Funzioni reali: teoria ed esercizi

Le funzioni

Sia A ⊆ ℝ e sia f: A → ℝ

A dominio ∀x ∈ A ∃! y ∈ ℝ : f(x) = y

ℝ × ℝ: grafico di y = {(x, f(x)) | x ∈ A}

Roba: dal piano cartesiano

NO! perché ad ogni x corrisp. + di uno y

Immagine di f

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Come si trova l'immagine?

Definizione di funzione iniettiva

f : A ⊆ ℝ → ℝ è iniettiva (1-1) se ∀x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

Esempi

1. f(x) = x²

   f è iniettiva?

   f(1) = f(-1) = 1 ⇒ f non è iniettiva

2. f(x) = x³

   f è 1-1?

   Retta // asse x ⇒ retta interseca il grafico in un solo punto ⇒ f è iniettiva

Retta // all'asse delle x → quante volte intersecano il grafico + di un punto ⇒ non è iniettiva

Dimostrazione (1)

f^-1(f(x)) = x

f^-1(y) = x ↔ f(x) = y

Def di f^-1: f^-1(y) = x ↔ f(x) = y

Esercizio: f(x) = x² è invertibile?

No, perché non è iniettiva!

f: ℝ → ℝ (dominio naturale)

Esercizio: f: [0, +∞[ → ℝ   f(x) = x² è invertibile?

f^-1 = ?

D(f^-1) = f(A)

Prima cosa devo trovare immagine di f perché f inversa è definito sull’immagine della f di partenza.

NB: √y è la funzione inversa di x² solo se restringo il dominio a [0, +∞[

Definizione di f pari e f dispari

Sia A ⊆ ℝ

A simmetrica rispetto all’origine

Esempi:

A = [-2, 2]

A = [-2, 2] ∪ [-1, 2]

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ

• Diremo che f è pari se f(x) = f(-x) ∀ x ∈ A
• f è dispari se f(x) = -f(-x) ∀ x ∈ A

Esercizio: f(x) = x² è pari?

I° modo → grafico

II° modo → analitico

f(x) - f(-x) ∀ x ∈ ℝ

x² - (-x)² = x²

Esercizio: f(x) = x³

I° f. pari → grafico

II° f. dispari ↔ f(x) = -f(-x) ∀ x ∈ ℝ

f(x) = x³

- (-x)³ = -x³

x³ - (-x)³ = x³

1 - (-1)³ = 0

f(x) = a^x x ∈ ℝ

exp_ax = a^x

Proprietà dell'exp_a

Contiamo o valgono 1), 2), 3) delle proprietà precedenti

4) Se a > 1 ∀ x, y ∈ ℝ x < y ↔ a^x < a^y cioè exp_a è ↑

5) Se 0 < a < 1 ∀ x, y ∈ ℝ x < y ↔ a^x > a^y cioè exp_a è ↓

6) exp_a x > 0 ∀ x ∈ ℝ

exp_a : ℝ → ℝ

imm exp_a = ]0;+∞[

exp_a è invertibile?

Si, perché l'exp_a è una funzione strett. monotona ↑ o ↓

Consideriamo (exp_a)^-1

Definiamo log_a la funzione inversa dell'exp_a

log_a = (exp_a)^-1

log_a : ]0,+∞[ → ℝ

l'immagine (exp_a(ℝ))

y = a^x

y = log_ax

Grafico del log_a è simmetrico o grafico dell'exp_a rispetto alla bisettrice del I e III quad.

log_a inverso dell'exp_a

Grafico tg

π-π funzione periodica

• Non è definita su tutti i numeri reali
• Non è invertibile
• L'immagine è ℝ
• Non è limitata sup. o inf.

Osservazione: le funzioni sen, cos, tg non sono invertibili

NB: arccos non è l'inverso della cos! In quanto non esiste l'inverso del cos!

cos e arccos

• Consideriamo cos ristretto nell'intervallo [0, π]
• cos [0, π] è una funzione 1-1 quindi è invertibile
• esso si chiama arccos

arccos = (cos | [0, π])^-1

arccos: [-1,1] → [0, π]

② f(x) = log|x|

D = {x ∈ ℝ | |x| > 0} ℝ∖{0}

f(x) = _{log(x) x > 0} ^{log(-x) x < 0}

f(-2) = log|-2| = log(2) = f(2)

f(-x) = log|-x| = log(x) = f(x) ∀ x≠0

→ f è pari → grafico è simmetrico rispetto all'asse y

③ f(x) = e^x+7 ∀ x ∈ ℝ

④ f(x) = e^x+7 ∀ x ∈ ℝ

x + 7 → 0_{tende VS sx} x = -7 ⋙ e^x+7 = 1