Funzioni derivabili

Calcolo Differenziale

Funzioni Derivabili

Rapporto incrementale

Pendencia (ossia coefficiente angolare) della retta

Per _{(x0, f(x0)), (x, f(x))} ⇒ Retta Secante

Def. Sia f una funzione definita in un intorno di un punto di x₀.

f si dice derivabile in x₀ se esiste finito

lim_x→x0 [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) = f'(x₀) = Δf(x₀) = df/dx (x₀) = df/dx |_x=x0

In tal caso si definisce

Retta tangente a f in x₀ (⊘ (x₀, f(x₀))) la retta di equazione

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

ES   f(x) = x²   x₀ = 3

f(x) - f(x₀)   x² - 9

x - x₀ = x - 3   = x + 3   ∀ x ≠ 3

f '(3) = lim f(x) - f(3) = lim (x + 3) = 6

   x → 3     x → 3

y = 9 x (x - 3)

y = 6x - 9   RETTA TANGENTE

ES   f(x) = | x |   x₀ = 0

|x| - |0|   = |x| RAPP. INCREMENT.

x - 0    x   in x₀ = 0

f '(0) = lim |x|

    x → 0

x₀ = 0   PUNTO x ANG. x

f '(0)= lim | x |   = 1

+ 0 x

lim | x |   NON ESISTE → più 0⁺ = + 1

x

x→ 0   più 0⁻ = -1

preciso f non e derivabile in x₀=0

ES.

  {

f(x) =   x² sen 1   se x ≠ 0

      x

 {

   0      se x = 0

lim f(x) = 0

x → 0

f(x) - f(0) = x² sen 1 = x sen 1

x - 0   x - 0   x

x ≠ 0           x

f '(0)= lim f(x) - f(0) = lim (x sen 1)

       x → 0           

             x → 0

x - 0           

     x sen 1  = 0

     x                            

      x² sen 1

       x                            

      1

LIMITATA →

sen x ≠ 0

LIMITATA → 

per x → 0

OSS: NON È VERO IL VICEVERSA

ES

f(x) = |x| in x₀ = 0 è continua ma non derivabile

ES

f(x) = {x sen 1/x per x ≠ 0

0 per x = 0

f(x) è limitata

lim_x→0 f(x) = 0 perciò f è continua in x₀, ma

f(x) - f(0) / x - 0 = x sen 1/x - 0 / x - 0 = sen 1/x

— Non ha limite per x → 0⁺ e x → 0^-

Il coefficiente angolare della retta passante per 0 e per un punto variabile del grafico oscilla sempre tra -1 e 1

DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

1) f(x) = C

lim_x→x0 f(x) - f(x₀) / x - x₀ = lim_x→x0 C - C / x - x₀ = 0

f'(x) = 0  ∀ x ∈ ℝ

non è una forma indeterminata [0/0] perché manca solo (C-C=0), non il lim. per x → x₀ (che tende a 0)

D log(x) = ¹/_x ∀ x > 0

D log(-x) = -¹/_x (-1) ∀ x < 0

D log|x| = ¹/_x ∀ x ≠ 0

f (x) pari ⇒ f '(x) dispari

f (x) dispari ⇒ f '(x) pari

D x^α = α x^α-1, x > 0 (α ∈ R) D x^m = m x^m-1

[x^α = e^{α log x}]

FUNZIONI IPERBOLICHE

.sinh x ^def= ^{ex - e-x}/₂

.cosh x ^def= ^{ex + e-x}/₂

Teorema di Lagrange

f: [a, b] → ℝ continua su [a, b] e derivabile in (a, b),

Allora ∃ c ∈ (a, b):

f'(c) = f(b) - f(a) b - a

DIM

Introduco la funzione ausiliaria

g(x) = f(x) - f(a) + f(b) - f(a) x - a

Soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle

[g è continua su [a, b], derivabile su (a, b) e g(a) = g(b) = 0]

Perciò ∃ c ∈ (a, b): g'(c) = 0

Ma g'(x) = f'(x) - f(b) - f(a) b - a

g'(c) = f'(c) - f(b) - f(a) b - a = 0

ES

f(x) = x² su [2, 5]

Determinare il punto c che interviene nella conclusione del teorema di Lagrange

f'(c) = f(b) - f(a) b - a

2c = 25 - 4 5 - 2 = 27 3

c = 9 2

ES

f(x) = 1 x su [2, 3]

- 1 c² = 1 2 + 1 3 = 5 6

- 1 c² = - 1 6

c = ±√6 ma c ∈ √6 ∈ (2, 3)