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Limiti e Calcolo Differenziale per Funzioni in Più Variabili

Limiti di funzioni in più variabili. unicità del limite. punto interno. punto di frontiera. aperto/chiuso. A aperto se per ogni p di A esiste r>0 t.c. Ur(p) è incluso in A. F di Rn si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. gli intorni sferici sono aperti. intorno. punto di accumulazione. il limite se esiste è unico. continuità. composizione della... Vedi di più

Esame di Analisi e geometria 2 docente Prof. E. Schlesinger

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ESTRATTO DOCUMENTO

DERIVATE

1) variable

niduco at di

DERIVATE PARZIAU mi aeso me

: )

( veriabili

fissaedo h s

.

In voniebili

2 : (

f

Supponiamo intorno di

definite

ohe Ponto

,y) sia in

n on an

)

@o,Yo

po = .

Si dice ) derivable

E in no

. .

th

In f

@

D

' Parziale

derivate dice

he derivate di

si

g

aaso ,

)

@o,yo denote

nispelto

in si

an :

can

e

ohefEdeniuebileparziolmentenispeHoeuinposehefuntiouedellosolang@j-fK.y

)

fn@iyD-Dnf4.G

¥ @°d

) .

=

. .

. Ko @

f

)

hit add

sintesi2atz@y.j_ty.ge.f .

+ -

In h

Amite

ib

Se Fiorito

esiste

n2iy2f distance

4 @,y) )

( @

do

ESEMPIO f g)

g) di

: g

go

=

= -

?

' derivable @°,yo)

E in

@ )

fn ?

esiste

gy . fz(2tyF)µu

)

Koda

f. = .

A ttto

glt derivable

) quindi

Sappiano quoudo

he 0

e- >

= ,

ntt ' derivazione

it dellefwnzioni

teorema di compete

go to per

KMT '

h h Ko) Kiko

) @

@ If

) ⇒ a e) 0

>

se

= = K@o)

2 (0/0)

Nd @°,yo)

solo t

nostro se

caso

fn@isD-fnfitetMn.n eyes no ÷

→ =

=

.

@

)

s@o.y )

⇐ t °

. fgfn.gr#y..yg bye

@

fy

Anologaneute )

rispelto y gy

:

a =

.

, @ ?

§ della

lose dorioezione

teoraeo

swaede in non Posso usere

funzione compost . definition

Uso he

ollora : ;

M

( (4)

)|← f.

to

tnko ) esiste

the non

ten

-

= . N so

^ : n }

@,y,z)eM3

kg { Mf

)

di @ @

f

Gnafico z=f

g) Dan (f) g)

e

: =

= ,

,

n2tyT lR2

f )

@,y Dan (f)

e =

= % )

=n+yT

IN

{ @

grefico a)

g. e : z

=

Gnafico n2ty2

¥

n

@ Z - quote Z=r

.⇐⇒ .

.ci

M

di

equivalent - !

punt ongoloso

un

ftp.t.me

' >

- t

- -

L

N.B.n2tyT.distonzadifn.ypfdolllesse2ESEMPlOi.f@y.z

nybu

(1+2-2)

) =

fz@y.z 2G.#

) = It 22 KG)

n

geometeiaemeute : Yo !%GD

• ;

! >

=/

@

g) ASSE cioe

Asse 2 no

Se E U

O y vy=o

,

f

ESEMMO @

: G) @ ¢

L g)

se Asset

Assenv

:

1 I

1

o

: 0 0

0

0 0

0 0

0 0 z

0 L

1

I o

0 derivable

In f pertialmente nispek

questo e- one

caso nispay

fn =fy

do )

(

) 0,0 to )

f continue f (0/0)=0 di

( intoruo

0,0 pendeei

in

e- ogmi

in

now ma

fig

) @

g)

tdi

infiniti f

0,0 eastone punt

) die I

= (

Deoorimediarei Damn

be

foecio direzione

lunge orbitnania

derivate qui

.

oettore of

I to

,q)

=

2) DERIVATE DIREZIONAU if,

nelte

be abbie

@o ) modo

porewetizzo due

I

yo in

per wane

,

velocity astute uguale I :

a )

@

@

jlt ) tp ttq

to

) +

sy y

+ =

= . .

,

DEF Ko

Def

he direzionale

derivate fin

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@°,yD ,Yo) nispelb e-

I

a

#

( ) (

della fuuzione t=0

derivate

he

esiste f f

se in

g

ftp.tkttpitottgd

teased

tq)µ=o

tfflnottp

that -

De go +

= , seesistefinito

ftp.

H ( )

gotta Qd

(

@

a)

| 1.3.42

ESEMPIO : se +

FHH dad

@

a)

o se

^

!

? ?

? >

0

0

O

0

0

0

0 !

?

? ? (0/0)

Stebilire in

se esristeil

) 1=(0/0)

esistouoleDrf@G.Usobedefinizioue.DefinisaoI-p.q

) Hao

)

-

Drf@olilimtkwd9ttef-tKodd.fgyfHsg.ta =

too

/

se

limited destro

¥39 L= °

se :

qto

o

- {

t6p6+Hg2

him EFFI

thin

= =

=

go ?

L=

e

← seq o

. :

.

Se @

indecision 1=(0/0)

[ ] perohe g)

to

q=o a

: me p

Qo =

it L=0

numerator E perches

0

⇒ ⇒

Conclusion :

D.vf@idesisteedeeeyudea0VIProblemai.f

(Qo)

continue ouzi

in

e-

now ,

If

dim f(n,y) infalti :

= ,

@ lag

g) → fed

enhjhfcao =° tjt y=n3

, ^

/

f @

g)

pero z.3.gg

= is

@,ns) the

?

f

Cdcolo n tz

= =

*

@ NON

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⇒ G)

lim@yj.ca

, derivate hanno he

Le quindi solo

direzioudli funzioue

→ se

senso

punto

continua queb

e- in §

(

ESEMPIO E- 1.

' Dseo

. ,

f@oifD-fnKeiddfCkott.yD.LKo.Go

)

InfoHiDes.gf@sGd-ttno-gSeinveceE-KDDonfCnaYD-fyfko.ydGeneralizzezionedelcouceKodiderivabilitoiopiuiooriabilifeidifferenziabileinfeo.y

@ )

opprossimebile

a) ago

e-

se in

'

de dell

linear increment

funzione

we

In ooriabile signified :

una @

xD

fee f @

a.)

@ '

)

f @y

) a

-

. +

=

. ⇒

TANTE IWCREMENTO

.

FUNZIONE LINEARE

INCREMENTO

DELLI )

( nligu.o@ehg.h.o

per x→x°

In ooriebili

2 :

h Key yo

n.no j

- . ah

o||(h

#

@

,yo+k)

f f

th bk

@°,yo) + ,

= +

- - ,u)→@o)

4

per

LINEARE Dl

FVNZIONE EIRZ

¢ ) aeb

,K costanti

,

DEF unintornodi@o.yo )

@

g)

Sia funzione definite

f- in

we .

dice

Si de

fEDlFFErENZlABiLEih@o1yGseesistonoa.b

tali he formula

due

IR volga

e ah

o||(h

#

@o+h

,yo+k) perk

,k)→Gd

f bk

f- @°,yo) + ,

= +

-

signified

ESPUCITAMENTE :

f @°iYo)

)

froth f ah

him yotk bk

-

, 0

-

- =

1h,k)→( ) -

0,0 k2

h2 +

8/5/2018 '

f- IR

f@,y) Der →

:

{ ,£)elR3 J

Ky @

@

Mf =f

ED g)

2

g) e

.

= ¥y

;

^ del

D°m$ domino associate

punto

ogni e-

a

| del

solo gratia

punto

in

Lx swllbsse

In f (D) proiezione

(f) z

=

= x2ty2M )

(

@, ( da

g) 24 g)

ESEMPI DISTANZA

: f 0,0

= =

'

DH IR

E )

[

In ostoo

(g) = e-xhy2#

f

ESEMPIO : @,y)= x2tyI

'

{

#

D= ek

@

Dan g) :

= unellisse

intern di

^Y 't =L

n G÷

• D

t• L se

>

# to

;D

In = 1-k2.lt#

Mf @,

g) D

SUPERFICIE E

z = per

=

=

porzionediellissoideswbsemipionoZ2ORiosswntoiSwpponiomofdefinitoinunintornodi@o.Go

) .

differentiable

due

Si f

dice @o,yo) se

e- in

[

him

Fqb tdiohe

EIR : @-nD2+(y-yo#

(

@

G) ,G§

no

tkD-tkoisoD-a@nD-bes-yd.o

Vuoldiredee numerator

it dereessere puello

di inferior

ordiwe a

um

della lheppnossimoziaue buoua

E

norma ⇒ .

h=n key

Se e yo

x

- . . µ

KM

) )

( @ ) @

f f bk

ah

roth yotk go o

.

= +

+ +

, , (

G. ,o)

o

vy →

per

) di @ linear

odd

differentiate f he fenzione

E

in

=

.

dfk ]

( ah bk

,y°) hk +

. = ]

[ @

Ko ,Yo)

b f

,Go) Gradiente

µDµfa a n

Di

= °

ahtbkeifuntionelineoreMtiRrappresentotadoLabTdf@o.y

TEOREMA to

@° ) b]

de Of @

die

differentiable

Supponiamo f )

in yo ago

sia e

,

Albero : )

continue Kogyo

1) in

f e- he

f tuAelederiootedirezionaliin@o.yo)

2) to gradiente

formula

role del

a :

the Def Off

)

(

) ,y°) bq

( go : @°,yo) ap

+ E

p ,q +

- - -

. f)

( fn

In fn @

portiahere ) perches De

,y° a

: = =

. ⇒

@

fy ) b

,y =

.

° ]

[

Of fakery

fa @°,y

) )

@°,yd .

= .

ueHoredelledevivoteperziolifK.ed-f@aydtfakaGdG-ndtfyCxqydCy-ydtofHn-ao.y

)

y°||

-

( )

@

g) 0,0

per

Dd :

Nostro

1) Rayo)

due continua

f in

e- :

Kath )

him

oedere

Devo che f@qyd

for f 0

yotk - =

,

,K)→o@)

A

,Go)|¥yµn|

|f ¥ #

o(Hh

# )

th ah bk

f- (

yotk no + +

. .

, ,p.hKIH|

44,1¥

lahtbkl Kidney

< 0 per

+

- °

-

°

→ o

Allow continue

f

2) Fission ) Hoo )

(

I pcq

= do )

f yttq f@o.yo

tp )

+ -

Detention , -

£

, TAYLOR

DESTRA

A g.

( ,tN )

His

bte

at +

+

tem

= .

ftp.olktf#H*

aptba

= + =

H #

(

hnn%eto_

bq ten

+ gfqgy.ee#HfH)=ap+ba

ap +

= . 0

oteoisd He]

= & )

PIANO TANGENTE @, t@o.yd

g)

f in

z ,y°

a - . ,

of @ @ )

g) =f ago + )

.

fn@oifdnndtfyK.itoCy.yDtoNK-nyy.y

the

Si dice quest E

piano

pdinauiodipmimogradoohemeglioapprossimafvicinoa@aGdIbgrefiadelpolinowioeunNAvodieqwazioneZ-fKgyytfnKgydCn-kdtfyKoiGDff.y

ilpianotongeuteobgraficodifnelpunto@o.yo.fKoiGoDMotivazionegeometricaPrendiomo3puntisulgraficodifi.po

@ )

) correspondent Punto

at

yo zo

ago

go =

= , , )

(

Roth ) f@oth.yo

)

" Roth

" " 2-

do

Go qa a

= =

=

pen , ,

, @ ))

Ko ffko

)

Gotk " Gotk

" Zk

" Go

9k

pk = =

= ,

, ,

,

Net :

piano y=y° )

Z ~

Pri

• a. 1

flintersezionedetgrafiadifanilpiouoy-yoebaauroaz-ffn.yDdigraficog@s-fCn.yo

> n

Noth

No

Peranalisi1i.lareHaq.qaperh-otendeallareltetgolheCwrvaz-f@yDnelpwntoqo-Ceo.ygfKo.goD.tolereHahae9wezionegzy.g )

@p @ @

@

a.) =f odd

@ fn

gynd ) to

ago

+ +

Yo

contents neb

retta tanpeute

Questa E piano .

he

Anologomeute olla

tender rake

relte Ii

K→o qoqk

per

, ,

equation y=

no )

f (

(

@ ) fy ,Yo)

2- no

qyo yo

y

= + - del

Che ffno.es)

olllintersezione

hereto tougente z

E =

( n.no

Mf

gratia it Nino

piano

con relte

Andre quest contents net tangent

e- piano @ )

(h )

Conclusion (0/0) il secrete

K

→ piano

: again

per per

>

.

tend al tougeute

piano 0

- -

Problemeiaanefeccioesepeoesefeidiffereueiebilein@o.yD

Risposta C1⇒

sufficient be

tulle

⇒ occasion MFFERENHABILE

in : t perzioli

Le derivate

funzioue continue

cow

TEOREMA @ ) =lR2→K

apart

Sia U

U Sia

di

intern f funzione

yo : we per

an a .

,

@

,y)

esistono In @

fy

cui g)

e

naesolonelpeuntomaihtuHoU.Sefnefysaioentranbecontinuein@o.yD

Allora differentiable

f e-

,

@°,y°)

in .

DEF AEIRZ

Sia f dice di

aperto chasse

IR

funzione

Una A

insane si

:

in →

.

)

Et ( fnefyesistouoesaeocoutinueinogmi@o.yDEA

'

fee (A) se e4A)

it teorema f

01 per e ⇒

:

fe-differenziobileVKHcAequindifEcontinuain@gyDRiassuntoi.f

#)

E

E ⇒

fEDirfErEnZiABlLEih@qyGtfkqyGEA.f

if

continue @qG§

@o,y§

DIFFERENZIABILE in

in , @

) of

#

iDof@aydesistonoVvfp.q

he

vote GRADIENTE

FORMULA DEL

.

Non valeib controrio DI )

iffy

f.

f@,yo) @%Go

palsy +

=p

ffx in2tyT

,y) ?y2

fz (

ESEMPIO g)

: se

a

; =

. (f) lR2\ko}

f

sfn

(

Abbiano esistono A

Stocke in

vi =

e y

@

(f)

Inottre G) taffy

: |

met-yn@ayDVKo.w

n continue

sonofwnzioni in

)

HDYKD lad

) *

=

ETA

) ( ) he

fse funzioneei

@°,yo) 0,0

se *

e

⇒ , , =n2tyT

it toeegeute

DIFFERENZIABILE Z in

e piano a

ha

@°,yo) equation :

=no'tG# and ( )

( d-

2- t.n.no#_ y yo

+ -

't yo2

No

No2+y# A

,Go) ib

(

PER ESEMMO Zo

1

x piano

e

. =

= =

)

(

net he

al Punto ZM

1,1

taegente equazione :

cano ,

xD

(

A

U ( 1)

In

: 1. y

z = +

+ .

¥#

14/5/2018 "→R

f DEIR

: |z )

ft (c) f

ED (E)

C

INSIEME uveuo c

Di :

= = =

f- =/ =c|

1 @

2 f

ED @

(c) g) g)

in VARIABM :

:

f- @ x2ty2

ESEMRO ! g) = n2tg2=c

=/ } )

' '

f-

Se @,

(c) =\

ek

g) |

cco :

: o

=

:n2+y2

1 }

'

f - @,

f)

Se (

Elk

g)

0 }

:

c= 0,0

o

- =

U2ty2=c|

|

h @, EIRL

f

Se (c) g)

- ciranfehevta

:

0

>

c : = = A

(0/0) RAGGIO r

CENTRO E

Dl =

¢n ) Zyj

@ 2nd

Of ,y) 2g = +

= , =¢o)

@ @

g)

Of Q

g) ⇐ >

. yµ)

¢ into

Recall )

t

( to

5 regohene 8

LH e-

: se

in DERWABKE

cwrva

una y = ,

j( ) abbio

to (

) relto

(6)

due

quest garonksce

Qo j

+ in

j

e : # jlto

tangent direke (0/0)

)

rake per +

= g come .

he

ESEMPIO derivable

g@) funzione

e-

! No

se GRAHW

in curve

una ,

¢ #

do

definite @

grey no

E in

f REGOLARE

Di g

= ,

)

( )

@)

' (

perches gl

1 @o) 0,0

#

y = ,

they derivable he

fanzine

ESEMPIO Se E

: in

euo curve

yo ,

( h g)

)

8 REGOLARE

( E

perches in

(g) go

y = ,

tidy

' )

1) ( Qo

+

@°) = , jlt

f(t

) ' di

)

di of

EIR

punt ooriare

TRACCIA Sano

support i

o

t Dan (8)

e tfcs

f- @ te[

) ]

H ,y4

pH

ESEMMO ! 91

+

qyo

= @o,y°)(na,yT

dinclta

segment

di

support y =

send

( costly ten

#

8

ESEMPIO : - , (0/0)

di

support di 1 centro

ciraaefenaead naggio

j in

= ,

( =D

TEOREMA DELLA FUNZIONE IMKKITA version h=2 m

,

e1R2 @

(a)

b)

definite b)

Sia di

funzioue U intern Sia f

f- in c =

we . .

)

(

feet U Adora

@

Supponiouo to

b)

¥y

e .

)

" (

" ( ,b+e)

R

reltongolo

esiste b

ats

or x

an a e

= -

, ^

esiste

ed funzione UNICA

we {y=g

#

bte

( - - -

t,a+o)→

:@ e) tale de =•@f,

aioiai

b bt b

e.

g - i

- - - ftp.y )

)

b- e =

- .

.

- ,

, ,

I

1

;I→l

III ,

KIE

:3 >

.

# @ ) Ee

get

Inoltre (a)

fair '

e g = . fy @,

b)

°

- -

It

teoreuuegaroutiscelTdig@JanchequoudonowsenepuoesplicitereuueformuheESEMPlOi.f

@ 't 2

g) N y

=

@

•@,

D= b)

' f. 2k

=

• fy

, 2g

| =

quinoudorirobile hvello

di aaeil

to

@ coincide

I 't

U

TEOREMA in y2

1) =L

n

:

curve

⇒ ,

@ ) di definite

fanzine dig

grafico ' euiae

'

g@) in

an

, ,

intorno di x =o

in ( )

In cioerisolverc

esplioitore

quest posso

aeso y

per :

IT

±

y = - TT

µ( a)

\ = s.am/sdo91@)soddista@goj)=(o

)

i

,

gyn ,

, .

=

u

- -

peril

Iutuizione teorana : ¢

)

be di livello di

1) support

f b)

@,y

Se il

e- una

per

c

cuvee = , )

(

@ @

j( )

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b)

)

( to

regolere passoute

t cioe .

curve g per =

, fft )

@

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Of e- ORTOGONALE a .

yotaid@Habfk.eDeIufeHijlH.fcH.y

A )

f@H

tt

ft (c) YH

siguifiae

e c

-

,

allora tgzf@H.esCtDg.DfKH.yltD.y

'd

0

derive

posso : =

derivate gradiente

In tutti he

ipmnti il PERPENDICOCARE

CE e-

in cui

⇒ ,

2) Allora

@ Hassen

Of @

fg

Se b) NON e- qeeiudi

b)

¥0 , , )

(

parallels

he livello Lasser

di dlksse

NON e- g now

curve sullies

dare proieltorc

quindi ohe equivole

it

:L

I

si se a a

,

dire che esiste g@) :

sopra

come

~÷te⇒

^ .

I >

@

Se fn diveute

llenunciato

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VALE

inrece to :

,

Ruane & )

(

F F they b

rekaegolo e)

ed goto

) b

: e

sopna +

in → .

- ,

cbe

He |* II

f@,y) fbiygstey

=C #

1

er ¥5

'(

a)

Net (a)

fy b) g

primo to

aoso : : = - Ly @

b)

,

h (b)

@ '

Neb

¥41

foe b)

secondo :

to

aeso : = - @,b)

fn

'

Entroube L

Df

formula equivalgono

queste j

or oaorre

non

:

baste procedure

nicordorle oosi :

, ( b)

UP Ly to

1

Caso : a.

: ,

uegtiooalcolaregl@JganoheseN0Nhoheformuhedig.Foxia.f

@ d#gg@))

) COSTANTE

g@) 0

= =

In

tkig@Da.afntEtFydFnI.n

f. G@)=g(

a)

914

1

2§u

= +31g ¥€

O

Quindi 2£ @)

' gyn

)

2¥ ⇒

g

= =

+ - ¥

2g 21*0

neipunti in '

an 2g


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Gassss

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5 mesi fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Limiti di funzioni in più variabili. unicità del limite. punto interno. punto di frontiera. aperto/chiuso. A aperto se per ogni p di A esiste r>0 t.c. Ur(p) è incluso in A. F di Rn si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera. gli intorni sferici sono aperti. intorno. punto di accumulazione. il limite se esiste è unico. continuità. composizione della funzione continua. insieme connesso, convesso. Teorema degli zeri. segno costante. derivate parziali. derivate direzionali. differenziabilità. differenziabile implica f continua e vale formula del gradiente. f differenziabile. f classe C1.matrice Jacobiana. matrice Jacobiana.C1=>differenziabile. regola della catena.se gamma è una curva regolare per p = (a,b,f(a,b)) che sia contenuta nel grafico z=f(x,y), allora la retta tangente in p alla curva gamma è contenuta nel piano tangente in p alla superficie grafico. della funzione implicita. equazione della retta tangente ad una curva.punti di minimo e massimo. Fermat. punti di frontiera, singolari, critici.insieme limitato. D in Rn è limitato se esiste R>0 tale che ||x||<R per ogni x di D.Weierstrass.Fermat vincolato. Schwarz. funzione di classe C2.formula della matrice Hessiana. Taylor con Hessiana. formula Taylor di secondo ordine. natura dei punti critici.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Gassss di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi e geometria 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Schlesinger Enrico Ettore Marcello.

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