Probabilità e Statistica - Formule e Distribuzioni

Variabili aleatorie

Variabile aleatoria singola

È un esperimento probabilistico di cui gli esiti possibili sono numerici e si riesce a conoscere o a stimare:

(, ) (,( ∈ ] ∀ ]

La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria è:

[0,1], () : ℝ → = ( ≤ )

Da cui si ha che:

• (, )( ∈ ] = () − () −[, )( ∈ ] = () − lim () = () − ( )
• ( ∈ [, ) = ( − (−(, ) )( ∈ ) = ( − ()

Variabili aleatorie discrete e continue

Per le variabili aleatorie discrete:

• () = ∑ ( = ) = ∑ ()

Per le variabili aleatorie continue:

• () = ∫ ()

Dove è la densità di probabilità che deve ∈(,] ∈(,] rispettare:

• () ≥ 0

Dove è una funzione a gradini, i quali in +∞

• () .∫sono di ampiezza −∞ − +) ),() = ( = (

Per la continuità si ha ( = ) = 0 quindi il valore atteso di è:

() = ∫ ()ℝ

Valore atteso

Variabili aleatorie discrete

• () = ∑ ∙ ()

Variabili aleatorie continue

• () = ∫ ∙ =1 −∞

Con proprietà che sono:

1. , ( ∙ ) = () + ()
2. Se allora; ( + ) = () +
3. ( + ) = () + ()
4. () = ℎ(), () = ℎ() ∙
5. Se allora ∫ −∞

Varianza

La varianza di è:

2 22 )() = (( − ()) ) = ( − (())

Con proprietà che sono:

1. ( + ) = () + () + 2 ∙ (, )
2. 2( + ) = ()
3. (, )

Covarianza

Dove è la covarianza:

(, ) = (( − ())( − ())) = () − ()()

Con proprietà che sono:

1. (, ) = (, )
2. ( + , ) = (, )
3. ( + , ) = (, ) + (