Definizione di funzioni e funzioni elementari

Le funzioni

Definizione di funzione

X, Y non vuoti. Una funzione f da X a Y è una corrispondenza che associa ad ogni x ∈ X uno e un solo elemento y ∈ Y.

X = dominio di f
Y = codominio di f (diverso dall'immagine Im f)

Non è una funzione

Notazione

f: X → Y
x ∈ X → y ∈ Y : y = f(x)

Esempio

f(x₁) = y₁ = f(x₃)
x = variabile indipendente
y = f(x), valore di f in x

Im f = f(X) = {f(x), x ∈ X} -> immagine di f
= {y ∈ Y: ∃x ∈ X : y = f(x)}
Im f ⊆ Y

Esempio:
Im f = {y₁, y₂, y₃}

Grafico di f

f: X → Y
x ∈ X → y ∈ Y
y = f(x)

Definizione

graf f = {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y

Esempio

Grafica di f:
{(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₄, y₄)}

Funzioni di variabili reali a valori reali

X, Y ⊆ ℝ
f: X → Y
x ∈ ℝ → y ∈ ℝ
f(x)

Esempio:

f(x) = x² + 2
x → x² + 2
X = ℝ
Y = ℝ
Im f = [1)

In questo caso il grafico di f = {(x, f(x)), x ∈ X ⊆ ℝ} ⊆ ℝ × ℝ

Esempio:
f(x) = x² + 2
X: 0 f(x): 2
(0, 2) ∈ graf f
x: 1 f(1): 3
X: -1 f(-1): 3

Funzioni periodiche

Definizione

f: X ⊆ ℝ → ℝ
f è periodica di periodo T∈ℝ se ∀x∈X: f(x+T)=f(x), ∀x∈X e T la più piccola di queste è indicata periodo di f.
P = periodo di f

Funzioni univarie

Definizione

f: X⊆ℝ → ℝ
F è limitata superiormente (o inferioriormente) se esiste un numero M>0 ∈ℝ t.c. ∀x∈X: f(x) ≤ M. (∃M>0: M∈ℝ t.c. f(x) ≤ M, ∀x∈X).

Se F è limitato ma superiormente che inferioriormente si definisce limitato: ∃N >0: |f(x)| ≤ N, ∀x∈X.

In questo caso f non è limitata superiormente. ∀M>0 ∈ℝ ∃x’∈X ctd t.c. f(x’) = M.

È limitata inferiormente ma non superiormente:
∀N>0 ∈ℝ, ∀x∈X: f(x) > M

Invece f: ℝ → [0, +∞[
f(x) = x² allora è suriettiva

Come rendere f(x) = x² iniettiva?
Restringendo il dominio:
f: [0, +∞[ → [0, +∞[
f(x) = x²
Allora è sia iniettiva che suriettiva

Definizione di funzione biettiva

f: X → Y è biettiva se è iniettiva e suriettiva
Cioè
{"∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X / f(x) = y
"∀ x₁, x₂ ∈ X / x₁ = x₂ f(x₁) = f(x₂)
"C'è una corrispondenza biunivoca tra x e y"

Esempio

f(x) = x³
f: ℝ → ℝ
∀ y ∃ ! x / y = x³

Dimostrazione

Se una funzione è strettamente monotona in A allora è iniettiva su A
Prendo f strett. crescente
t.esi? x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
x₁ ≠ x₂ ho due casi:
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
oppure x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Cenni sulle funzioni elementari

Funzioni lineari
f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ
f(0) = b
se a > 0 strett. crescente
se a < 0 strett. decresc.
se a = 0 f(x) = b

Esempi

f(x) = x - 2
a = 1 b = -2
f(x) = -5x + 1
a = -5 b = 1

f(x) = x^1/n

n pari
sono definite in x = { x ≥ 0 }
Im ∈ {y ≥ 0}
Strettamente crescente

n dispari
f(x) = x^1/n
y = x^1/n ⇒ y^m = x
sono biettive
f: ℝ → ℝ
quindi X = ℝ x ∈ ℝ
Im f: {y ∈ ℝ}

d) q =
x^2/3 / 3^2/3 = √³(x^m) ⇒ (x^m)^1/n

Esercizio

1. Trovare il dominio di:
   f(x) = log|x|
   X = { x ∈ ℝ | x > 0 } = ℝ₊
2. f(x) = log|x+1|
   X = { x ∈ ℝ | x > -1, log|x| ≠ 0 } = ℝ { 0; -1 }

Funzioni trigonometriche

Vogliamo misurare un angolo con un numero reale.
x è l'ampiezza dell'angolo ∠ÔP se x è la lunghezza dell'arco PQ
x è la misura in radianti.

Esempio

• ∠ÔP = 0
• ∠ÔR = π
• ∠ÔS = 2π
• ∠ÔH = π/2
• ∠ÔQ = 3/2π

x ∈ [0, 2π]

Definizione

f^-1(y) = arcsin y
x₁ = arcsin y ⇔ y = sin x_. y ∈ [-1, 1] x ∈ [-π/2, π/2]
f(x) = arcsin x

ε-dipari
ε definita in [-1, 1] ⇔ |x| ≤ 1

ì    Δ continue
f(x) = arcsin(|x - 3|)
|x - 3| ≤ 1 ⇔
⎧ x - 3 ≤ 1 ,   x ⊧ 3
⎨       ⊧
⎩ x - 3 ⊧ - 1 , x ⊧ 3
⎧       3 - x ⊧
⎨       3 ⊧ x ⊧ 9
⎩    x ⊧ 2    x ⊧ c
⇔   2 ⊧ x ⊧ 4