Funzioni concave e convesse

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE

Un insieme si dice convesso quando presi due punti all’interno di esso, esso

contiene anche il segmento che li unisce, una funzione è convessa se

l’epigrafico (la regione sopra il grafico) è convessa, tale che (presa ad esempio

la funzione parabola quadrata), presi due punti sulla funzione, la linea che li

unisce sarà sopra al grafico nei due punti:

∈(x

retta≥ graph f 1, x 2)

Preso un punto x fra x1 e x2:

0

( ) ∈(

=γ +

x x 1−γ x , γ 0,1)

0 1 2

Così se la differenza gamma è uguale a 0, x = x , se è massima = 1, x = x ,

0 2 0 1

se invece è 0,5, x sarà il punto medio. L’ordinata del luogo dei punti che

0

unisce x1 e x2 (ossia una retta che ha tutti i punti del tipo (x, R(x))) sarà uguale

a: ( ) ( ) ( )

=γf + (x )

R x x 1−γ f

0 1 2

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

+ + ( )

f : a , b → R è convessa se f γ x 1−γ x ≤ γf x 1−γ f x

A questo punto: 1 2 1 2

Osservazione: si veda che l’ascissa all’interno del primo membro è x , si avrà

0

che: −x

x 0 2

=

γ −x

x 1 2 −x

x ( )

2 0

( ) ( ) ( )

∗ −f + (x )

f x ≤− f x x f

E quindi: 0 2 1 2

−x

x 2 1

Il secondo membro verrà convertito in:

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

− −f −x + −

f x x x f x x x ( ) ( ) ( ) ( )

−x ∗ −f + −x

f x x x f x

( ) ( )

∗(f −f )

x x x

2 1 2 0 2 2 1 2 2 1 2 1 2

0 2 1

= +

−x −x −x

x x x

2 1 2 1 2 1

Si nota che x moltiplica il coefficiente angolare della retta fra x1 e x2, quindi in

0

questo modo l’ordinata del punto in questione sarà sotto la retta formata dai

punti x1 e x2, per il contrario vale la concavità della funzione.

Osservazione:

F convessa, f derivabile due volte f’ è una funzione non decrescente, f’

 

derivabile e f ‘’ maggiore o uguale a 0;

F concava, f derivabile due volte => f’ non crescente f ‘’ minore o

 

uguale a 0;

F convessa (concava), derivabile in x => il grafico di f sta sopra (sotto)

 0

la retta tangente a (x , f(x )).

0 0

f ‘(x ) = 0 f ‘’(x ) > (<) 0, x minimo (massimo) locale per f:

0 0 0