Funzioni reali: teoria ed esercizi

Le funzioni

Sia A ⊆ IR e sia f: A → IR

A dominio ∀x ∈ A ∃! y ∈ IR : f(x) = y

1. NO
2. SÌ

IR x IR = grafico di y = {(x, f(x)) | x ∈ A} y

NO! perchè ad ogni x corrisp ↓ di una y

Immagine di f = f(A) = {f(x) | x ∈ A} y

Come si trova l'immagine?

f(A)

Le funzioni

Sia A ⊆ ℝ e sia f: A → ℝ

A dominio   ∀ x ∈ A &Exist; ! y ∈ ℝ: f(x) = y

IR x IR = grafico di y = {(x, f(x)) | x ∈ A}

sottinsieme del piano cartesiano

No! perché ad ogni x corrisp. + di una y

Immagine di f = f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Come si trova l'immagine?

Definizione di funzione iniettiva

f: A⊆IR → IR è iniettiva (1-1) se ∀x₁, x₂ ∈ A: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

Esempi:

1. f(x) = x²

f è iniettiva?

f(1) = f(-1) = 1 ⇒ f non è iniettiva

Rette // all'asse delle x → quante volte intersecano il grafico + di un punto ⇒ non è iniettiva [metodo grafico]

2. f(x) = x³

f è 1-1?

Rette // asse x ⟹ retta in grafico in un solo punto

⟹ f è iniettiva

Definizione di composizione di funzioni

Siano f: A ⊆ ℝ → ℝ e g: B ⊆ ℝ → ℝ

Supponiamo che f(A) ⊆ B

Definiamo g∘f (il composto con g)

(g∘f)(x) def. = g(f(x)) e g∘f: A ⟶ ℝ → ℝ

∀ x ∈ A

punto da x ⟶ calcolo f(x) ⟶ applico g alla f(x)

Esempio:

f(x) = x + 3      g(x) = x²

1. f: ℝ → ℝA ⊇ ℝ
2. g: ℝ → ℝB ⊇ ℝ

① ∃? g∘f cioè f(A) ⊆ B

   B = ℝ ⟹ f(A) ⊆ ℝ = B    → Si

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = (x + 3)²

∀ x ∈ ℝ = A

② ∃? f∘g cioè f(B) ⊆ A

   A = ℝ ⟹ g(B) ⊆ A = ℝ    → Si

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² + 3

Esercizio:

f(x) = √x

g(x) = 2x + 1

1. ∃? g∘f
2. ∃? f∘g

f: [0;+∞[ → ℝ

g: ℝ → ℝ

A = [0;+∞[

B = ℝ

1. ∃? g∘f↔ f(A) ⊆ B = ℝ

   no Sì

   (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = 2√x + 1

   g∘f: A = [0;+∞[ → ℝ

2. ∃? f∘g ↔ g(B) ⊆ A = [0;+∞[

   Trovare graficamente l'immagine

   y =

   y = 2x + 1

   → g(B) = ℝ ≠ [0;+∞[ ∴ ∄ f∘g

   No

Esercizio:

f(x) = √x

g: [1;+∞[ → ℝ

g(x) = 2x + 1

∄? f∘g

g(B) ⊆ A = [0;+∞[

∴ ∃ f∘g

1. ∃? f∘g↔g(B)⊆A=[0;+∞[

   ∴ g(B) =[3;+∞[

   g(B) ⊆ A = [0;+∞[

   ∃ f∘g

   ∃? g∘f↔f(A) ⊆ B

   f(A): ℝ

   B: [1;+∞] ∴ No

Funzione Inversa

Definizione di funzione inversa

Def: f: A ⊆ ℝ → ℝ iniettiva

Si definisce la sua inversa e si indica con: f^-1: f(A) ⇒ ℝ

Tale che f^-1 (y) ⇔ x ↔ f(x) = y

Osservazione

Immagine di f^-1:

f^-1 (f(A)) = {f(x) | y ∈ f(A)} = {x | x ∈ A ∧ y = A}

⇒ f^-1 (f(A)) = A

f^-1: f(A) ⇔ A

Proprietà delle funzioni inverse

1. (1) (f^-1 o f)(x) = x ∀ x ∈ A
2. (2) (f o f^-1)(x) = x ∀ x ∈ f(A)

(1) e (2) sono dette funzioni identità

Dimostrazione (1)

(f^-1 o f)(x) = f^-1(f(x))

e f^-1(y) = x ↔ f(x) = y

allora

x

Def. di f^-1:

f^-1(y) = x ↔ f(x) = y

Esercizio:

f(x) = x² è invertibile?

No, perché non è iniettiva!

• f: ¹R→¹R (dominio naturale)

Esercizio:

f: [0,+∞[ → ¹R   f(x) = x²

1. è invertibile?

Sì, perché 1-1

f^-1 :?

Df^-1 = f(A)

• Prima cosa devo trovare immagine di f perché f inversa è definito sull'immagine della f di partenza.

f^-1: f(A) →¹R

f(A) = [0; +∞[ →¹R

f^-1(y) = x ↔ f(x) = y ↔ x² = y ↔ x = √y

} → f^-1(y) = √y

NB → √y è la funzione inversa di x² solo se restringo il dominio

a [0; +∞[ / solo se restringo x² e x > 0

Grafico di f se grafico di