Funzioni derivabili

Calcolo differenziale

Funzioni derivabili e rapporto incrementale

Funzioni derivabili

Dy = f(x) - f(x₀)
Dx = x - x₀

D_x/Dx = ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0}

Rapporto incrementale di f in x₀

Pendenza (ossia coefficiente angolare) della retta per (x₀, f(x₀)), (x, f(x)) → retta secante

Definizione di derivabilità

Sia f una funzione definita in un intorno di un punto di x₀. f si dice derivabile in x₀ se esiste finito

lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} = f'(x₀) = Δ f(x₀) = ^{d f}/_{d x} (x₀)

In tal caso si definisce retta tangente a f in x₀ (o (x₀, f(x₀))) la retta di equazione y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Esempio 1

f(x) = x²
x₀ = 3

^{f(x) - f(x₀)}⁄_{x - x0} = ^{x2 - 9}⁄_{x - 3} = x + 3   ∀ x ≠ 3

f'(3) = lim_x→3 ^{f(x) - f(3)}⁄_{x - 3} = lim_x→3 (x + 3) = 6

y = 9+6 (x-3)
y = 6x - 9 (retta tangente)

Esempio 2

f(x) = |x|
x₀ = 0

^{|x| - |0|}⁄_{x - 0} = ^|x|⁄_x (rapporto incrementale in x₀ = 0)

lim_x→0 ^|x|⁄_x NON ESISTE ⇒ per 0⁺ = +1 ⇒ per 0^- = -1

Esempio 3

f(x) = { x²sin¹⁄_x se x ≠ 0
0 se x = 0

lim_x→0 f(x) = 0
^{f(x) - f(0)}⁄_{x - 0} = ^{x2sin1⁄_x - 0}⁄_{x - 0} = xsin¹⁄_x

f'(0) = lim_x→0 ^{f(x) - f(0)}⁄_{x - 0} = lim_x→0 (x)^sin1⁄_x

Concetti di derivabilità

Limitata

DEF f'₊(x₀) = lim_x→x0⁺ (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)
f'_-(x₀) = lim_x→x0^- (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Si permettono anche i casi di limite ± ∞

Punto angoloso e cuspide

Punto angoloso se f'₊(x₀) e f'_-(x₀) sono finiti ma f'₊(x₀) ≠ f'_-(x₀)

Punto di cuspide se f è continua in x₀ e f'₊(x₀) = ±∞, f'_-(x₀) = −∞ (o viceversa)

Esempio 4

f(x) = √|x|
x₀ = 0 (punto di cuspide)

|x| - √|x| / x - 0 = √|x| / x = {1/√x per x > 0
-1/√-x per x < 0

lim_x→0⁺ √|x| - √1/√1 / x - 0 = ±∞
lim_x→0⁺ √|x| - √1/√1 / x - 0 = −∞

Punto a tangente verticale

Se f è continua in x₀ e f'₊(x₀) = f'_-(x₀) = +∞ oppure f'₊(x₀) = f'_-(x₀) = -∞

Esempio 5

f(x) = ∛x
x₀ = 0 (punto a tg. verticale)

lim_x→0 ∛x - ∛0 = 1/x^2/3 → +∞ per x → 0⁺

f(x) = ∛x + x + Θ(x)
x → 0 (parte dominante → f si comporta come f^'(x) = ∛x)

lim_x→0⁺ (x + Θ(x)) / x = Θ(∛x) → punto a tg. verticale

Definizione di funzione derivabile

Una funzione f si dice derivabile su un intervallo I se è derivabile in ogni punto interno ad I (ossia non un estremo) e negli eventuali estremi e finite le derivate destra e sinistra f'(x) x ∈ I

Funzione derivata di f

Prima formula dell'incremento finito

Se f è derivabile in x₀ e finito lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/ (x - x₀) = f'(x₀)

ω(x) = (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) - f'(x₀) → 0 per x > x₀

f(x) - f(x_o) = f'(x_o)(x - x_o) + ω(x)(x - x_o)

Θ(x - x_o)ω(x) · (x - x_o)(x - x_o)

f(x) - f(x_o) = d_y f'(x_o)(x - x_o)

d_y = f'(x_o) □ x Differenziale di y = f(x)

Δx = x - x_o = □ x
y = f(x) = xi

Se y = f'(x) dx = Δx = x - x_o = h

d_y = f(x) - f(x_o)
d_y = f'(x)dx

Proprietà delle funzioni derivabili

Proprietà: Ogni funzione derivabile in x_o è anche continua in x_o