Funzioni a piu variabili

Funzioni a più variabili

es. z = f(x,y)

x-yx+y

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

Limite quando il punto si muove lungo l'asse x:

• x-0x
• x-00
• x

Limite quando il punto si muove lungo l'asse y:

• 0-yy
• -1

Quindi il limite di f(x,y) per (x,y)→(0;0) non esiste

derivato (dipende dalla direzione)

• f'(x)x→x₀

fisso il punto (x₀, y₀) e lo sposto

• z = f(x₀, y₀)
• N = (u_x, u_y)

equazioni della retta (parametrizzate):

• x = x₀ + tu_x
• y = y₀ + tu_y
• t ∈ R

_t→0

D_ND_N

Caso particolare: Se v=(1,0)

In questo caso invece di scrivere _∂f/_∂x si scrive _df/_dx

Analogamente: Se v=(0;1)

In questo caso si scrive _df/_dy

es. f(x,y)=1 - x²sin(x+y²)

_∂f/_∂x = ? (y rimane costante, come se fosse un numero)

• = 2x sin (x+y²) + x² cos (x+y²)

_∂f/_∂y = ? (x rimane costante)

• = x² cos (x+y²) 2y

es. f(x,y) = 1 - x cos (x + y) P = (x₀, y₀) = (1;2) v = (3;1)

_df/_dt (1;2;t) = ?

eq. della retta c :x = 1 + 3ty = 2 + t

Funzione F lungo la retta c:f(1 + 3t, 2 - t) = (1 + 3t) cos (1+3t+2-t)= (1 + 3t) cos (3 + t) (solo variabile t)

_dF(1;2;t) = d/dt [(1+3t)cos(3+t)]|_t=0

Il vettore ∇f è, in ogni punto, perpendicolare alle curve di livello di f.

es.

f(x,y)=x²+y+x+2curve di livello: f(x,y)=c (costante)x²+y-x+c=0y=c + x - x² (volendo posso tracciare il grafico)

f(x,y)=x²y+x³+2y³-3x+xcurve di livello: f(x,y)=cx³ + 2x²y²+x-x-1=cdifficile da risolvere

calcolo ∇f

∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(∂/∂x, ∂/∂y)(3x+y, 2x, 1)(3x²x², 2y²)

curva di livello che passa per (1,1) è perpendicolare a (3∇f (1,1) = (3 + 6x + (1 ₂ + 3)^{+ 1}), (1,2))

es. f(x,y)=x/y+y+x+2curve di livello:

y=^c+x-2 (x ^x²)x²-1

2)

2) Tracciare la curva di livello passante per il punto P = (1,1)

c = f(1,1) = 3la curva di livello passante per P è data da

y=^{x - 2}x²

b) Trovare la retta tangente alla curva di livello nel punto P = (1,1)

D [^1/x]- (1+x) 2xx²+1 x=x=(x²-1) ^k=1-1/2 = m

retta con m=1/2 che passa per (1,1)y=¹₂ x ³

2x = 0 2y - 4 = 0 x = 0 y = 2

x = 0

ma ci sono soluzioni, quindi nonesistono punti di max e min internial dominio

Studiare f(x,y) sul bordo del dominio:La semicirconferenza:x = cos αy = sin α0 ≤ α ≤ π

f(x,y) = x² + y² - 2 = cos² α + sin² α - 2

f'(α) = 2 cos α (-sin α) + cos α o(co -sin α) cos α (2 - 2 sin α + 1) = 0

α = 0 (x,y)= α = π (x,y)= α = 5π/6 (x,y)=

3 punti critici

f(0,1) = -1

minimo massimo

Tre segmento:f(0) = 2 x = 0 and thenf(0,0) = -2 punto critico minimio assoluto

I punti angolari (estremi)

f(1,0) = -1 f(-1,0) = -1