Funzioni limitate in 2 variabili - esercizi

Analisi della funzione f(x, y) = xy (2 - x - y)

Vogliamo determinare se la funzione f(x, y) = xy (2 - x - y) è limitata. Per dimostrare che una funzione non è limitata, basta trovare una direzione lungo la quale la funzione va a ±∞.

Direzioni utili per l'analisi

• x = 0 (asse y)
• y = 0 (asse x)
• y = ± x (bisettrici dei quadranti)

Analisi lungo l'asse y (x = 0)

Si vede che per x = 0, si ha f(0, y) = 0 e non può tendere a ±∞, quindi non è utile per dimostrare la non limitatezza.

Analisi lungo l'asse x (y = 0)

Analogamente, per y = 0, si ha f(x, 0) = 0, quindi anche questa direzione non porta a ±∞.

Analisi lungo la bisettrice y = x

Per y = x, si ha f(x, x) = x² (2 - 2x). Calcoliamo il limite:

lim^x→+∞ x² (2 - 2x) = -∞

Questa direzione ci assicura che la funzione non può essere limitata superiormente, perché lungo la retta y = x, la funzione va a -∞.

Prova con la funzione f(x,y) = e^x+y √xy

Prova tu a determinare la limitatezza della funzione f(x, y) = e^x+y √xy utilizzando direzioni simili a quelle analizzate per la funzione precedente.