Funzioni (proprietà, derivate ed espansione in serie di Taylor)

FUNZIONI

f: ℝ → ℝ

INIEZIONE: x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

SURIETTIVA: ∀y appartenente a ℝ esiste x appartenente ℝ tale che y = f(x)

BIETTIVA: Se f è sia iniettiva che suriettiva

Una funzione è invertibile

• es: f: ℝ → ℝ
• x ↦ x²

1 → √4/2 → √2 ± 2

-2 → -√4

√8 ± √16 = ?

non è invertibile quando restringo su un sottoinsieme

• es: f: ℝ → ℝ
• x ↦ sin(x)

per fare in modo che y = sin(x) sia invertibilesi considera f: [-π/2 ; +π/2] → [-1 ; +1]

x ↦ sin(x)

f è biiettiva quindi è invertibile

• Il inversa: [-1 ; +1] → [−π/2 ; +π/2]
• y ↦ arc_sin(y)

y = arc_sin(x)

Simmetrica rispetto alla bisettrice

• es: f: ℝ → ℝ
• x ↦ cos(x)

L'inversa e': [-1,1] -> [0, π ]

x = arccos (y)

y = arccos (x)

es. funzione esponenziale:

y = a^x (a=10 , a=e )

inversa

x = log_a (y)

esiste solo se y > 0

FUNZIONI IPERBOLICHE

• seno iperbolico:

senh (x) = _{e^x - e^-x}/²

sinh (x)

• coseno iperbolico:

cosh (x)

cosh (x) = _{e^x + e^-x}/²

• tangente iperbolica:

tanh (x)

tanh (x) = sinh (x) / cosh (x)

cos² (x) + sin² (x) = 1

cosh² (x) - sinh² (x) = 1

- D ( f_(x) g_(x) )

esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse l'una dell'altra a → e ln(a) → e f_(x) g_(x) → e f_(x) g_(x)

quindi e_(f(x)g(x)) - e_(f(x)) e_(g(x))

log g_(x) log f_(x)^{e f_(x) g_(x)}

es. D( x_e^x ) f(x) = x g(x) = x

f(x) = x²sin( ¹/_x) x ≠ 00 se x = 0

idea: calcolo f_'(x) per x≠0 per x≠0 f_(x) = x²sin( ¹/_x )

f_'(x) = 2x Δ sin( ¹/_x )³ ⋅ D( sin( ¹/_x ) )_|

Δ cos( ²/x )^-( /_x²)

2x sin( ¹/_x )⁵⁵⁵ x² cos( /x )^-( ¹/_x² )

calcolo: lim x→0^{+ x sin( 1/_x )} x cos( ¹/_x)

l'interpretazione geometrica.

APPROSSIMAZIONI DI FUNZIONI:

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + a₃(x-x₀)³ + ... + a_m(x-x₀)^m

determinare

f'(x) = f'(x₀) + 2a₂(x-x₀) + 3a₃(x-x₀)² + ... + ma_m(x-x₀)^m-1

pongo

x = x₀

f'(x₀) = f'(x₀) + 0 + 0 + ...

determino un'altra volta

f''(x) = 2a₂ + 3 · 2a₃(x-x₀) + ... + m(m-1)a_m(x-x₀)^m-2 + ...

pongo

x = x₀

f''(x₀) = 2a₂ + 0 + 0

=>

a₂ = ¹/₂ f''(x₀)

derivo:

f⁽³⁾(x) = 6a₃ + 2d a₄(x-x₀) + ...

pongo

x = x₀

f⁽³⁾(x₀) = 6a₃ + 0 + 0 + ...

=>

a₃ = ¹/₆ f⁽³⁾(x₀)

In generale:

a_m = ^{f(m) ( x₀ )}/_m!

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ^f''(x₀)/_2! (x-x₀)² + ^f(3)(x₀)/_3! (x-x₀)³ + ...

ex. Calcolare e^0.36

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

prendo x₀ = 0

f(x₀) = 0⁰ = 1

Sitrova

x = e¹ + 1(1) + (x²)/_2! + x³/₆ + ... + 1/_m!

=>(x^m) tende all'infinito più velocemente di x^m

perchè tende a zero

e^0.36 ≅ 1 + 0,36 + (0,36)²/₂ + (0,36)³/₆ + ...

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + ^f''(x₀)/₂ (x-x₀)²

=>(parabola)

Se f''(x) > 0 allora

concavità verso l'alto

Se f''(x) < 0 allora

concavità verso le basse

PUNTO DI FLESSO (punto di inflessione):

punto in cui la concavita della funzione cambia

Serie di potenze nel campo complesso

e^x = 1 + x + x²/_2! + x³/_3! + ... + xⁿ/_n! + ...

Questa serie è assolutamente convergente ∀ x ∈ R

x ∈ R = insieme delle soluzioni reali ∈ R

Nell'insieme Q dei numeri razionali:

Q = {m/n, m n interi, m + o}

√2 ∉ Q

x ∉ Q = insieme delle soluzioni in Q

√2 = numero che elevato al quadrato è = 2

Introduco un "numero" i tale che i² = -1.Si ottiene un insieme C= {a + ib | a, b ∈ R}parte reale a parte immaginaria b

In C tutte le equazioni fanno soluzioni

Teorema fondamentale dell'algebra:

In C tutte le equazioni fanno soluzioni

Pongo x = i, in e^ix:

i^-1 = 1/ii¹ = ii² = -1i³ = -ii⁴ = 1i⁵ = i

e^it = 1 + it + (it)²/_2! + (it)³/_3! + (it)⁴/_4! + (it)⁵/_5! + ...

= 1 + it + t²/2 - it³/6 - t⁴/24 + i t⁵/120 + ...= (1 - t²/2 + t⁴/24 - ...) + i (t - t³/6 + t⁵/120 - ...)= cos t + i sin t

⇒ e^it = cos t + i sin t ⇒ Formula di Eulero

Quindi:e^a+x = e^ae^ib = e^a (cos b + i sin b)