Formulario Statistica

=P

P j= P x ; y y ; j=1 , … , c

Della Y:

 . x , y i j y j

=1

j ( )

n x ; y

x , y i j i=1 , … ,r ; j=1 ,… , c

( )

=

P x ; y

Mentre le frequenza relativa congiunta: con

x , y i j N

RELAZIONE O CONNESSIONE TRA X E Y

Quando non c’è connessione tra le due variabili, queste si dicono indipendenti, se per ciascuna coppia di valori la

frequenza relativa congiunta è pari al prodotto delle marginali 

{ }

( )

( ) =Pi

x , y : x ; y ; Ṕ ∙ P j ; i=1, … , r ; j=1 , … , c

i j ij . .

Modello osservato:

x\y 2 5 Pi.

1 0,2 0,1 0,3

3 0,4 0,3 0,7

P.j 0,6 0,4 1

Modello teorico:

x\y 2 5 Pi.

1 0,18 0,12 0,3

3 0,42 0,28 0,7

P.j 0,6 0,4 1 Pi ∙ P j

. . M . O .=M .T .

Per costruire il modello teorico, si moltiplicano i risultati e si divide per il totale: . Se

N

x ⫫ y M . O .≠ M . T . x y

allora (indipendenti); se allora e non indipendenti.

x ⫫ y

Se , vi sono 3 condizioni:

( ) ( ) ( )

=P

P x ; y x ∙ P . y

 x , y i j x . i y j

( ) ( )

=P

P y . y la x non condiziona la y

 y j y j

x ( ) ( )

=P

P x x la y non condizionala x

 x i x . i

y ¿ ∙ n .

. j

−

n

La contingenza è pari al valore osservato meno quello teorico: ij N

FREQUENZA CONGIUNTA TEORICA

r c

∑ ∑ 2

´

( )

− =0

n n

Condizione di normalizzazione: ij ij

i=1 j=1

2

( )

−

r c n ń

∑ ∑ ij ij

2 x⫫ y

=

χ

2

Chi : se

ń

i=1 j=1 ij

DIPENDENZA PERFETTA x y

1. Y da X: la variabile Y dipende perfettamente da X se ad ogni modalità della X è associata una sola

i j

della Y y x

2. X da Y: la variabile X dipende perfettamente da Y se ad ogni modalità della Y è associata una sola

j i

della X x

3. Bilaterale: X e Y sono perfettamente dipendenti se ad ogni valore della X corrisponde un solo valore

i

y della Y

j 2

χ

In quest’ultimo caso si parla di funzione invertibile, con come misura della dipendenza bilaterale.

2

´

( )

−

n n

ij ij ¿

ń ∙ n .

NN

∑ ∑ ij . j

2 = =Pi ∙ P j= Ṕ

=

χ

Per cui: con per cui

. . j

´

n N NN

i j ij

NN

2 ( ) ( )

´ 2 2

( )

−

n n − ´

n n n ń

ij ij ij ij ij ij

− 2

( )

−

P Ṕ

2 N N N

N

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ij ij

2 = = =N =N

χ ∙ ∙

P

Ṕ Ṕ Ṕ

i j i j j i j

j j j

N N √

2 2

χ χ

2 2

=ψ =

Psi

Indice di contingenza media quadratica: , per cui Psi=ψ=

N N

{ }

{ } 2 ( ) ( )

( ) ( )

−1

2 2

N r ; c−1 <

0< χ N r−1 ; c−1

χ χ

Max. di : per cui . Dividendo per max. :

min

min { }

( ) ( )

N r−1 ; c−1

2

0 χ min

< <

2 2 2

max . χ max . χ max . χ 2

χ

2 =

C

Indice normalizzato che varia tra 0 e 1 o Indice di Cramer: . Con tale indice posso

{ }

( ) ( )

N r−1 ; c−1

min

r c

confrontare e differenti. VARIABILI QUANTITATIVE c

y { } ∑

y ; P ; j=1 , … , c ( )=

E Y y ∙ P

Con X e Y quantitative: . La media condizionata di Y è:

j j

x=x y j j

i i j=1

x= x i

i

FUNZIONE DI REGRESSIONE ( )

φ x

(x )

, y

1. Sia la v.s. doppia quantitativa discreta, e si consideri la media condizionata di Y indicata con i

{ }

( )

φ x S x , … , x

. La definita sul supporto è detta funzione di regressione della Y sulla X ed è descritta

i x 1 r

{ }

( )

( )

x ; φ x ; i=1 , … , r

dai valori: . È un modo di descrivere la Y tramite la X.

i i ( )

Ψ y

2. Si definisce funzione di regressione della X sulla Y, indicata con , la media condizionata della X alla Y. È

j

{ }

( )

( )

y ; Ψ y ; j=1 , … , c

descritta dalle coppie di valori .

j j

ERRORE QUADRATICO MEDIO ( )

2

[ ]

(x)

E y−g g(x)

Con tale criterio è possibile descrivere la funzione di regressione: è minimo quando a

)

φ(x

sostituiamo , secondo il criterio dell’errore quadratico medio.

Dimostrazione: ( )

( ) 2

[ ]

2

[ ] ( ) ( )

( ) ( )−g ( )

( =E +

E y−g x) y−φ x φ x x

I. ( )

[ ]

2 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )−g ( ) ( ) ( ) ( )

¿ + + −φ −g

E y−φ x φ x x 2 y x φ x x

II. [ ] [ ] [ ]

[ ]

2 2 ( ) ( )

( ) ( )−g ( )

( ) ( ) ( )( ) =0

2 E y−φ x φ x x

( ) ( )−g ( ) ( ) ( )−g ( )

¿ + + −φ

E y−φ x E φ x x 2 E y x φ x x

III. con

Dimostrazione che il doppio prodotto è pari a zero con il metodo delle sommatorie:

r c [ ]

∑ ∑ ( )( )

( ) ( ) ( )

−φ −g

(x ) 2 y x φ x x ∙ P

, y

I. 2 variabili  j i i i ij

i=1 j=1

[ ]

r c =P

P ∙ Pi

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

¿ −g −φ

2 φ x x y x ∙ P

II. con ij j .

i i j i ij i

=1

i j=1

[ ]

r c

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

¿ −g −φ =0

2 φ x x y x ∙ P ∙ Pi

III. i i j i j .

=1

i j=1 i ( )

y y

φ=E

All’interno delle quadre calcoliamo la media della variabile dalla sua media, perché . La

x x

media degli scarti dalla media è zero. [ ] [ ]

( )

2 2 2

2

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

=φ

g x x

( ) ( ) ( )−g ( )

y−g x ( =E + =0

E y−g x) y−φ x E φ x x

La media di è: se .

≥ 0 ≥ 0

INDIPENDENZA REGRESSIVA ( ) ( )

φ x Ψ y

(x )

, y

Sia una variabile bidimensionale quantitativa discreta con funzioni di regressione e , si

i j

( )=μ

φ x

dice che Y è regressivamente indipendente dalla X quando , e che X è regressivamente indipendente

y

( )=μ

Ψ y

dalla Y quando .

x ( )

( )

( ) y

yx

( ) ( )=E

( ) φ x

=μ =μ

E φ x E E

Teorema:   y

y x

Dimostrazione: ∑

( ) ( )

( ) =

E φ x φ x ∙ Pi

I. i .

i

r c c =P

P ∙ Pi

∑ ∑ ∑

¿ =φ(x )

y ∙ P ∙ Pi y ∙ P

II. con e j . ij

j j . j j i

i=1 j=1 j=1

i i

∑ ∑

¿ y ∙ P

III. j ij

i j

∑ ∑ ∑

¿ =P

y P P .

IV. con

j ij ij j

j i i

=¿

y ∙ P . μ

j j y

∑

V. ¿ ¿

j ( )

( ) =μ

E Ψ y

Procedimento analogo per con le opportune modifiche.

x

REGOLE GENERALI:

y { }

y ; P ; j=1 , … , c

1. j j

x=x i i

c

( )

yx ∑

=

E y ∙ P

2. j j

j=1 i

c

( )

y ∑ ( )

( )

= −φ

V y x ∙ P

3. j i j

x j=1 i

FUNZIONE DI REGRESSIONE:

{ }

( )

( ) ( )

φ x : x ; φ x ; Pi ; i=1 , … , r

1. i i i .

∑

( ) ( )

( ) = =μ

E φ x φ x ∙ Pi

2. i . y

i ( )

( )

y

∑ 2

( )

( ) ( )

( ) = −μ =V

V φ x φ x ∙ Pi E

3. i y . x

i

SCOMPOSIZIONE DELLA VARIANZA DALLA Y:

[ ]

2

( )

( )=E −μ

V y y

I. y

[ ]

2

( )

( )

( )

( ) ( )−μ

¿ +

E y−φ x φ x

II. y

[ ]

( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )−μ ( ) ( )−μ

¿ + +

E y−φ x φ x 2 y−φ x φ x

III. y y

[ ]

[ ]

2 2

( )

( )

( ) ( )−μ

¿ +

E y−φ x E φ x

IV. y

Dimostriamo che il doppio prodotto è pari a zero con il metodo delle sommatorie:

[ ]

( )

( )

( ) ( )−μ ( )=φ

=0

2 E y−φ x φ x φ x

I. con

y i

r c

∑ ∑ ( ) ( )

¿ −φ −μ

2 y φ ∙ P

II. j i i y ij

=1

i j=1

∑ ∑

( ) ( )

¿ −μ −φ

2 φ y ∙ P

III. i y j i ij

i j

[ ]

∑ ∑

( ) ( )

¿ −μ −φ

2 φ y ∙ P ∙ Pi

IV. i y j i y .

i j i

Dunque: [ ]

[ ]

2 2

( )

( )

( )=E ( ) ( )−μ

+

V y y−φ x E φ x

I. y

V. residua V. spiegata

( ) ( )

( ) ( )

y y

¿ +V

E V E

II. x x ( )

( )

V φ x

1. La media degli scarti dalla media è pari a zero.

2. La varianza si scompone in due parti non negative. ( )

y

( )=E

y=φ x

a. Perfetta dipendenza funzionale della Y dalla X la varianza residua è max.:

 

x

[ ]

2

( )

( )=E ( )−μ

V y φ x y

[ ]

2

( )

( )−μ ( )=μ

=0↔

E φ x φ x

b. La media quando Y regressivamente indipendente da X

y y

In conclusione:

Quando la varianza residua è pari a zero, quella spiegata è max.

 Quando Y è R.I. da X, la varianza spiegata è max.

 2

0 (I.R.) ETA 1 (dip. funz. perfetta)

RAPPORTO DI CORRELAZIONE ( )

( )

y

V E x

2

ETA : VARIANZA SPIEGATA

2 2

= =

η →η y ( )

VARIANZA TOTALE V y

x ( )

y

( ) =E

φ x Pi

( )

x, y

Data la v.s. doppia analizziamo la funzione di regressione con le frequenze

i .

x= x

i

assolute.

Teorema: ( )

( ) =μ

E φ x

I. y [ ]

[ ]

2 2

( )

( )

( )=E ( ) ( )−μ

+

V y y−φ x E φ x

II. y

2

0 ≤η ≤ 1

III. y

x

Casi limite: [ ]

2

2 ( )

( )−μ

=0↔ (

η E φ x ↔φ x) μ

è costante e sempre uguale a

 y y y

x ( )

( )

V φ x

2 2

=1 = =1

η ↔ η ↔ la varianza del modello cattura tutta la varianza di Y