Funzioni razionali di e^x

Analisi: Funzioni iperboliche e trigonometriche

Data: 09/01/2019

Funzioni iperboliche

Seno iperbolico, Sh x: = ^{ex - e-x}/₂
Coseno iperbolico, Ch x: = ^{ex + e-x}/₂
Tangente iperbolica, th x: = Sh x / Ch x

∫ ¹/_{Ch x} dx = ∫ ¹/_{e^x + e^-x} 2 dx = ∫ ¹/_{e^2x + 1} dx
∫ ¹/_{e² + x²} dx = ∫ ⁷/_{t² + 7} dx

e^k = t
e^k dx = dt
dx = -dt/t
y = arctg x + c
y = 2 arctg x/2 + c

Funzioni: Valore assoluto

∑ Cnx con almeno uno degli esponenti dispari, allora è possibile risolvere l'integrando in una delle forme C (ax) cos x o t (sec a) sin x. A questo punto, l'integrando si calcola con la sostituzione x = t. Invece, se gli esponenti sono pari, si possono pure usare le normali funzioni trigonometriche per l'integrazione di grado.

cos_2x = 1/2 (1 + cos 2x)
sec²x = 1/2 (1 - cos 2x)

Esercizio

∫ sin^3x cos x dx - ∫ sin cos cos⁴x dx = ∫ sin x (cos x cos⁴x) dx - ∫ sin x (^{t2 + 4}/_sin²x) dt

ca = t - sin x dx = dt
dx = dt/sin x

Analisi: Funzioni razionali

sh: somma iperbolica sh x
ch: somma iperbolica ch x
th: tangente iperbolica th x

1. ∫ ¹/_{ch x} dx = ∫ dx = 2 ∫ 1/^ex+_e^-x dx
2. ∫ e^x/^ex+_e^-x dx = 2 ∫ ^e+1 dt/_t = 2 ∫ 7/^t2+9 dt

∫ = 2 arc th x + c
∫ y 2 arc tg 1/x + c

Funzioni: Trigonometriche

∫ C (5m x) mⁿ dx con almeno uno dei coefficienti pari, altrimenti è possibile scrivere l'integrando in una delle forme (cos m x) cos x o (t (sen m) 2m x. A questo punto, l'integrando si calcola con la sostituzione sint x = c con K = t.

∫ di c = t con x (cos x + cos 4k)
∫ nel contorno di segnali pari, si possono pure usare il formalismo trigonomettrico per l'abbassamento d) grado
cos 2x = 1/2 (1 + cos 2x)

sen² x = 1/2 (1 - cos 2x)

Esercizio

∫ sin³x cos x dx - ∫ sin x cos³x cos x dx = ∫ sin x (1 - cos2x) cos 2x dx

∫ sen x (cos x + cos⁴k) dx - ∫ senx ((t² + 4) dx