Formulario Statistica sociale per parte pratica dell'esame

Parte B: distribuzione di frequenze

Creare tabella con frequenze assolute e relative

f_i = si contano
P_i = f_i / N

Elementi necessari per aerogramma

Bisogna trovare l'ampiezza degli angoli: α_i = P_i · 360

Grafico a barre

Distribuzione con classi continue di ugual ampiezza
Trovare ampiezza delle classi: W = (valore max - valore min.) / n. classi

Istogramma

Per carattere quantitativo continuo o diviso in classi, si calcola la densità di frequenza e si assegna a tabella in classi
d_i = f_i / w

La frequenza assoluta, w = ampiezza classe

La colonna più alta è la moda

Quartili

• Modalità/valori che dividono la distribuzione in 4 parti.
• Primo quartile: lascia il 25% delle frequenze alla sua sinistra e il 75% alla sua destra

1. Calcolare su tabella le frequenze cumulate:

Q₁ = estremo sinistro della classe + (frequenza relativa della percentuale - frequenza cum. in classe precedente) / (frequenza cum. del classe - frequenza cum. in classe precedente) * ampiezza classe

Mediana

M_e = estremo sinistro della classe la cui frequenza cumulata è superiore a 0,50 + (0,50 - freq. cum. in classe precedente) / (freq. cum. in classe mediana - freq. cum. classe prec.) * ampiezza classe mediana
Il secondo quartile è la mediana: divide la popolazione in due gruppi di numerosità uguale
Il risultato sia della formula dei quartili che della mediana deve essere un valore compreso nella classe

Media

In distribuzione in classi:
M = Σ_i X_i * k_i / N
N = numero esempi = 20
X_i è il valore centrale della classe = (estremo sinistro + estremo destro) / 2

Scarto quadratico medio

σ = √[Σ_i (X_i - M)² * k_i / N]
(X_i - M)² * k_i si calcolano in tabella e si fa somma

Coefficiente di variazione

c_v = (σ / M) * 100 = %

Moda

• Modalità/valore che si presenta con maggior frequenza
• Non in classi: valore che si presenta con maggiore frequenza nelle f_i
• In classi: si fa riferimento a densità di frequenza → d_i = f_i / ampiezza classe

M_o = valore centrale della classe con maggiore densità di frequenza, la calcolo in tabella

Parte C: tabella di contingenza

Per il carattere x in riga e y in colonna

TABELLA IN IPOTESI DI INDEPENDENZA DEI CARATTERI

Esiste relazione tra i caratteri? Giustifica la risposta.
Vi è dipendenza tra i caratteri in quanto la tabella in ipotesi di indipendenza è differente da quella osservata.

Misura relativa di associazione

1. Contingenze: differenza tra valore osservato e atteso in ipotesi di indipendenza

SOMMA SEMPRE ZERO

Chi-quadrato

χ² = Σ_i (c² / F) c = contingenza quadrato
F = frequente atteso
In ipotesi di indipendenza χ²=0 / massimo non definito perché dipende da numerosità

Indice quadratico di contingenza

3. I²_C = ^χ2 / _{χ² + N}

I²_CMAX = ¹ / _{min(n, p)} → Valore più piccolo tra n^o di colonne e di righe
I²_CREL = ^I2_C / _I²CMAX
Valore compreso tra 0 e 1 = √( ¹ / _{min(2, 3)} ) → √( ¹ / ₂ ) → 0,7

Diagramma a dispersione

Diagramma cartesiano in cui ogni unità statistica viene rappresentata con un punto avente per coordinante i valori delle due variabili di riferimento

Retta di regressione

UNITÀ X_i Y_i X_i - M_x Y_i - M_y (X_i - M_x)² (X_i - M_x)(Y_i - M_y) Ŷ Ŷ - Y

1. Determinare le medie: M_x = ΣX_i / 5, M_y = ΣY_i / 5
2. Calcolare gli scarti dalla media di x e y → la somma è sempre zero
3. Calcolare il quadrato dello scarto di x: (X_i - M_x)² → la somma è la devianza
4. Calcolare il prodotto tra gli scarti: (X_i - M_x)(Y_i - M_y) → la somma è la covarianza

Equazione della retta di regressione

Ŷ = P₀ + P₁ × x
P₁ = covarianza / devianza    coefficiente di regressione lineare
P₀ = M_y - P₁ × M_x    intercetta

Errori di previsione

Ŷ - Y su tabella

Rappresentazione grafica retta di regressione

Assegnare alle 2 variabili casuali e collocare Ŷ con equazione su una tabella

Calcolo combinatorio

Disposizioni

Per oggetti il cui ordine ha importanza

• Senza ripetizione → D_n,k = n!/(n-k)! es.: lettere con destinatario in 10 cassette postali anonime
  D_10,4 = 10!/(10-4)! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6! = 5040= 64!
• Con ripetizione → D'_n,k = n^k es.: lucchetto a 5 ruote numerate da 0 a 9
  D'_10,5 = 10⁵= 100000

Combinazioni

Per oggetti il cui ordine non ha importanza

• Senza ripetizione → C_n,k = n!/(k!(n-k)!) es.: 3 volantini anonimi in 8 cassette postali anonime
  C_8,3 = 8!/(3!(8-3)!) = 8⋅7⋅6⋅5!/3⋅2⋅1⋅5! = 336/6 = 56
• Con ripetizione → C'_n,k = (n+k-1)!/((n-1)! k!)

Permutazioni

Disposizioni in cui la formazione del gruppo richiede tutti gli elementi

P_n = n! es.: P₇ = 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 5040

Se uno degli oggetti è fisso al primo posto: P_n-1 = (n-1)!
Se uno degli oggetti è fisso al primo oppure ultimo posto: P_(n-1) + P_n-1 = 2P_n-1
es.: P₇ = 6! = 6⋅5⋅4⋅3⋅2 = 720
P₆ + P₆ = 720⋅2 = 1440

es. 1: dimostra la validità C_n,k = C_n,n-k
si assegnano valori casuali a n e k → n = 5 k = 2
C_n,k = C_5,2 = ^5!/_2!(5-2)! = ^5!/_2!3! = ^5!/_2!3!
C_n,n-k = C_5,5-2 = C_5,3 = ^5!/_3!(5-3)! = ^5!/_3!2!

Distribuzione binomiale

La probabilità di avere un certo numero di successi vale:

P_(X=k) = ⁽ⁿ⁾⁄_(k) ⋅ (π)^k ⋅ (1-π)^n-k
n: lanci totali
k: n. successi
π: probabilità successo

Esempio: lanciare dado regolare 6 volte; n. d. probabilità di ottenere la faccia 6 per 6 volte
n = 6    k = 6    π = ¹⁄₆    la faccia 6 compare una sola volta nel dado
P_{(4 su 6 volte)} = P_(X=6) = ⁽⁶⁾⁄₍₆₎ ⋅ ( ¹⁄₆ )⁶ ⋅ ( ⁵⁄₆ )⁰ = ¹⁄₆₆₆₆

Probabilità di ottenere numero minore di 3 non più di una volta
n = 6    K₀ = 2    π = ¹⁄₃    i 2⁄₆
Non più di una volta: 0 volte + 1 volta
P_(k=0) + P_(k=1) = ⁽⁶⁾⁄₍₀₎ ( ¹⁄₃ )⁰ ( ²⁄₃ )⁶ + ⁽⁶⁾⁄₍₁₎ ( ¹⁄₃ )¹ ( ²⁄₃ )⁵ = ...

• Probabilità di solo esiti favorevoli -> K=n
• Solo esiti sfavorevoli -> K=0
• Probabilità di avere un numero dispari di eventi favorevoli -> K₁ = 1 K₂ = 3 K₃ = 5 fino a max di n
• OPPURE = SOMMARE P_{(k=2 oppure k=4)} = P_(K2) + P_(K4)

Esempio: in un lancio ripetuto di una moneta non truccata, calcolare la probabilità di ottenere 3 croci in 5 lanci
n = 6    K = 3    π = ¹⁄₂
P_(k=3) = ⁽⁶⁾⁄₍₃₎ ⋅ ( ¹⁄₂ )³ ⋅ ( ¹⁄₂ )³ = ^6!⁄_{3! 3!} ⋅ ¹⁄₈ ⋅ ¹⁄₈ = ²⁰⁄₆₄

Es. si esegue il lancio ripetuto di una moneta non truccata π = ¹/₂
È più probabile ottenere la sequenza TTCCTC o CTTCTT?
P(TTCCTC) = (¹/₂)³ ⋅ (¹/₂) ⋅ (¹/₂)² = (¹/₂)⁶ = 1/64
P(CTTCTT) = ¹/₂ ⋅ ¹/₂ ⋅ ¹/₂ ⋅ ¹/₂ ⋅ ¹/₂ ⋅ ¹/₂ = (¹/₂)⁶ = 1/64

È più probabile la sequenza TTTTTT o TCTCTC?
Qualunque sequenza di esiti avrà la stessa probabilità di verificarsi
P(TTTTTT) = P(TCTCTC) = (¹/₂)⁶ = ¹/₆₄

Distribuzione normale

Per determinare le probabilità che si osservino i valori appartenenti a un determinato insieme

Problemi diretti

Si ha l'intervallo di x, si vuole sapere la probabilità

• % dei casi con valore inferiore o pari a X₁

1. X→Z = X-M/σ → arrotondato al 2^° decimale
2. P: F(z) cercare valore nella tabella:
   • La parte intera e il primo decimale di z sulle righe.
   • Il secondo decimale di z sulle colonne
   • es.: F(_1,28) = 0,9671 - non può essere più grande di 1!
3. Trasferire in percentuale (es.: 96,71%)

Se z è negativo: F(z) = 1 - F(z) - Z diventa positivo

• % dei casi superiori a X₁

1. X→Z = X-M/σ → arrotondato al 2^° decimale
2. P: 1-F(z) es. 1-F(0,7734) = 1-0.7734: 0,2266 = 22,66%
   • Se z è negativo: 1-F(-z) = 1-[1-F(z)]

• % dei casi compresi tra X₁ e X₂

1. Ordinare le x in senso crescente
2. X₂→Z₂ = X-M/σ
3. P: F(z₂) - F(z₁) es.: z₁ = 0,75 z₂ = 1,84 F(1,84) - F(0,75) = 0,9671 - 0,2266 = 74,05%