dp)/λ (c + du)

ρc = ρc + ρdu + cdp =

(filtro) ⇒ θ° igloifiamo di ordinare amp

dpp = cdpd= cdp

delle B nelle A

c = sqrt( ∂p/∂ρ )

Grandezza

Vi è un abaco per ogni k.

A) y/r₀

B) T/T₀

P/p₀

pippo

k = 1.4

È possibile leggere 3 correlazioni:

1. rapporti in funzione di mach (titolo pippo/pipo)
2. rapporto in funzione di k della temperatura
3. rapporto di pressioni in funzione di k ed M (da notare come le curve si sovrappongono; 1-2-3 atomi non contano molto)

Mach viene sempre sull’ascisse.

k = 1.3 triatomici

k = 1.4 biatomici

k = 1.67 monoatomici

T/T₀

P/p₀

II ep di Hugoniot pressione ed universo di sostegno

Riportiamo da mdu = - (dp / ρ)

- Isole du_m

du_m = - (dA / A)

delle I ep di Hugoniot

o Risulta

dA / A = - (dp / p₀u²) (H²-1)

II ep di Hugoniot

III ep di Hugoniot densità ed universo di sostegno

dA / A du / u (H²-1)

mdu = - (dp / ρ) dρ / dρ dunque

m du = -(dp/dρ) dρ/ρ e du = -(dp/dρ) dρ / ρ u

Sostituendo du

dA / A = (dp/dρ_s) dp / ρ₀u² (H²-1) = -1/M² dp / ρ: = -dp / ρ [ H²-1 / M² ]

III ep di Hugoniot

OSSERVAZIONE: per fluidi incomprimibili (liquidi) le prime ep di Hugoniot diventa dell'ep di continuità delle portate velumetriche ma cost

dA / A = du / u (M²-1) dA / A m / du = H²-1 , M => 0

dA / A = -du / u (A u) = 0 dAu + u A = 0

e se H < 1/3 il fluido è incomprimibile

20) Quindi per un dato moto isentropico noto lo stato di ristagno, abbiamo la portata mass. specifica a cui si arriva anche solo sostituendo M = 1. A questo punto guardare il grafico.

I) Dimensionamento degli ugelli (fluidi velocizzanti) per opportuna velocità sono necessari 2 requisiti che non approfondiremo ma ora annunciamo:

1) Non siamo in presenza di un fluido in moto uscario in modo regolare e continuo. Si prevede la formazione di un'onda d'urto normale attraverso la quale tutti i passaggi termo-dinamici e cinetici vengono con discontinuità. Un moto inizialmente supersonico diventa subsonico a valle dell'onda d'urto, è impossibile che si verifichi il contrario.

II) Per urto si intende una superficie di discontinuità attraverso cui si ha un brusco aumento di pressione e entalpia e diminuzione di velocità. Il fenomeno è fortemente dissipativo (indesiderato).

Queste due proposizioni saranno provate nel dimensionamento di convergente-divergente - ugelli si potrebbero formare piuendo d'onda normale.

Inizio della trattazione sul dimensionamento degli ugelli

Ugello convergente

con espansione adiabatica isentropica, si equipaggi di un ugello perché a monte M = 1 e può essere monotubo, e abbiamo onde di deflessione-urti si risolvono l'equilibrio con le statistiche - ugello convergente monta M < 1, isovortente.

a1) nelle sezioni di uscita ho P2 = P* = Ps; nelle sezioni di uscita ho M = 1 e moto sonico.

• Possiamo scrivere μ₂² a partire dalla Bernoulli per una sezione z.

μ₂² - μ₁² + m g (z₂ - z₁) + ∫₁² vdp + le + βp = 0

• Quindi μ₂² semplifico ->

μ₂²/2 = ∫₁² vdp

• "quindi"

μ₂' = √2 ∫₁² vdp

μ₂ = √N_u√2 ∫₁² vdp

• Chiamo φ = μ₂/μ₂' un Mu semplificato, quindi l'espressione diviene

μ₂ = φ √2 ∫₁² vdp

Sviluppando ∫vdp, viene fuori che

μ₂ = φ √(2 m/(m - 1) ρ_usc [1 - (p_L/p₁)^(m-1)/m])

• stiamo utilizzando m_u ma per un gas diverso k (perfetto),
• m = 1.13 per vapore acqueo surriscaldato (x fisso e 1)
• m = 1.035 + 0.1x per vapore acqueo saturo e un altro titolo x.

L'ugello convergente-divergente fu scoperto da De Laval