Estratto del documento

FORMULE DI TAYLOR

Sia f derivabile in x0.

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + Θ(x - x0)

sen x = x + Θ(x)

sen x = sen 0 + cos 0 (x - 0) + Θ(x - 0)

ex = 1 + x + Θ(x)

ex = e0 + e0(x - 0) + Θ(x - 0)

  • √2 = 1, Θ(1 + x) + R
  • |R| ≤ 0.1

x0 = 0

x = 0

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + a(x - x0)2 + Θ((x - x0)2) per

qualche a ε ℝ?

f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - a(x - x0)2 = Θ((x - x0)2)

limx → x0 f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - a(x - x0)2 = 0

(x - x0)2

1/2 limx → x0 f''(x) - 2a = ?

2(x - x0) = 0

FORMULE DI TAYLOR

sia f derivabile in x0

f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + Θ(x-x0)

sen x = x ± Θ(x)

sen x = sen 0 + cos 0 (x-0) ± Θ(x-0)

x0=0

ex = 1 + x + Θ(x)

ex = e0 + e0 (x-0) + Θ(x-0)

√2 = 1, 41 4 2 + R

|R| ≤ 0 , 1

è inutile scrivere queste cifre dato che il resto è di ordine superiore

f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + a (x-x0)2 + Θ((x-x0)2) per

quale a ∈ ℝ ?

f(x) = f(x0) - f'(x0) (x-x0) - a (x-x0)2 = Θ((x-x0)2)

limx→x0 f(x) - f(x0) - f'(x0)(x-x0) - a (x-x0)2 = 0

(x - x0)2

limx→x0 f'(x) - f'(x0) - 2a (x-x0)

2(x-x0)

limx→x0 f''(x) = 2a

2

2a = ?

a = fm(x0)⁄2

Teorema

Se f è derivabile m-1 volte in un intorno di x0 e esiste fm(x0), allora, per x → x0,

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)2⁄2 + f'''(x0)(x - x0)3⁄3! + ... + f(m)(x0)(x - x0)m⁄m! + θ((x - x0)n)

Pn(x) polinomio di Taylor di f centrato in x0, di ordine n

Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano

Es

f(x) = ex    fm(x) = ex    ∀ x ∈ ℝ

x0 = 0

fm(0) = 1    ∀ m

f(x) = ex = e0 + e0(x - 0) + e0⁄2(x - 0)2 + e0⁄3! (x - 0)3 + ...

... + e0⁄m! (x - 0)m + σ((xm))

· ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄3! + x4⁄4! + ... + xm⁄m! + σ((xm))

  • P1(x) = 1 + x
  • P2(x) = 1 + x + x2⁄2
  • P3(x) = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄6
  • ...

ex = 1 + x + σ((x))

ex = 1 + x + x2⁄2 + σ((x2))

ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄6 + σ((x3))

...

qui la formula è piu raffinata della precedente

ES

f(x) = senxf'(x) = cosxf''(x) = -senf'''(x) = -cos

x0 = 0

f(x0) = 0f'(x0) = 1f''(x0) = 0f'''(x0) = -1

ecc...m = 1:

senx = x + o(x)

e già il di Taylor arrestata al primo ordine

m = 2 senx = x +x3/3! + o(x3) = P3(x)f(4)(x) = cosx

-cosx = 1 - x2/2! -x4/4!cosh x = 1 + x2/2! + o(x3)

f(x) =1/(1+x)f'(x) = -1/(1+x)2f''(x) =2/(1+x)3

log(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + ... + (-1)m+1 xm/m + Θ(xm)

(1+x)α = 1 + αx + α(α-1)/2 x2 + ... + α(α-1)(α-2)...(α-m+1)/m! xm + Θ(xm)

(a+b)m = am + mam-1b + (m)/(2) am-2b2 + ... + bm

n(n-1)

ES

x0 = 0

1/(1+x) = (1+x)-1

= 1-x+x2-x3+...+(-1)mxm+Θ(xm)

(α/2) = α(α-1)/2 = -1/2 = -1/2

(α=-1)

(α/3) = α(α-1)(α-2)/3! = -1(-2)(-3)/3! = -1/6

RICORDA PROGRESS. GEOMETRICA

1 + x + x2 + ... + xm = 1-xm+1/1-x

con x->x

ES

x0 = 0

(m = 2)

√(1 + x) = (1 + x)1/2

= 1 + x/2 - x2/8 x2 + Θ(x2)

(α/2) = 1/2/2 = 1/2(1/2-1)

= -1/8

OSS

(vediamo esempio su f(x)=senx)

p1(x) = x senx = x + Θ(x)

p2(x) = x - x3/6 senx=x-x3/6+Θ(x5)

p3(x) = x - x3/6 + x5/120 senx = x-x3/6+x5/120+Θ(x7)

p4(x) = 1+Θ(x4)

pn(x), m -> aderisce sempre più al grafico

ES

limx→0 (ex2+z) (cosx-1)/senx ⋅ (ecosx-e)

ex = 1 + x + x2/2 + o(x2)

cosx = 1 - x2/2 + o(x3)

senx ~ x + o(x)

ecosx = e1-x2/2 + o(x3) = e ⋅ e ⋅ ex2/2 + o(x3) - e =

- e ⋅ ex2/2 + o(x3) = e ⋅ [-x2/2 + Θ(x3)] + o(x2) - 1

limx→0 [x + x2/2 + o(x2)] ⋅ [z + x2/2 + Θ(x3)]/[x + o(x)] ⋅ [e ⋅ [-x2/2 + Θ(x2)]] =

= limx→0 x2+ x3+ Θ(x3) ⋅ z + Θ(x2)

= -z/e

Se x0 = 0 la formula di Taylor si dice anche formula di Maclaurin

f (x) = f (0) + f′ (0)x + f′′ (0)/2! x2+ . . . + f(m) (0)/m! xm + o(xm)

Complemento

Sotto ipotesi opportune per f. (f di classe Cn+1 in un intorno di x0)

f (x) = f(x0) + f′ (x0)(x-x0) + . . . + f(m) (x0)/(m!) ⋅ (x-x0)m + f(m+1) (c)/(m+1)! (x-x0)m+1

ES

sen 1/10/1/x

m = 3

x0 = 0

sen x = x – x3/6 + sen c1/4! x4

x = 1/10

sen 1/10 = 0,1 – 1/6 + 0,002 + sen c1/4! (1/10)4

sen c1 /4! (1/10)4 = E (errore)

= 0,09983   0 < E < 1/105

OSS

Supponiamo che f(x) sia di classe C∞ se IR e

f(x) = 3![x – Δ =] (x – z)3 + θ (x – z)3     per x → zx0 = z

↓

f'' (z) = 0   →  f'' (z) = 2 × 3!

FUNZIONI CONVESSE E CONCAVE

y = f(x)     y = f(x)

f'' (x) > 0     f'' (x) < 0

Se f è derivabile in un punto x0 ∈ IR,

  1. nella f    nella tg

    f(x0) + f'(x0)(x – x0)

f CONVESSA in x0. (il grafico di f sta sopra quello della tangente in un intorno di x0).

  1. f ha un flesso ascendente in x0 (sotto → sopra)

f CONCAVA in x0.

  1. f ha un flesso ascendente in x0 (sotto → sopra)

  2. f ha un flesso discendente in x0 (sopra → sotto)

1

f convessa in x0 ⇔ ∃ un intorno U di x0.

f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U

(f strett. convessa ⇒ …)

f(x) > f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U &backslash; {x0}

2

f concava in x0 ⇔ ∃ un intorno U di x0.

f(x) ≤ f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U

(f strett. concava ⇒ …)

f(x) < f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U &backslash; {x0}

3

x0 punto di flesso ascendente se

f(x) ≤ f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U, x > x0

ANALOGAMENTE PER ↓

f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x-x0)   ∀ x ∈ U, x < x0

f''(x0) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) +    f''(x0)(x-x0)2 + o((x-x0)2)

f(x) - (f(x0) + f'(x0)(x-x0)) =  f''(x0)(x-x0)2

4 concessa in x0

 &Increment; ≥ 0 ⇒ f concessa in x0

(f strett. convessa in x0)    4 x ≠ x0

f''(x0) = 0 + o(1)   (x- x0)2 > 0(x ≠ x0)

f''(x0) > 0 ⇒ x ⇒ x0

breve se f''(x0) > 0 la funzione

per x ∈ M \ {x0}

intorno opportuno di x0.

TEOREMA 1

Sia f derivabile in un intorno di x0 ∈ R

ed esista f''(x0). Allora

  1. se f''(x0) > 0 allora f è strettam convessa in x0.
  2. se f''(x0) < 0 allora f è strett concava in x0.
  3. se f è convessa in x0 allora f''(x0) ≥ 0
  4. se f è concava in x0 allora f''(x0) ≤ 0
  5. se f è un punto di flesso allora f''(x0) = 0

DEF

Se f è derivabile in un intervallo aperto I, f si dice

convessa in I se è convessa in ogni punto x0 ∈ I

TEOREMA 2

Se f è derivabile 2 volte su I:

  • f CONVESSA su I ⇔ f''(x) ≥ 0 ∀x ∈ I
  • f CONCAVA su I ⇔ f''(x) ≤ 0 ∀x ∈ I

Se f''(x0) = 0?

ES

x0 = 0 punto di flesso ascendente

f''(0) = 0

f'''(0) > 0

x0 = 0 punto di flesso discendente

f''(0) = 0

f'''(0) < 0

[TEOREMA]  sia f derivabile m-1 volte in un intorno di

x0 e f(m)(x0)

Supponiamo che:

f''(x0) = ... = f(m-1)(x0) = 0, f(m)(x0) ≠ 0

Allora

m pari

  • f(m)(x0) > 0 => f strett. convessa in x0
  • f(m)(x0) < 0 => f strett. concava in x0

m dispari

  • f(m)(x0) > 0 => x0 punto di flesso ascendente
  • f(m)(x0) < 0 => x0 punto di flesso discendente

ES

f(x) = x + x4

f'(0) = 1

f''(0) = 0

f'''(0) = 0

f(4)(0) = 1.41 > 0

f convessa in x0 = 0

OSS

se f'(x0) = 0

  • f convessa in x0 => f ha un punto di minimo relativo in x0
  • f concava in x0 => f ha un punto di massimo relativo in x0

Perciò nei teoremi 1 e 3 se inoltre f'(x0) = 0

allora si può sostituire "strett. convessa"

"strett. concava"

f'1(x0) = 0

f''1(x0) > 0 => PTO DI MIN

f'1(x0) = 0

f''1(x0) < 0 => PTO DI MAX

ES

Supponiamo f di classe C∞ su R tale che

f(x) = -2 + 3x + 5(x-1)2 + Θ((x-1)2) per x -> (1

f(1) = + 3 (x-1) + 5 (x-1)2 = Θ ((x-2)2)1

f'(x) = 3 > 0 (f' continua)

ES

Sia f(x) (forma) funzione di classe C∞ su R:

f(x) = - 5 (x-2)3 + 7(x-2)5 + θ((x-2)5) per x > 2

x0 = 2 punto di MAX o MIN?

retta tg. in x0 = 2?

f(x) = 2

f'(2) = 0

f''(2) = 0

f''(2) = 0

Anteprima
Vedrai una selezione di 4 pagine su 11
Formule di Taylor e funzioni concave e convesse Pag. 1 Formule di Taylor e funzioni concave e convesse Pag. 2
Anteprima di 4 pagg. su 11.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Formule di Taylor e funzioni concave e convesse Pag. 6
Anteprima di 4 pagg. su 11.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica
Formule di Taylor e funzioni concave e convesse Pag. 11
1 su 11
D/illustrazione/soddisfatti o rimborsati
Acquista con carta o PayPal
Scarica i documenti tutte le volte che vuoi
Dettagli
SSD
Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher filippo.mauro di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino o del prof Nicola Fabio.
Appunti correlati Invia appunti e guadagna

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Vai al forum