Funzione modulo

FUNZIONE MODULO

Verificata per R:->R, x->|x|: {x se x>0, -x se x<0.

Proprietà:

|x| 0 per ogni x appartenente ad R

 ≥

|x|=0 per x=0

 

|-x|=|x|

 |xy|=|x|*|y|



Dato r appartenente ad R, maggiore o uguale di 0 si ha |x|<r -r<x<r



|x| è il massimo dell’insieme {-x;x}

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

Se x,y appartenenti ad R, allora |x y| |x|+|y|, dimostrabile

± ≤

applicando la definizione di valore assoluto a entrambe le variabili e

sommando a membro a membro. DIMOSTRAZIONE DEL FATTO CHE IL

LATO DI UN TRIANGOLO RISULTA SEMPRE MINORE DELLA SOMMA DEGLI

ALTRI DUE LATI.

Osservazione: |x-y|=|x+(-y)| |x|+|-y| = |x+y|

≤

FUNZIONE POTENZA

f (x) = x n appartenente ad N, f :R->R

n

n n

n=0, f (x) = 1 (risulta una funzione di tipo costante)

0

n=1, f (x) = x -> f(x) = mx+q (risulta una funzione di tipo lineare)

1

n pari -> funzione pari, n dispari -> funzione dispari

Se pari, f è strettamente monotona, quindi invertibile (se f:->R+ a R+)

n

Si dimostra la monotonia per n 2 per induzione

≥

Dati 0<x1<x2, x è minore di x1*x2, mentre sarà il contrario per x , quindi

12 22

x < x

12 22

f è suriettiva se presi i valori reali positivi

n

Dimostrazione: sul quaderno.

FUNZIONE RADICE

Definibile come la f (x) = x o radice n-esima.

-1 1/n

Osservazioni: (x ) = x , quindi x è uguale a x.

m n m*n (1/n)*n

LA FUNZIONE RISULTA VALIDA SOLO IN R+, neanche le radici dispari di numeri

negativi non hanno senso, poiché non si potrebbe usufruire delle proprietà.