Limiti e Calcolo Differenziale per Funzioni in Più Variabili

FORMULA DEL

.

Non valeib controrio DI )

iffy

f.

f@,yo) @%Go

palsy +

=p

ffx in2tyT

,y) ?y2

fz (

ESEMPIO g)

: se

a

; =

. (f) lR2\ko}

f

sfn

(

Abbiano esistono A

Stocke in

vi =

e y

@

(f)

Inottre G) taffy

: |

met-yn@ayDVKo.w

n continue

sonofwnzioni in

)

HDYKD lad

) *

=

ETA

) ( ) he

fse funzioneei

@°,yo) 0,0

se *

e

⇒ , , =n2tyT

it toeegeute

DIFFERENZIABILE Z in

e piano a

ha

@°,yo) equation :

=no'tG# and ( )

( d-

2- t.n.no#_ y yo

+ -

't yo2

No

No2+y# A

,Go) ib

(

PER ESEMMO Zo

1

x piano

e

. =

= =

)

(

net he

al Punto ZM

1,1

taegente equazione :

cano ,

xD

(

A

U ( 1)

In

: 1. y

z = +

+ .

¥#

14/5/2018 "→R

f DEIR

: |z )

ft (c) f

ED (E)

C

INSIEME uveuo c

Di :

= = =

f- =/ =c|

1 @

2 f

ED @

(c) g) g)

in VARIABM :

:

f- @ x2ty2

ESEMRO ! g) = n2tg2=c

=/ } )

' '

f-

Se @,

(c) =\

ek

g) |

cco :

: o

=

:n2+y2

1 }

'

f - @,

f)

Se (

Elk

g)

0 }

:

c= 0,0

o

- =

U2ty2=c|

|

h @, EIRL

f

Se (c) g)

- ciranfehevta

:

0

>

c : = = A

(0/0) RAGGIO r

CENTRO E

Dl =

¢n ) Zyj

@ 2nd

Of ,y) 2g = +

= , =¢o)

@ @

g)

Of Q

g) ⇐ >

. yµ)

¢ into

Recall )

t

( to

5 regohene 8

LH e-

: se

in DERWABKE

cwrva

una y = ,

j( ) abbio

to (

) relto

(6)

due

quest garonksce

Qo j

+ in

j

e : # jlto

tangent direke (0/0)

)

rake per +

= g come .

he

ESEMPIO derivable

g@) funzione

e-

! No

se GRAHW

in curve

una ,

¢ #

do

definite @

grey no

E in

f REGOLARE

Di g

= ,

)

( )

@)

' (

perches gl

1 @o) 0,0

#

y = ,

they derivable he

fanzine

ESEMPIO Se E

: in

euo curve

yo ,

( h g)

)

8 REGOLARE

( E

perches in

(g) go

y = ,

tidy

' )

1) ( Qo

+

@°) = , jlt

f(t

) ' di

)

di of

EIR

punt ooriare

TRACCIA Sano

support i

o

t Dan (8)

e tfcs

f- @ te[

) ]

H ,y4

pH

ESEMMO ! 91

+

qyo

= @o,y°)(na,yT

dinclta

segment

di

support y =

send

( costly ten

#

8

ESEMPIO : - , (0/0)

di

support di 1 centro

ciraaefenaead naggio

j in

= ,

( =D

TEOREMA DELLA FUNZIONE IMKKITA version h=2 m

,

e1R2 @

(a)

b)

definite b)

Sia di

funzioue U intern Sia f

f- in c =

we . .

)

(

feet U Adora

@

Supponiouo to

b)

¥y

e .

)

" (

" ( ,b+e)

R

reltongolo

esiste b

ats

or x

an a e

= -

, ^

esiste

ed funzione UNICA

we {y=g

#

bte

( - - -

t,a+o)→

:@ e) tale de =•@f,

aioiai

b bt b

e.

g - i

- - - ftp.y )

)

b- e =

- .

.

- ,

, ,

I

1

;I→l

III ,

KIE

:3 >

.

# @ ) Ee

get

Inoltre (a)

fair '

e g = . fy @,

b)

°

- -

It

teoreuuegaroutiscelTdig@JanchequoudonowsenepuoesplicitereuueformuheESEMPlOi.f

@ 't 2

g) N y

=

@

•@,

D= b)

' f. 2k

=

• fy

, 2g

| =

quinoudorirobile hvello

di aaeil

to

@ coincide

I 't

U

TEOREMA in y2

1) =L

n

:

curve

⇒ ,

@ ) di definite

fanzine dig

grafico ' euiae

'

g@) in

an

, ,

intorno di x =o

in ( )

In cioerisolverc

esplioitore

quest posso

aeso y

per :

IT

±

y = - TT

µ( a)

\ = s.am/sdo91@)soddista@goj)=(o

)

i

,

gyn ,

, .

=

u

- -

peril

Iutuizione teorana : ¢

)

be di livello di

1) support

f b)

@,y

Se il

e- una

per

c

cuvee = , )

(

@ @

j( )

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b)

)

( to

regolere passoute

t cioe .

curve g per =

, fft )

@

b)

Of e- ORTOGONALE a .

yotaid@Habfk.eDeIufeHijlH.fcH.y

A )

f@H

tt

ft (c) YH

siguifiae

e c

-

,

allora tgzf@H.esCtDg.DfKH.yltD.y

'd

0

derive

posso : =

derivate gradiente

In tutti he

ipmnti il PERPENDICOCARE

CE e-

in cui

⇒ ,

2) Allora

@ Hassen

Of @

fg

Se b) NON e- qeeiudi

b)

¥0 , , )

(

parallels

he livello Lasser

di dlksse

NON e- g now

curve sullies

dare proieltorc

quindi ohe equivole

it

:L

I

si se a a

,

dire che esiste g@) :

sopra

come

~÷te⇒

^ .

I >

@

Se fn diveute

llenunciato

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VALE

inrece to :

,

Ruane & )

(

F F they b

rekaegolo e)

ed goto

) b

: e

sopna +

in → .

- ,

cbe

He |* II

f@,y) fbiygstey

=C #

1

er ¥5

'(

a)

Net (a)

fy b) g

primo to

aoso : : = - Ly @

b)

,

h (b)

@ '

Neb

¥41

foe b)

secondo :

to

aeso : = - @,b)

fn

'

Entroube L

Df

formula equivalgono

queste j

or oaorre

non

:

baste procedure

nicordorle oosi :

, ( b)

UP Ly to

1

Caso : a.

: ,

uegtiooalcolaregl@JganoheseN0Nhoheformuhedig.Foxia.f

@ d#gg@))

) COSTANTE

g@) 0

⇒

= =

In

tkig@Da.afntEtFydFnI.n

f. G@)=g(

a)

914

1

2§u

= +31g ¥€

O

Quindi 2£ @)

' gyn

)

2¥ ⇒

g

= =

+ - ¥

2g 21*0

neipunti in '

an 2g

Grollonio &

@

@, b) b)

b)

'

Sia f I

EE intern di

U apart C

=

, .

,

(a)

b) Allara

Of (0/0)

Se in

# an

,

intonnoRetAvaoLArEdiCqDbacuruaREGaArEloaeireHatongentein@bfhaeqeueeionefnd.b

) (

@ (a)

b)

a) b)

fy -0

y

- -

+

[ ,b)]

@

1 @

Gb) ¢

Le b) fy

Of

reke b)

per = €@b)

llugudgliouza old

Tickle

' @)

SPIEGAZIONE ' g •

=

. - @

fg b)

formula @D

@

GKD

@ ha '

Infalti gl

@ (a)

) j

y = = ,

@

Quindi ' (a) b)

Of

j e- ORTOGONALE #

a

@,

@,

fn @

1 fy 1

b)

b) o

⇐ > g -

+

. ¥5

g\@)

# = - Lyke

b)

,

dilirdlo he

to

Se porometrizzozione

invcce curve

g)

@ Allara equivale

j (g) (g) a

= , ,

E)

'D

h analoghri motivi

per

= - ¢,§

ge (9

N2ty2 # b)

ESEMPIO =L

: cos CIRCONFERENZA

E

Rz

a = = Iz

b n2ty2

( =L

¥

Sen =

)

= f@

@ n2ty2

Of g)

Zn 2g

g) = =

, ( b)

1- =L

a.

@

2¥ E) A)

@

Of b) =

= @,b)=&aRb)

'

, Of (0/0)

#

" "

2 RAGGIO

=

( he

Lavette

)

tohgente

Retta tongente

n2ty2 }n

in Rz

=L

a eqwq

, )

zione2a@oDt2befy.b

ha -0

eqeuezione 262+54=2

by

cioe an + :

=

@ @

) A

A ¥ )

Az =o

-

- + 27 @

cioei b)

Retta

2

Nty ORTOGONALE

= per , ]

[

"

aliieggio b

a

¥596.4

rettatouyentealle

CIRCONFERENZA In

,b

a

€ )

OTIMIZZAZIONE ricercodimessimi eminiml

DEF " ( )

Sia di

f punt

ahe

dice

IR Si

DEIR poets minim

e- Massimo

> un

-

: .

( ) f¢)2f(Po

locale FU )

di intorno due

f tale

relative di po

se

o the

( Kpe U

f(po) ) )

(

(

die globo.ee

dice

Si di oossohet

punt

E massimo

minimo

an

po )

(

f ttped

tpeb

of ef

f

)

( @

se @o) @g

p a ^ aim

any

;u

=L loc

Caso .

n Max •

T loc

min 1 y

I . k

c

locale

OI min GWBALE min

⇒ maxfniu

di

paint

fuunzione .

Osf ' tssocuti

Oo

ooere

puo

una proprio

averne

o now mextuiu

ha di

ESEMPD R puento

f- ( D= Assocun

: ) nessun

n

n how

= µ di (E)

f

terminologies D

ib

de

dice e- massimo

si in

6)

( di tssohe tale ohe

ED punto

Fpo massimo

se :

f( =M

po)

| Ms flp Kpe

) '

, )

( maxfmiu

di

Punto

conditioner

TEOREMA FERMAT

Dl perdue Sia

necessaries Po

di

definite

L

Supponiomo die ohe

intern

in

sia po a

an

the moxfnin

direeionaleDrf@G.Se

derivate di

punt

po e- en

di

locale Allora

fin Be f- do

) 0

po =

, ⇐ to

t

(po+t±)

Dvf ye

f

nd (a) tgz

: = moxtnin

thin t=

dimax Punto di

punk f- 0

Po ⇒ Eun

per

= .vL(p°)

plotter) 14 gko

)

f ' =D

=O

per > g me

= LVAR

FERMAT

definition

per

Corolherio Estrem

-

maxtniu

" locale

f

Sia dif

di

Punto

IR

EEIR po an

Sia

→ e

: .

Allara :

1) di

FRONTERA

PUNTO E

Dl

e- in

po

2) di f

E intenno E

e- PUNTO ad

SWGOLARE e- e-

en

po non

: po e

voniabili

deninebile delle

rispelto

perziolmeute po une

a

in

3) derivable

f

di f E

intern e-

E Punto CRMW e-

po en po e

a

i ueniabili role Fermat

le

partiolmeute spelt tulle

in ni

po ⇒ ⇒

a

[