Funzioni elementari e disequazioni

Proprietà delle funzioni trigonometriche

Entrambe periodiche di periodo 2π:

sin(x + 2kπ) = sin x

cos(x + 2kπ) = cos x per ogni intero k.

La funzione sin x è dispari, mentre cos x è pari:

-sin(-x) = sin x

cos(-x) = cos x per ogni x reale.

Se si aggiunge π a x, si ottiene il punto opposto sulla circonferenza, per cui:

-sin(x + π) = sin x

cos(x + π) = cos x per ogni x reale.

Inoltre valgono le seguenti espressioni:

-cos(x + π/2) = sin x

sin(x + π/2) = cos x.

Quest'ultima proprietà permette di dire che il grafico di cos x si ottiene da quello di sin x traslandolo verso sinistra di π/2, come si vede nella figura successiva.

Vale l'identità fondamentale:

x + sin x = 1 per ogni x reale.

Sono molto utili le formule di addizione:

-sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

per tutti gli x, y reali. Come caso particolare, mettendo x = y si hanno:

le seguenti ²− ∈x sin x, per ogni x

sin(2x) = 2 sin x cos x

cos(2x) = cos R.

• 6La funzione tg x = sin x/ cos x è definita per ogni x tale che cos x = 0, ovvero:

6x = π/2 + kπ per ogni intero k.

− −È periodica di periodo π. Infatti, poichè sin(x + π) = sin x, cos(x + π) = cos x, si ha

− sin x sin x

sin(x + π) = = = tg x.

tg (x + π) = −cos(x + π) cos x cos x

− −tgÈ dispari, infatti: tg (−x) = sin(−x)/ cos(−x) = sin x/ cos x = x.

2 Ricordiamo che una funzione si dice periodica di periodo T se ∀x ∈ D si ha che f (x + T ) = f (x).

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