Funzione iniettiva suriettiva biettiva

Le funzioni

Le funzioni

Le funzioni

Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice che tra essi è stata data una relazione se è definito in modo operativo, che associa un elemento a₁ ∈ A con un elemento b₁ ∈ B e in tal caso si scriverà

a₁Rb₁

Per indicare quanto su espresso, si otterrà di rappresentazione sagittale, per evidenziare graficamente questo tipo di associazione.

Un altro tipo di rappresentazione è quella tabellare

• R

  • a₁ a₂ a₃ a₄
  • b₁ X
  • b₂ X
  • b₃ X

Se A = B la relazione risulta definita sullo stesso insieme ed associa gli elementi di A esso in tal caso può caratterizzarsi come:

• Riflessiva ⟷ ∀ a₁ b₁ ∈ A a₁Ra₁.
• Simmetrica ⟷ ∀ a₁ b₁ ∈ A a₁Rb₁ ⟹ b₁Ra₁.
• Asimmetrica ⟷ ∀ a₁ b₁ ∈ A a₁Rb₁ ⟹ b₁Ra₁.
• Transitiva ⟷ ∀ a₁ b₁ c₁ ∈ A a₁Rb₁ ∧ b₁Rc₁ ⟹ a₁Rc₁.

Inoltre una relazione si dice...

1. 1. Equivalente se è riflessiva, simmetrica e transitiva;
2. 2. In ordine largo se è riflessiva, asimmetrica e transitiva;
3. 3. In ordine stretto se è asimmetrica e transitiva.

Mentre le relazioni d'ordine stabiliscono l'ordinamento degli elementi dell'insieme, una relazione d'equivalenza partiziona A in classi di

Definizione funzione

Una funzione f è una relazione definita in modo che ad ogni elemento a appartenente ad A sia associato uno e un solo elemento b appartenente ad B.

In simboli:

   ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B t.c. a R b

                                                                                                                       Q R b ⇒ b = f(a)

Per esprimere simbolicamente che la funzione f associa agli elementi dell'insieme insieme A i rispettivi elementi dell'insieme B, si utilizza la notazione

                                                         f : A → B

dove A è l'insieme di appartenenza e B l'insieme di arrivo.

Il sottoinsieme D(f) ⊆ A si dice dominio della funzione f, si definisce scrivendo

                                                              D(f) = {x ∈ A | ∃! 1 b ∈ B t.c. y = f(x)}

Invece il sottoinsieme C(f) ⊆ B si dice codominio della funzione f, si definisce

                                                                    C(f) = {y ∈ B | ∃ x ∈ A t.c. y = f(x)}

Dominio e codominio possono anche coincidere rispettivamente con l'insieme di partenza A e l'insieme di arrivo B, l'entità x prende il nome di variabile indipendente perché può assumere tutti valori che sono elementi del dominio della funzione; l'entità y prende il nome di variabile dipendente ed assume i valori che sono elementi del codominio.

Rispetto alla funzione f, y prende il nome di immagine di x tramite f.

Definizione di funzione iniettiva

f : A → B si dice iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde uno e uno solo elemento del dominio. In simboli,

               ∀ y ∈ C(f) ∃! x ∈ D(f) t.c. y = f(x)

Definizione di funzione suriettiva

f : A → B è suriettiva se ogni elemento dell'insieme B è immagine di qualche elemento dell'insieme A. In simboli,