Funzione modulo

Funzione modulo

Verificata per R: → R, x → |x|: {x se x > 0, -x se x < 0.

Proprietà

• |x| ≥ 0 per ogni x appartenente ad R.
• |x| = 0 per x = 0.
• |-x| = |x|.
• |xy| = |x| * |y|.
• Dato r appartenente ad R, maggiore o uguale di 0, si ha |x| < r implica -r < x < r.
• |x| è il massimo dell'insieme {-x; x}.

Disuguaglianza triangolare

Se x, y appartenenti ad R, allora |x + y| ≤ |x| + |y|, dimostrabile applicando la definizione di valore assoluto a entrambe le variabili e sommando a membro a membro.

Dimostrazione del fatto che il lato di un triangolo risulta sempre minore della somma degli altri due lati

Osservazione: |x - y| = |x + (-y)| implica |x| + |-y| = |x + y| ≤

Funzione potenza

f(x) = xⁿ appartenente ad N, f : R → R.

• n = 0, f(x) = 1 (risulta una funzione di tipo costante).
• n = 1, f(x) = x → f(x) = mx + q (risulta una funzione di tipo lineare).
• n pari → funzione pari, n dispari → funzione dispari.
• Se pari, f è strettamente monotona, quindi invertibile (se f : → R⁺ a R⁺).
• Si dimostra la monotonia per n ≥ 2 per induzione. Dati 0 < x₁ < x₂, x è minore di x₁*x₂, mentre sarà il contrario per x₁² < x₂².
• f è suriettiva se presi i valori reali positivi n.

Dimostrazione: sul quaderno.

Funzione radice

Definibile come la f(x) = x^1/n o radice n-esima.

Osservazioni

• (x^m)ⁿ = x^m*n, quindi x è uguale a x^(1/n)*n.
• La funzione risulta valida solo in R⁺, neanche le radici dispari di numeri negativi non hanno senso, poiché non si potrebbe usufruire delle proprietà.