Funzioni continue e teoremi sulla continuità

Funzioni continue e continuità

Definizione di continuità

Una funzione f è detta continua se, per ogni x appartenente al suo dominio, si ha che il limite di f(x) per x che tende a un certo valore x₀ è uguale a f(x₀). Questo implica che non ci sono salti o interruzioni nel grafico della funzione.

Continuità in un punto

Una funzione è continua in un punto se il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione stessa nel punto. Se una funzione è continua in ogni punto di un intervallo, si dice che è continua in quell'intervallo.

Funzioni discontinue

Una funzione è detta discontinua se esiste almeno un punto nel suo dominio in cui la funzione non è continua. Un esempio classico di funzione discontinua è la funzione di Dirichlet, che è definita come segue:

• 1 se x è un numero razionale
• 0 se x è un numero irrazionale

Questa funzione è discontinua in ogni punto del suo dominio.

Dimostrazione

Sia x₀ un punto razionale e consideriamo una successione di numeri irrazionali che tende a x₀. Poiché la funzione di Dirichlet assume valore 0 per ogni numero irrazionale, il limite della funzione non è uguale a f(x₀), che vale 1. Questo dimostra la discontinuità della funzione.

Continuità laterale

La continuità può essere definita anche lateralmente, ovvero da destra e da sinistra. Una funzione è continua da destra in un punto se il limite destro è uguale al valore della funzione in quel punto. Analogamente, una funzione è continua da sinistra se il limite sinistro è uguale al valore della funzione in quel punto.

Proprietà delle funzioni composte

Se due funzioni f e g sono continue in un certo intervallo, allora la funzione composta g(f(x)) è continua in quell'intervallo.

Continuità uniforme

Una funzione si dice uniformemente continua su un intervallo se, per ogni coppia di punti in quell'intervallo, la differenza nei valori della funzione può essere resa arbitrariamente piccola a condizione che i punti siano sufficientemente vicini.