Funzioni (proprietà, derivate ed espansione in serie di Taylor)

FUNZIONI

:ℝ⟶ℝ

INIEZIONE: ∀₁≠₂⟹(₁)≠(₂)

SURIEZIONE: ∀∈ℝ esiste ∈ℝ tale che =()

BIJEZIONE: è ad iniettiva che suriettiva

↪ unica invertibile

es. :ℝ⟶ℝ

⟼ ²

• 2 ⟼ 4
• -2 ⟼ 4
• 4 ⟼ √4 = ±2
• √4 ±√8 ±√16 ⟼ ?

es. :ℝ⟶ℝ

⟼sin()

non è invertibilequindi restringo su un sottoinsieme

per fare in modo che :⟶sin() sia invertibilesi considera :[-/2, /2] ⟶ [-1, +1] ⟼ sin()

↪ biettiva quindi è invertibile

f:^-1 [-1; +1]⟶[-/2; +/2]⟼arc_sin()⟼arc_sin()

=arc_sin()

Simmetrica rispetto alla bisettrice

es. :ℝ⟶ℝ

⟼ cos()

FUNZIONI

f: R → R

INIEZIONE: x₁ ≠ x₂ ⇔ f(x₁) ≠ f(x₂)

SURIEZIONE: ∀y appartenente a R esiste x appartenente a R tale che y = f(x)

BIETTIVA: se f è sia iniettiva che suriettiva

➔ unica invertibile

es. f: R → R

• x ⇔ x²
• -2 ⇔ │ │
•  2 ⇔               │ │

√4;  = 2 → √2  +2     -√2 = -2

es. f: R → R

• x ⇔ sin(x)

non è invertibile

quindi restringo su un sottoinsieme

per fare in modo che f: [-π/2, +π/2] sia invertibile

si considera

• -π/2  x  +π/2 ⇔ y ⇔ sin(x)  →

f è biettiva quindi è invertibile

e l'inversa     [-1, +1] ⇔ [-π/2, +π/2]

y ⇔ x = arcsin(y)

y = arcsin(x)

Simmetrica rispetto alla bisettrice

es. f: R → R

• x ⇔ cos(x)

L'inversa e`:

[ -1, 1 ] → [0, π ]

x: arccos (x)

y: arccos (x)

ex. funzione esponenziale:

y = a^x (a = 10 a = e)

x: 1 a^x per ogni y

inversa x = loga (y)

esiste solo se y > 0

FUNZIONI IPERBOLICHE

seno iperbolico:

senh (x) = sinh (x) = ^{ex - e-x}/₂

coseno iperbolico:

cosh (x), csh(x) = ^{ex + e-x}/₂

tangente iperbolica:

tanh (x), tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

cos² (x) + sin² (x) = 1

cosh² (x) - sinh² (x) = 1

—> circonferenza goniometrica

—> iperbole equilatera

esempio:

y = x^{2 1}/_x²

se x è molto grande ¹/_x² tende a zero

quindi x² - ¹/_x² tende a x² (si avvicina senza toccarci mai.)

le due curve y = x² e y = x^{2 1}/_x² sono asintotiche (per x → ±∞)

DERIVATE

y = f(x)

y₀ = f(x₀)

r : y = m (x - x₀) + y₀ retta passante per (x₀; y₀)

m = f'(x₀)

come calcolare m:

m= ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h] = f'(x₀)

ex f(x^m) = ...

D(x^m) = m x^m-1

es.

f(x) = e^x

f(x) = lim_n<0 f(x₀ + 1/n) - f(x₀), lim_n>0

lim_n>∞ e^(1/n) = e^x₀

D(e^x) = e^x

D(ln x) = 1/x

D(funzione costante) = 0

D(f(x) + g(x)) = D(f(x)) + D(g(x))

D(f(x) ⸱ g(x)) = D(f(x)) ⸱ g(x) + f(x) ⸱ D(g(x))

D(f(x)/g(x)) = [D(f(x)) ⸱ g(x) - f(x) ⸱ D(g(x))]/g(x)²

(regola di Leibniz)

es.

D(tg x) = D(sin x/cos x)

= [cos x ⸱ cos x - sin x (-sin x)]/cos² x

= [cos² x + sin² x]/cos² x

= 1 + tg² x

= 1/cos² x

es.

f(x) = x²sin(x) + ln x/cos(x)

D(f(x)) = D(x²sin(x) + ln x/cos(x)) = (x²sin(x) + ln x) D(cos(x))

= [x²sin(x²) + 1/x] (-sin x)

= [2x ⸱ sin x ⸱ x + x/x] cos x + (x²ln x + ln x)(-sin x)

= (2x ⸱ sin x + x ⁄ x) ⸱ cos x + (x²ln x + ln x) ⸱ (-sin x)

FUNZIONI COMPOSTE

es.

y = ln(sin x)

y = sin(ln x)

le composizione delle funzioni non è commutativa

D(p(g(x))) = (D f(p(g)(sin))) ⸱ (D g(x))

D(ln(sin(x))) = 1/sin(x) ⸱ cos(x)

D(