Formulario di Statistica

X X

n n

2 2

=

M e 2

MEDIANA PER LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CON n

DISPARI :

=X

M e N+1

2

MEDIANA PER LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CON n PARI :

+ +

X X 1

N N

2 2

=

M e 2

MEDIANA PER LA DISTRIBUZIONE PER CLASSI :

N ⋅

( −C ) A

iMe−1 M e

2

=x +

M −1

e M n

e Me

I QUARTILI

PRIMO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE PER UNIT Á:

=X

Q 1 N

4

TERZO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE PER UNIT Á:

=X

Q N

3 3

4

PRIMO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA :

+1

N

=

Q 1 4

TERZO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA :

+1)

3( N

=

Q 3 4

PRIMO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE PER CLASSI :

( )

N ⋅

−C A

Q Q

4 1−1 1

=X +

Q 1 Q n

1−1 Q 1

TERZO QUARTILE NELLA DISTRIBUZIONE PER CLASSE :

( )

34 ⋅

−C

N A

Q Q

3−1 3

=X +

Q 3 Q n

3−1 Q

3

LA MODA

MODA PER LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA :

Nel caso di una distribuzione di frequenza la moda è quel valore che ha la frequenza

più elevata

MODA PER LA DISTRIBUZIONE PER CLASSI :

+

X X

min max

=

1) Quando le ampiezze sono uguali: del valore con la frequenza

M ❑

0 2

più elevate

2) Quando le ampiezze sono diverse: il valore modale cade nella classe con la

+

X X

¿ min max

Δ

( più alta e poi =

M

densità ❑

i 0 2

RANGE

+

R=x x

min max

DIFFERENZA INTERQUARTILE

=Q −Q

D i 3 1

LA VARIANZA

VARIANZA PER LA DISTRIBUZIONE PER UNIT Á:

2 n

( )

−μ

n 2

x xi

∑

∑ 2

2 2 2

i

2 =

μ

=μ −μ

OPPURE σ

=

σ 2 2 n

n i=1

i=1

VARIANZA PER LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA :

2

( )

−μ ∗¿

k x

∑ i

2 =

σ N

i=1

VARIANZA PER LA DISTRIBUZIONE PER CLASSE :

2

( )

k −μ ∗¿

c

∑ i

2 =

σ N

i=1

DEVIAZIONE STANDARD O SCARTO QUADRATICO MEDIO :

√ 2

=

σ σ

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE :

σ

=

CV | |

μ

INDICE DI GINI :

(P −Q )

n−1 C

ⅈ n

∑ i i i T

⋅R

= =

R= ; P ; Q ; R=

i i

P n A n−1

=1

i i

INDICE DEI TRAPEZI :

Q

¿ n−1

T ⋅

(¿ +Q )⋅(P −P ); =

i R R

¿ +1 +1

i i i n

¿ n−1

∑

T =1− ¿

R =0

i

INDICE DI AMATO :

√

l− 2

A =

R √

2− 2

LIMITE INFERIORE :

Q

¿3−Q

(¿ )

1 ⋅¿

=Q −1,5

L inf . 1

LIMITE SUPERIORE :

Q

¿ 3−Q

( ¿ )

1 ⋅¿

=Q +1,5

L ¿. 3

VARIABILE DISTRIBUZIONE CENTRATA :

¿ =X −μ

X

ASIMMETRIA

MISURE DI ASIMMETRIA: −Q =Q −M

M

Se la distribuzione è simmetrica:

 e 1 3 e

−Q < −M

M Q

Se la distribuzione è asimmetrica positiva:

 e 1 3 e

−Q > −M

M Q

Se la distribuzione è asimmetrica negativa:

 e 1 3 e

INDICE DI ASIMMETRIA : =Q +Q −2∗M

A s

=(Q −M )−(Q −M )

A S oppure

1 3 e 1 e 1 1 3 e

>

A S 0

Se asimmetrica positiva

 distribuzione

1 <

A S 0

Se asimmetrica negativa

 distribuzione

1

INDICE DI ASIMMETRIA STANDARDIZZATO :

+Q −2⋅

Q M

1 3 e

=

A S 1 −Q

Q 3 1

L’indice assumerà valori compresi nei seguiti intervalli:

(0,1) positiva

 Asimmetria

(-1,0) negativa

 Asimmetria

=0

A S

 Simmetria

1

COEFFICIENTE DI ASIMMETRIA DI PEARSON :

μ−M o

=

γ σ μ> M

>0

Se positiva

γ

  Asimmetria

o

>

M μ

<0

Se negativa

γ

  Asimmetria

o

LA DISTRIBUZIONE NORMALE

FORMULA DI STURGES :

10

S=1+ log n

3

Per n=10 S=4,3

 

Per n=20 S=5,3

 

Per n=100 S=7,3

 

Per n=1000 S=7,6

 

Per n=5000 S=13,3

 

Per n=10000 S=14,33

 

INDICE DI CURTOSI DI PEARSON :

μ́

4

=

r 2 4

σ distribuzione iponormale

 

<

γ 3

2 distribuzione ipernormale

 

>

γ 3

2 distribuzione normale

 

=3

γ 2

DOVE: 4

 =varianza

σ alquadrato

=momento

μ́ quarto

 4

Momento quarto per distribuzione frequenze :

X

¿

¿ i

¿

μ

−¿

¿

¿

n

∑ ¿

i=1

=¿

μ́ 4

Momento quarto per distribuzione per classi :

c

¿

¿ i

¿

μ

−¿

¿

¿

n

∑ ¿

i=1

=¿

μ́

4

Momento quarto per distribuzione per unità :

X

¿

¿ i

¿

μ

−¿

¿

¿

n

∑ ¿

i=1

=¿

μ́

4

LE DISTRIBUZIONI DOPPIE

FREQUENZE OSSERVATE :

c r r c

∑ ∑ ∑ ∑

= = =

n n n n n= n n

Totale:

⋅

i ij . j ij i . . j

j=1 i=1 i=1 j=1

FREQUENZE : =n

f ∕ n

RELATIVE

  ij ij ⋅100

=f

p

PERCENTUALI

 ij ij

MEDIE CONDIZIONATE :

Nel caso in cui si osservano due variabili quantitative o una variabile quantitativa e

una qualitativa è possibile calcolare le medie condizionate:

Y quantitativa

c

1 ∑

=

ý y n

x j ij

n j=1

i .

CONNESSIONE E INDIPENDENZA TRA VARIABILI :

⋅n

n .

i . j

Vi è connessione tra le due variabili quando: n ≠

ij n ⋅n

n .

i . j

=

Vi è indipendenza tra le due variabili quando: n

ij n

FREQUENZE TEORICHE :

⋅n

n

' i . . j

=

n ⅈ

j n

CONTINGENZA :

'

=n −n

c ij ij ij

CHI-QUADRATO :

2

( )

r c c

∑ ∑ ij

2 = ❑

χ '

n

i=1 j=1 ij

INDICE DI CONTINGENZA QUADRATICA :

2

χ

Φ= n

INDICE RELATIVO DI CONNESSIONE (INDICE DI CRAMER) :

√ 2

Φ

=

V min((r−1)(c−1))

V=0 connessione nulla

 

V=1 perfetta dipendenza

 

MEDIE CONDIZIONATE E INDIPENDENZA :

x

Á DI X:

MEDIE DI Y CONDIZIONATE ALLE MODALIT i

c

∑ y n

j ij

j=1

| =

ý x i n i.

SCARTI : −ý

y

Scarto tra singola osservazione e la media generale:

 j |

−

y ý x

Scarto tra la singola osservazione e la media dell’i-esimo gruppo:

 j i

−

ý x ý

Scarto tra la media dell’i-esimo gruppo e la media generale:

 1 i

DEVIANZA TOTALE :

C

∑ 2

( )

)= −

Dev(Y y ý n

j . j

j=1

DEVIANZA BETWEEN :

r ´ 2

( )

∑ | −ý

Dev(B)= ý x n

i i .

i=1

DEVIANZA WITHIN :

c r

∑ ∑ 2

( )

|

)= −

Dev(W y ý x n

j i ij

=1

j i=1

RAPPORTO DI CORRELAZIONE DI PEARSON :

(Between) (Within)

Dev Dev

2 = =1−

η ∨

Y X (Y ) (Y )

Dev Dev