Funzioni concave e convesse

Funzioni concave e convesse

Un insieme si dice convesso quando presi due punti all'interno di esso, esso contiene anche il segmento che li unisce. Una funzione è convessa se l'epigrafico (la regione sopra il grafico) è convessa, tale che (presa ad esempio la funzione parabola quadrata), presi due punti sulla funzione, la linea che li unisce sarà sopra al grafico.

Definizione di funzione convessa

Preso un punto x fra x₁ e x₂:
(x = γx₁ + (1−γ)x₂, 0 ≤ γ ≤ 1).

Così, se la differenza γ è uguale a 0, x = x₁; se è massima = 1, x = x₂; se invece è 0,5, x sarà il punto medio. L'ordinata del luogo dei punti che unisce x₁ e x₂ (ossia una retta che ha tutti i punti del tipo (x, R(x))) sarà uguale a:
R(x) = γf(x₁) + (1−γ)f(x₂).

La funzione f: [a, b] → R è convessa se:
f(γx₁ + (1−γ)x₂) ≤ γf(x₁) + (1−γ)f(x₂).

Osservazioni

Si noti che l'ascissa all'interno del primo membro è x₀; si avrà che:
x₀ = γx₁ + (1−γ)x₂.

E quindi:
f(x₀) ≤ γf(x₁) + (1−γ)f(x₂).

Il secondo membro verrà convertito in:
(f(x₂) − f(x₁))(x − x₁)/(x₂ − x₁) + f(x₁).

Si nota che x₀ moltiplica il coefficiente angolare della retta fra x₁ e x₂, quindi in questo modo l'ordinata del punto in questione sarà sotto la retta formata dai punti x₁ e x₂. Per il contrario vale la concavità della funzione.

Altre osservazioni

• Se f è convessa e derivabile due volte, allora f' è una funzione non decrescente e f'' è maggiore o uguale a 0.
• Se f è concava e derivabile due volte, allora f' è non crescente e f'' è minore o uguale a 0.
• Se f è convessa (o concava) e derivabile in x₀, il grafico di f sta sopra (o sotto) la retta tangente a (x₀, f(x₀)).
• Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 (o < 0), x₀ è un minimo (o massimo) locale per f.