Funzioni a piu variabili

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI

es. z = f(x; y) ^x-y/_x+y

lim_{(x; y) → (0; 0)} ^x-y/_x+y = ?

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

y = mx

Limite quando il punto si muove lungo l'asse x:

lim_{(x;0)→(0;0)} ^x-0/x = lim_x→0 ^x/x = 1

Limite quando il punto si muove lungo l'asse y:

lim_{(0;y)→(0;0)} ^0-y/y = lim_y→0 ^-y/y = -1

Quindi il limite di f(x,y) per (x,y)→(0;0) non esiste

derivato (dipende dalla direzione)

f(x)_x→x0 = f(x₀; y₀)

f(x₀; y)_y→y0 = f(x₀; y₀)

lim _t→0 (f(x₀ + tx; y₀ + ty) - f(x₀; y₀) )/_t = d/D_N

DERIVATA DIREZIONALE

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI

es. z = f(x; y)

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

Limite quando il punto si muove lungo l'asse x:

Limite quando il punto si muove lungo l'asse y:

Quindi il limite di f(x, y) per (x, y) → (0; 0) non esiste

derivato (dipende dalla direzione)

Fisso il punto (x₀; y₀) e lo sposto

z = f(x; y)N = {uₓ, uᵧ}

equazioni delle retta: (parametrica)

DERIVATA DIREZIONALE

Caso particolare: Se v = (1, 0)

In questo caso invece di scrivere _∂l/_∂x si scrive _∂f/_∂x

Analogamente: Se v = (0, 1)

In questo caso si scrive _∂f/_∂y

Es. f(x, y) = 1 − x²sin(x + y²)

1. _∂f/_∂x = ? (y rimane costante), come se fosse un numero)

   = 1/2xsin(x + y²) + x²cos((x + y²)

2. _∂f/_∂y = ? (x rimane costante)

   = x²cos(x + y²)2y

Es. f(x, y) = 1 − x cos(xy)

_∂r(1, 2) = ?

eq. della retta r: {x = 1 + 3t_y = 2 + t }

Funzione: f lungo la retta ci:

1. f = (1 + 3t) cos(1 − 3t + 2 − t)
2. = (1 + 3t) cos(3 − 4t) (solo variabile t)

_∂r(1, 2) = d/dt[(1 + 3t) cos(3 − zt)] |_t = 0

= [3 \cos(3x2t) - (1+3t) - 5 \sin(3x2t) \cdot 2] |_{t=0} B \cos(3t) - 2 \sin(3t)

y = f(x) una variabile

f(x_0) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x)

tetta tangente

Con due variabili: ho un piano tangente T:

equazione di T:

z = f(x_0, y_0) + a(x-x_0) + b(y-y_0)

Per una funzione a 2 variabili: (sviluppo in serie di Taylor)

f(x,y) = f(x_0, y_0) + a (x-x_0) + b(y-y_0) + \frac{c(x-x_0)^2}{2} + \frac{d(y-y_0)^2}{2} + e(x-x_0)(y-y_0)

Deriva rispetto alla variabile x:

\frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0) = [a + 2c(x-x_0) + e(y-y_0) x ...] in (x_0, y_0)

Si trova

a = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)

b= \frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)

Quindi l'equazione del piano tangente al grafico di z nel punto (x_0, y_0) è:

z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)(y-y_0)

differenziale

a

b

Differenziabile di f nel punto (x_0, y_0) e la funzione lineare data da:

z = \frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0)(y-y_0) - d f(x_0, y_0)

Si indica con d f(x_0, y_0)

Sfrutto l'equazione del piano come approssimazione della funzione

Derivata direzionale.

_x

\frac{\partial}{\partial x} f(x_0, y_0) = lim \frac{f(x_0 + t x_1, y_0 + t x_2) - f(x_0, y_0)}{t}

_{n \to 0}

\frac{\partial}{\partial y} f(x_0, y_0) = lim \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} x_1 + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} x_2 + (\frac{\partial^2}{\partial x ^2})_{t x_1^2} + (\frac{\partial^2}{\partial y^2})_{t x_2^2} + ...

lim \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial}{\partial x})^n + 4(\frac{\partial}{\partial t})^x + (\frac{\partial}{\partial x})^{cy}\frac{\partial}{\partial x} + ...

Scopro che la derivata direzionale =

^∂f/_∂x(x₀; y₀)d_x + ^∂f/_∂y(x₀; y₀)d_y

es. f(x; y) = x²sin(x + y²)

Calcolare ∂f(0;0)/∂x dove ∂t = (3;1)

(x₀; y₀) = (0; 0)

equazione di t:

• x = x₀ + t d_x = 0 + 3t
• y = y₀ + t d_y = 0 + t

Sostituisco le espressioni in f(x; y)

f(x; y) = f(3t; t)

= (3t)²sin(3t + t²) = 9t²sin(t² + 3t)

Derivo rispetto a t:

la derivata è:

18t * sin(3t + t²) + 9t * cos(3t + t²)(6t+2t)

Pongo t=0

0 = 0

Quindi ∂f(0,0)/∂t = 0 punto stazionario

Prova con la formula e la derivata direzionale:

^∂f/_∂u(x₀; y₀) = ^∂f/_∂x(x₀; y₀)d_x + ^∂f/_∂y(x₀; y₀)d_y

Quindi:

∂f/∂u(0,0) = ^∂f/_∂x(0;0) * 3 + ^∂f/_∂y(0;0) * 1 (in qualunque direzione mi muovo)

la derivata prima è zero

^∂f/_∂x 0 (0; 0) = sin (x + y²) + x²cos(x + y²), x costante

^∂f/_∂x (0; 0) = 0

^∂f/_∂y 3 = x²cos(x + y²) 2y

^∂f/_∂y (0; 0) = 0

Quindi:

∂f/∂u (0;0) = 0 * 3 + 0 * 1 = 0

Prodotto scalare

di a₁(u_x, u_y) e Δ_x = (Δ_x, Δ_y)

μ₁ · ν₁ = u_xΔ_x + u_yΔ_y

|a₁| = √(u_x² + u_y²)

|Δ₁| = √(Δ_x² + Δ_y²)

∂ℓ/∂x (x₀, y₀) ∂ℓ/∂x + ∂ℓ/∂y (x₀, y₀) Δyè un prodotto scalare tra il vettore e la derivata parziale

Gradiente di f

vettore che ha come componenti le due derivate parziale

∇f = ( ∂R/∂x , ∂R/∂y )

∇ℓ · Δt = ∂ℓ/∂x Δx + ∂ℓ/∂y = ∂ℓ/∂t(prodotto scalare tra il gradiente ∂f e il vettore v)

Curve di livello

tutti i punti alla stessa altezza

I valori della funzione è costante

f(x, y) = c (costante)

ω è tangente alla curva di livello

Se ω è tangente a una curva di livello allora∂ℓ/∂ω (x₀, y₀) = 0

Sappiamo che:∂ℓ/∂ω (x₀, y₀) = ∇f (x₀, y₀) · ω = 0 (prodotto scalare uguale a zero)

I due vettori sono ⊥

∇f (x₀, y₀) è ortogonale al vettore ω che è tangente alla curva di livello

Il vettore ∇f(p) è in ogni punto, perpendicolare alle curve di livello di f

es. f(x,y,z) = x + y + zcurve di livello f(x,y,z) = c (costante)

x + y + z = cx = c - y - zy = c - x - zcurve di livello (volendo posso tracciare il grafico)

es. f(x,y) = x³y + x³ - 3x²y + x - 1

curve di livello f(x,y) = cx³y + 2x²y + x - 1 = cè difficile lo risolvere

calcolo ∇f(p)∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)(3x²y + 2x, x³ + 2x²y - 3y)

curva di livello che passa per (1,1) è perpendicolare a (3, 1)∇f(1,1) = (3 + c(x - (1,1), 1 + c(-3, 1) + (1,1),2)

es. f(x,y) = x/y * y + x + 2curve di livello:y = c + x - 2 / x²-1

2)2) Tracciare la curva di livello passante per il punto P₁ = (1,1)

c = f(1,1) = 1, 3La curva di livello passante per P è data day = c + x / x - 1

b) Tracciare la retta tangente alla curva di livello nel punto P₁ = (1,1)

D = [1/x / x²-1][1(x + 2) - (x-1)2x / (x²-1)²]

-1/2 = m

retta con m = -1/2 che passa per (1,1)y = 1/2 x - 1/2

es.

Trovare la retta tangente alla curva di livello passante per (1;1)

∇ρ(1;1) = (1;1/2)

La retta tangente è quella retta che passa per il punto (1;1) ed è perpendicolare al vettore (1;1/2) cioè al gradiente di ρ

Un vettore w perpendicolare al vettore (1;1/2) è

w=(-2,1¼)

Dato un vettore u = (a,b); un vettore w perpendicolare a u è

w=(-b ,a)

Teorema:

Sia ρ(x,y) una funzione differenziabile in (x₀,y₀=P

Supponiamo che ∇ρ(P)≠(0;0)

Se ∇ρ(p)=(0;0) allora P è un punto singolare

- Allora ∇ρ(P) è ortogonale alla curva di livello passante per P

- Il vettore ∇ρ(P) da la direzione e verso di massima crescita (di massima pendenza) di ρ

Dim Supponiamo che

Prendiamo

Quindi è massima (cioè la pendenza della retta tangente è massima) quando , cioè quando ha la stessa direzione e verso di

Derivata della funzione composta

Caso di funzioni di una sola variabile:

y = f(c) x = x(t)

La funzione composta è

y = f(x(t))

y'=f'(x(t)) x'(t)

Se y=f(x) e x = x(t)

Allora

dy/dt = dy/dx dx/dt

Caso di funzioni di due variabili:

z = f(x; y) , x = x(t) , y = y(t)

la funzione composta è funzione della sola variabile t.

Calcolare _df / _dt ?

S.R.:

_df / _dt = lim_{h → 0} ( f(x(t+h), y(t+h)) - f(x(t), y(t)) ) / h

Sviluppo in serie di Taylor troncato al 1° termine:

g(t+h) = g(t) + g'(t)_h + g''(t) 2! h² + ... (h ≈ 0)

x(t+h) = x(t) + dx / _dt h + dx / _dt q² + ...

y(t+h) = y(t) + dy / _dt h + ...

f(x(t+h), y(t+h)) = f(x(t) + dx / _dt h , y(t) + dy / _dt h ),

Sviluppo in serie di Taylor per funzioni a 2 variabili:

f(x,y) = f(x₀,y₀) + (x-x0) _∂f / _∂x + (y-y0) _∂f / _∂y + ...

= f(x(t), y(t)) + _∂f / _∂x dx / _dt h + _∂f / _∂y dy / _dt h + ...

Sostituendo si trova:

_df / _dt = lim_h→0 ( _∂f / _∂x dx / _dt h + _∂f / _∂y dy / _dt ) / h = _∂f / _∂x dx / _dt + _∂f / _∂y dy / _dt

Alla fine si ottiene la formula seguente:

d_f / _dt = _∂f / _∂x dx / _dt + _∂f / _∂y dy / _dt

es. f(x;y) = ln(x y) + sin(x²y) con x = t² , y = cos(t)

S.R.:

_df / _dt = _∂f / _∂x dx / _dt + _∂f / _∂y dy / _dt

= (1 / xy) (y)(cos a^x-sin a)(-sin m t)

Massimi e minimi

z=(x;y)

piano tangente orizzontale (z=cost.)

y=f(x)

retta tangente orizzontale

nei punti di max e min

f'(x)=0

Equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x₀; y₀):

z= f(x₀, y₀) + (∂f/∂x) (x₀, y₀) (x-x₀) + (∂f/∂y) (x₀, y₀) (y-y₀)

ex

f(x,y)= x²+y²

Dominio ^IR²

L'unico punto critico è (0,0)

f(0,0) = 0²+0² = 0

∴ f(x,y) = x²+y² ≥ 0

Quindi (0,0) è un punto di minimo

∀ x,y

TEOREMA DI WEIERSTRASS:

Una funzione continua definita in un insieme chiuso e limitato ha sempre massimo e minimo in questo insieme

Ile bordi però può presentare punti angolosi

es. ₂x²+y-₂= f(x,y)

Trovare max e min nel dominio D = { (x,y) | x+_t≤ 1 , y ≥ 0 }

I rappresentiamo ile dominio:

Ile dominio D è ile semicerchio con y ≥ 0

Vedo se ci sono punti critici all'interno

⎧ ∂z = 2x = 0 x = 0⎪ ∂x⎨⎪ ∂z = 4 = 0 ma ci sono soluzioni, quindi non⎩ ∂y ma esistono punti di max e min interni al dominio

Studiare f(x, y) sul bordo del dominio:La semicirconferenza:

x = cos αy = sin α0 ≤ α ≤ π

f(x, y), x² + y² = cos² α + sin² α = 2f'(α) =f'(α) = 2 cos α (-sin α) + cos α = 0cos α -(2 sin α + 1) = 0cos α = 0α = π/2cioè (x, y) = (0, 1)→ 2 sin α + 1 = 0sin α = -1/2α = 5/6 π ⟶ (x, y) = (√3/2, -1/2)α = π/6 ⟶ (x, y) = (√3/2, 1/2)

3 punti criticif(0, 1) = 1f(√3/2, 1/2) = 2 → massimof(√3/2, -1/2) = 1

Ie segmento(x, 0) con -1 ≤ x ≤ 1f(x, 0) = x² - 2f'(x) = 2x = 0 => x = 0trova le punto (0, 0)f(0, 0) = -2 -> minimo assoluto

I punt aubern( estermi)f(1, 0) = -1f(-1, 0) = -1

f(x) = ℓ(x₀) + ℓ′(x₀)(x-x₀) + ℓ″(x₀)(x-x₀)²

Se ℓ′(x₀) = 0

Se ℓ″(x₀) > 0 allora f(x) ≥ f(x₀)

Per funzioni di due variabili:

f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + (x-x₀) (y-y₀) + (x-x₀)² + (y-y₀)² + 2 (x-x₀)(y-y₀)

TEOREMA: Se f è una funzione che ammette derivate seconde, e se sono continue

^∂2f_∂x∂y = ^∂2f_∂y∂x

Allora

Si ottiene f(x,y) = f(x₀,y₀) | [tutta la parte che contiene le derivate seconde]

f(x,y) ≥ f(x₀,y₀) ⇔ H > 0

f(x,y) ≤ f(x₀,y₀) ⇔ H < 0

Con (x₀,y₀) punto stazionario

Matrice Hessiana di f

Hf = ( ) matrice quadrata di ordine 2

È matrice simmetrica

Matrice simmetriche e forme quadratiche (polinomi omogenei di 2° grado):

Sia A(a_ij) matrice quadrata m,n, simmetrica (a_ij = a_ji)

( ) ( ) = Σ_i=1,j=1^m,n a_ij x_i x_j polinomio omogeneo di 2° grado