Formule di Taylor e funzioni concave e convesse

FORMULE DI TAYLOR

Sia f derivabile in x₀.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + Θ(x - x₀)

sen(x) = x + Θ(x)

sen x = sen 0 + cos 0 (x - 0) + Θ(x - 0)

x₀ = 0

e^x = 1 + x + Θ(x)

e^x = e⁰ + e⁰(x - 0) + Θ(x - 0)

√2 = 1, 414213 + R

|R| ≤ 0,1

È inutile scrivere queste cifre dato che il resto è di ordine superiore

l(x) = l(x₀) + l'(x₀)(x - x₀) + a (x - x₀)² + Θ((x - x₀)²)

per qualche a ∈ ℝ?

l(x) - l(x₀) - l'(x₀)(x - x₀) - a (x - x₀)² = Θ((x - x₀)²)

lim_{x → x0} l(x) - l(x₀) - l' (x₀)(x - x₀) - a (x - x₀)² ────────────────────────── = 0 _{(x - x0)²}

⇔ lim_{x → x0} l'' (x) - 2a = ? ─────────────── = 0 _{2(x - x0)}

a = ^f''(x₀)/₂

TEOREMA

Sia f derivabile m-1 volte in un intorno di x₀ e esista f^(m)(x₀), allora per x → x₀, f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)^(x-x₀)²/₂ + f'''(x₀)^(x-x₀)³/_3! + ... + ^{f(m)(x₀)(x-x₀)m}/_m! + Θ^(x-x₀)m

P_m(x) polinomio di Taylor di f centrato in x₀, di ordine m

FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO NELLA FORMA DI PEANO

ES

f^(x) = e^x

f^(m)(x) = e^x ∀x ∈ R

x₀ = 0

f^(m)(0) = 1 ∀m

f(x) = e^x = 1 + x + ^x²/₂ + ^x³/_3! + ... + ^xm/_m! + Θ(x^m)

e^x = 1 + x + ^x²/₂ + ^x³/_3! + ^x4/_4! + ... + ^xm/_m! + Θ(x^m)

P₁(x) = 1 + x

P₂(x) = 1 + x + ^x²/₂

P₃(x) = 1 + x + ^x²/₂ + ^x³/₆

e^x = 1 + x + Θ(x)

e^x = 1 + x + ^x²/₂ + Θ(x²)

e^x = 1 + x + ^x²/₂ + ^x³/₆ + Θ(x³)

Ogni formula è più raffinata della precedente

sen x = x

x = ¹/₁₀

Supponiamo che f(x) sia di classe C^∞ su ℝ e

f'''(z) = 2 · 3! f''(z) = 0

FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE

y = ƒ(x)

y = ƒ(x)

ƒ''(x) > 0

ƒ''(x) < 0

Se ƒ è derivabile in un punto x₀ ∈ ℝ,

f CONVESSA in x₀ (il grafico di ƒ sta sopra quello della tangente in un intorno di x₀)

f CONCAVA in x₀

ƒ ha un flesso ascendente in x₀ (sotto ➔ sopra)

ƒ ha un flesso discendente in x₀ (sopra ➔ sotto)

m = 4 PARI

A''(4)(2) < 0 ⇒ x_o = 2 P. DI MAX

retta tg in x_o = 2 μ = -1