Definizione di funzioni e funzioni elementari

Le Funzioni

Def: X, Y non vuoti. Una funzione f da X a Y è una corrispondenza che associa ad ogni x ∈ X uno e un solo elemento y ∈ Y.

X = dominio di f Y = codominio di f (diverso dall'immagine Im f)

Non è una funzione

Notazione: f: X → Y x ∈ X → y ∈ Y : y = f(x)

Esempio: f(x₁) = y₁ = f(x₃)

x = variabile indipendente y = f(x), valore di f in x

Im f = f(X) = {f(x), x ∈ X} -> immagine di f

= {y ∈ Y: ∃x ∈ X : y = f(x)}

Im f ⊆ Y

Esempio: Im f = {y₁, y₂, y₃}

Grafico di f

f: X → Y

x ∈ X → y ∈ Y

y = f(x)

Def:

graf f =

{(x, f(x)) | x ∈ X} ⊂ X × Y

ES:

grafica di f:

{(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₄, y₄)}

funzioni di variabili reali a valori reali

ES:

X, Y ⊂ ℝ

f: X → Y

x ∈ ℝ → y ∈ ℝ

f(x)

ES:

f(x) = x² + 2

x → x² + 2

X = ℝ

Y = ℝ

Im f = [1)

In questo caso il grafico di f = {(x, f(x)), x ∈ X ⊂ ℝ} ⊆ ℝ × ℝ

ES: f(x) = x² + 2

X: 0 f(x): 2

(0, 2) ∈ graf f

x: 1 f(1): 3

X: -1 f(-1): 3

FUNZIONI PERIODICHE

DEF: f: X⊂R → R

f è periodica di periodo T∈R se ∀x∈X: f(x+T)=f(x), ∀x∈X e T la più piccola di queste è indicata periodo di f.

• P = periodo di f

FUNZIONI UNIVARIE

DEF: f: X⊂R → R

F è limitata superiormente (o inferioriormente) se esiste un numero M>0 ∈R t.c. ∀x∈X: f(x) ≤ M. (∃M>0: M∈R t.c. f(x) ≤ M, ∀x∈X).

Se F è limitato ma superiormente che inferioriormente si definisce limitato: ∃N >0: |f(x)| ≤ N, ∀x∈X.

• In questo caso f non è limitata superiormente. ∀M>0 ∈R ∃x’∈X ctd t.c. f(x’) = M.

È limitata inferiormente ma non superiormente:

• ∀N>0 ∈R , ∀x∈X: f(x) > M

Invece f: ℝ → [0, +∞[

f(x) = x² allora è suriettiva

Come rendere f(x) = x² iniettiva?

Restringendo il dominio:

f: [0, +∞[ → [0, +∞[

f(x) = x²

Allora è sia iniettiva che suriettiva

Def.

f: X → Y è biettiva se è iniettiva e suriettiva

Cioè

{"∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X / f(x) = y

"∀ x₁, x₂ ∈ X / x₁ = x₂ f(x₁) = f(x₂)

"C'è una corrispondenza biunivoca tra x e y"

Esempio: f(x) = x³

f: ℝ → ℝ

∀ y ∃ ! x / y = x³

Dimostrazione

Se una funzione è strettamente monotona in A allora è iniettiva su A

Prendo f strett. crescente

t.esi? x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

x₁ ≠ x₂ ho due casi:

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

<= f(x₁) ≠ f(x₂)

oppure x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

<= f(x₁) ≠ f(x₂)

Cenni sulle funzioni elementari

• Funzioni lineari

f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ

f(0) = b

se a > 0 strett. crescente

se a < 0 strett. decresc.

se a = 0 f(x) = b

ES: f(x) = x - 2

a = 1 b = -2

ES: f(x) = -5x + 1

a = -5 b = 1

f(x) = x^1/n

n pari

sono definite in x = { x ≥ 0 }

Im ∈ {y ≥ 0}

Strettamente crescente

n dispari

f(x) = x^1/n

y = x^1/n ⟺ y^m = x

sono biettive

f: ℝ → ℝ

quindi X = ℝ x ∈ ℝ

Im f: {y ∈ ℝ}

d) q =

x^2/3 / 3^2/3 = √³(x^m) ⟺ (x^m)^1/n

1.

Trovare il dominio di:

f(x) = log|x|

X = { x ∈ ℝ | x > 0 } = ℝ₊

2.

f(x) = log|x+1|

X = { x ∈ ℝ | x > -1, log|x| ≠ 0 } = ℝ { 0; -1 }

Funzioni Trigonometriche

Vogliamo misurare un angolo con un numero reale.

x é l'ampiezza dell'angolo âÔP se x é la lunghezza dell'arco PQ

x é la misura in radianti.

ES.

• âÔP = 0
• âÔR = π
• âÔS = 2π
• âÔH = π/2
• âÔQ = 3/2π

x ∈ [0, 2π]

Def:

f^-1(y) = arcsin y

x₁ = arcsin y ⇔ y = sin x_. y ∈ [-1, 1] x ∈ [-π/2, π/2]

f(x) = arcsin x

• ε- dipari
• ε definita in [-1, 1] ⇔ |x| ≤ 1
• i̇    Δ continue

f(x) = arcsin(|x - 3|)

|x - 3| ≤ 1 ⇔

⎧ x - 3 ≤ 1 ,   x ⩷ 3

⎨       ⩷

⎩ x - 3 ⩷ - 1 , x ⩷ 3

⎧       3 - x ⩷

⎨       3 ⩷ x ⩷ 9

⎩    x ⩷ 2    x ⩷ c

⇔   2 ⩽ x ⩽ 4