Funzioni elementari e disequazioni

Argomento 2 — I parte

Funzioni elementari e disequazioni

In questa lezione richiameremo alcune fra le più comuni funzioni di variabile reale, mettendone in evidenza le principali proprietà. Esamineremo in particolare le funzioni: modulo, potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche. Vedremo infine l’applicazione alla risoluzione delle disequazioni. Suggeriamo di disegnare più volte i grafici delle funzioni riportate in questa sezione in modo da essere in grado di riprodurle senza esitazioni: questo favorirà l’apprendimento dei concetti successivi.

Modulo

La funzione modulo, \( f(x) = |x| \), è così definita:

• \(|x| = x\) se \(x \geq 0\)
• \(|x| = -x\) se \(x < 0\)

Il suo grafico è rappresentato da:

210-2 -1 1 2

Data una funzione \( f(x) \), la funzione composta \( g(x) = |f(x)| \) (modulo di \( f \)) ha come grafico lo stesso grafico della \( f(x) \), dove \( f(x) \geq 0 \), mentre ha come grafico quello simmetrico rispetto all’asse \( x \) dove \( f(x) < 0 \).

Non si confonda la funzione \( g(x) = |f(x)| \) con la funzione \( h(x) = f(|x|) \) (funzione del modulo di \( x \)), cioè quella in cui il modulo è applicato alla variabile indipendente: quest’ultima è sempre una funzione pari.

Esempio 2.12

Sia \( f(x) = x^2 - 4x \). Rappresentiamo i grafici di \( g(x) = |4x| \) e di \( h(x) = |x^2 - 4x| \):

1515 1010 55 00 -4 -2 2 4 6 8-4 -2 2 4 6 8 xx-5 -52

\( g(x) \) (nera sottile), \( h(x) \) (verde spessa)

Funzione potenza

Per “funzioni potenza” si intendono le funzioni del tipo \( f(x) = x^\alpha \) ove \(\alpha \in \mathbb{R}\) e \(x > 0\).

Osservazione 2.1

Poiché con la stessa espressione formale si hanno situazioni molto diverse, bisogna prestare molta attenzione sia al dominio della funzione stessa sia al grafico, che possono differire molto al variare del valore del parametro \(\alpha\).

Particolari valori di α

In alcuni casi particolari, l’insieme di definizione della funzione \( f(x) = x^\alpha \) può essere esteso:

• Se \(\alpha\) è un intero positivo, la funzione potenza è definita \(\forall x \in \mathbb{R}\).
• Se \(\alpha\) è un intero negativo o nullo, la funzione potenza è definita per ogni \( x \neq 0 \).
• Sia \(\alpha = \frac{1}{n}\), dove \( n \) è un intero. Ricordando la definizione di \( \sqrt[n]{x} \) e tenendo conto che \((x^{\frac{1}{n}})^n = x\), valgono le seguenti affermazioni:
• Se \(\alpha\) è positivo, si può estendere l’insieme di definizione a \(\forall x \in \mathbb{R}\).
• Se \(\alpha\) è negativo, è definita \(\forall x \neq 0\).
• Sia \(\alpha = \frac{m}{2n+1}\), con \( m, 2n+1 \) interi primi fra loro. Se \(\alpha\) è positivo, la funzione potenza è definita \(\forall x \in \mathbb{R}\), mentre, se \(\alpha\) è negativo, è definita \(\forall x \neq 0\).
• Infine, se \(\alpha = \frac{m}{2n}\), con \( m, n \) positivi, primi fra loro, la funzione potenza è definita per ogni \( x \geq 0 \). Lo stesso se \(\alpha > 0\) è un numero irrazionale.

Potenze ad esponente intero

Supponiamo che \(\alpha\) sia un intero e consideriamo per prima cosa alcuni grafici.

\(x^{10}\), \(x^{0.5}\), \(x^{-1}\), \(x^{-0.5}\) per \(x\) tra -0.5 e 1 mostra la variazione dei grafici a seconda dell'esponente.

Riportiamo di seguito i grafici delle stesse funzioni, relativi a un dominio di definizione più ampio.

Si tengano presente la definizione e le proprietà delle potenze (Minimat - Lezione 2)

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