Le funzioni continue

Le funzioni continue

Abbiamo visto che una funzione può ammettere limite l in un punto x₀, anche se in x₀ non è definita. Quando invece x₀ appartiene al dominio di f, possiamo considerare la sua immagine f(x₀). Se essa coincide con il limite di f(x) per x che tende a x₀, cioè

lim_x→x0f(x) = f(x₀),

allora si dice che f è continua in x₀. Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.

Se una funzione è continua in un punto, il calcolo del limite in quel punto risulta semplice, perché basta calcolare il valore della funzione in quel punto. Per esempio, sapendo che la funzione f(x) = 2x è continua nel punto 7, risulta

lim_x→72x = 2 × 7 = 14.

Elenchiamo le funzioni continue in ℝ (o in intervalli di ℝ) più utilizzate

La funzione costante

La funzione f(x) = k è continua in tutto ℝ. Infatti, in ogni punto x₀ di ℝ si ha

lim_x→x0 k = k.

La funzione polinomiale

La funzione f(x) = 3x² - 2x + 5, espressa mediante un polinomio, è continua in ℝ. Infatti, preso un qualsiasi x ∈ ℝ, è possibile verificare la definizione di continuità. Quindi, per esempio, per x = -1:

lim_x→-1 (3x² - 2x + 5) = 3(-1)² - 2(-1) + 5 = 10.

In generale, ogni funzione polinomiale, ossia ogni funzione del tipo

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n,

è continua in tutto ℝ. In particolare, sono continue in ℝ le funzioni espresse dalle potenze di x: x, x², x³, ..., xⁿ.

La funzione radice quadrata

La funzione, definita in ℝ⁺ ∪ {0},

y = √x

è continua per ogni x reale positivo o nullo. Per esempio

lim_x→2 √x = √2.

Più in generale, sono continue le funzioni potenza con esponente reale, definite in ℝ⁺:

y = x^α (α ∈ ℝ).

Per esempio,

lim_x→2 x^3/4 = 2^3/4 = 4√2³ = 4√8.

Le funzioni goniometriche

Sono continue in ℝ le funzioni sen x e cos x. Per esempio,

lim_x→π sen x = sen π = 0 e lim_x→0 cos x = cos 0 = 1.

È continua anche la funzione tangente in ℝ − {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}. Per esempio,

lim_x→π/3 tg x = tg π/3 = √3.